Аналитическая геометрия.

1.Прямая линия на плоскости. Общее уравнение прямой.

Прямая на плоскости. Через две точки проходит единственная прямая и через точку, лежащую на данной прямой, можно провести единственную прямую, перпендикулярную данной

Различные формы уравнения прямой.

Уравнение прямой на плоскости. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка Ах + Ву + С = 0, причем постоянные А, В не равны нулю одновременно, т.е. А2 + В2 ≠ 0. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой.

В зависимости от значений постоянных А, В и С возможны следующие частные случаи:

- C = 0, А ≠ 0, В ≠ 0 – прямая проходит через начало координат

- А = 0, В ≠ 0, С ≠ 0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох

- В = 0, А ≠ 0, С ≠ 0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу

- В = С = 0, А ≠ 0 – прямая совпадает с осью Оу

- А = С = 0, В ≠ 0 – прямая совпадает с осью Ох

2.Неполные уравнения прямой. Уравнение прямой “в отрезках”.

Если в общем уравнении прямой

Ах + Ву + С = 0 (1)

один или два из трёх коэффициентов (считая и свободный член) обращаются в нуль, то уравнение называется неполным. Возможны следующие случаи:

1) С = 0; уравнение имеет вид Ах +By = 0 и определяет прямую, про­ходящую через начало координат.

2) B = 0 (A≠0); уравнение имеет вид Ах + С = 0 и определяет прямую,

перпендикулярную к оси Ох. Это уравнение может быть записано в виде х = а, где является величиной отрезка, который отсекает прямая на оси Ох, считая от начала координат.

3) B = 0, С = 0 (A≠0); уравнение может быть записано в виде х = 0 и определяет ось ординат.

4) А=0 (B≠0); уравнение имеет вид By + С = 0 и определяет прямую, перпендикулярную к оси Оу. Это уравнение может быть записано в виде y = b , где является величиной отрезка, который отсекает прямая на оси Оу, считая от начала координат.

5) А = 0, С = 0 (B≠0); уравнение может быть записано в виде у = 0 и определяет ось абсцисс.

Если ни один из коэффициентов уравнения (1) не равен нулю, то его можно преобразовать к виду

где и суть величины отрезков, которые отсекает прямая

на координатных осях.

Уравнение (2) называется уравнением прямой «в отрезках».

Если две прямые даны уравнениями

A₁ + B₁ y + C₁ = 0,

то могут представиться три случая:

а) — прямые имеют одну общую точку;

б) — прямые параллельны;

в)— прямые сливаются, т. е. оба уравнения

определяют одну и ту же прямую.

3.Расстояние от точки до прямой.

Теорема. Если задана точка М(х₀, у₀), то расстояние до прямой Ах + Ву + С =0 определяется как .

Расстояние от точки до плоскости.

.

4.Нормальное уравнение прямой.

Каноническое. ((x-x₀)\a₁)=((y-y₀)\a₂)=((z-z₀)\a₃)

5.Угол между 2мя прямыми. Условие перпендикулярности и параллельности 2х прямых.

Угол между двумя прямыми в пространстве.

Пусть в пространстве заданы две прямые. Их параметрические уравнения: l₁: , l₂: .

. Угол между прямыми j и угол между направляющими векторами j этих прямых связаны соотношением: j = j₁ или j = 180⁰ - j₁. Угол между направляющими векторами находится из скалярного произведения. Таким образом: .

Условия параллельности и перпендикулярности в пространстве.

Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. Для того, чтобы плоскости были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы косинус угла между плоскостями равнялся нулю. Это условие выполняется, если: . Плоскости параллельны, векторы нормалей коллинеарны:||.Это условие выполняется, если:A₁\A₂=B₁\B₂=C₁\C₂.

Условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве. Чтобы две прямые были параллельны необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были коллинеарны, т.е. их соответствующие координаты были пропорциональны.

Чтобы две прямые были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были перпендикулярны, т.е. косинус угла между ними равен нулю. .

Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости в пространстве. Для того, чтобы прямая и плоскость были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы вектор нормали к плоскости и направляющий вектор прямой были перпендикулярны. Для этого необходимо, чтобы их скалярное произведение было равно нулю. .

Для того, чтобы прямая и плоскость были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы вектор нормали к плоскости и направляющий вектор прямой были коллинеарные. Это условие выполняется, если векторное произведение этих векторов было равно нулю. .

6. Приведение общего уравнения прямой к нормальному виду.

Чтобы привести общее уравнение прямой к нормальному виду нужно обе части равенства умножить на так называемый нормирующий множитель, который равен . Знак нормирующего множителя берется противоположным знаку слагаемого С. Если C = 0, то знак нормирующего множителя не имеет значения и может быть выбран произвольно.