Следствия теорем сложения и умножения.
1.Теорема сложения вероятностей совместных событий.
Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:
Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ).
2.Формула полной вероятности.
Р(А) = Р(Н1)Р(А/Н1) + Р(Н2)Р(А/Н2)+... ... + Р(Нn)Р(А/Нn)
3.Вероятность гипотез. Формула Байеса.
Вероятность гипотезы после испытания равна произведению вероятности гипотезы до испытания на соответствующую ей условную вероятность события, которое произошло при испытании, деленному на полную вероятность этого события.
Виды случайных величин.
1.Случайная величина. Дискретные и непрерывные случайные величины.
Случайной величиной называется величина, принимающая в результате опыта одно из своих возможных значений, причем заранее неизвестно, какое именно.
Будем обозначать случайные величины заглавными буквами латинского алфавита (Х, Y,Z,…), а их возможные значения – соответствующими малыми буквами (xi, yi,…).
Случайная величина называется дискретной, если она принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями.
Случайная величина называется непрерывной, если множество ее возможных значений целиком заполняет некоторый конечный или бесконечный промежуток.
2.Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины.
Дискретные случайные величины.
Для задания дискретной случайной величины нужно знать ее возможные значения и вероятности, с которыми принимаются эти значения. Соответствие между ними называется законом распределения случайной величины. Он может иметь вид таблицы, формулы или графика.
Таблица, в которой перечислены возможные значения дискретной случайной величины и соответствующие им вероятности, называется рядом распределения:
|
xi |
x1 |
x2 |
… |
xn |
… |
|
pi |
p1 |
p2 |
… |
pn |
… |
Заметим,
что событие, заключающееся в том, что
случайная величина примет одно из своих
возможных значений, является достоверным,
поэтому
Графически закон распределения дискретной случайной величины можно представить в виде многоугольника распределения – ломаной, соединяющей точки плоскости с координатами (xi, pi).
x1 x2 x3 x4 x5
3.Биномиальное распределение. Распределение Пуассона.
Биномиальным называют распределение вероятностей, определяемое формулой Бернулли. Закон назван «биномиальным» потому, что правую часть в равенстве можно рассматривать как общий член разложения бинома Ньютона:
.
Таким образом, первый член разложения рn определяет вероятность наступления рассматриваемого события n раз в n независимых испытаниях; второй член nрn-1q определяет вероятность наступления события n – 1 раз; ...; последний член qn определяет вероятность того, что событие не появится ни разу.
Напишем биномиальный закон в виде таблицы:
|
Х |
n |
n – 1 |
… |
k |
… |
0 |
|
р |
рn |
nрn-1q |
… |
|
… |
qn |
.
Эта формула выражает закон распределения Пуассона вероятностей массовых (n велико) и редких (р мало) событий. Стоит отметить, что имеются специальные таблицы, пользуясь которыми можно найти Pn(k), зная k и .
4.Простейший поток событий. Свойства потоков событий.
Поток событий — последовательность событий, которые наступают в случайные моменты времени.
-
Свойство стационарности: вероятность появления k событий на любом промежутке времени зависит только от числа k и от длительности t промежутка и не зависит от начала его отсчёта.
-
Свойство ординарности: вероятностью наступления за элементарный промежуток времени более одного события можно пренебречь по сравнению с вероятностью наступления за этот промежуток не более одного события (то есть вероятность одновременного появления двух и более событий равна нулю)
-
Свойство отсутствия последействия: вероятность появления k событий на любом промежутке времени не зависит от того, появлялись или не появлялись события в моменты времени, предшествующие началу рассматриваемого промежутка.
5.Геометрическое и гипергеометрическое распределение.
геометрическое
гипергеометрическое