Функция распределений вероятностей случайной величины.

1.Определение функции распределения и её свойства. График функции распределения.

Функцией распределения называют функцию F(х), определяющую вероятность того, что случайная величина X в результате испытания примет значение, меньшее х, т.е.

. (*)

• F(х) для любого числа x  R равна вероятности события {X < x}. Функцию F(х) называют также интегральной функцией распределения.

• F(х) – неубывающая функция на R, т.е.

F(x₂)  F(x₁), если х₂ > х

• Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а, b), то: 1) F(x) = 0 при х  а; 2) F(x) = 1 при х  b.

• Если возможные значения непрерывной случайной величины расположены на всей оси х, то справедливы следующие предельные соотношения:

.

• F(x) непрерывна слева, то есть

.

При возрастании х в интервале (а, b), в котором заключены все возможные значения случайной величины, график «подымается вверх» (второе свойство).

При х  а ординаты графика равны нулю; при x  b ординаты графика равны единице (третье свойство). График функции распределения непрерывной случайной величины изображен на рис.

Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины.

1.Определение плотности распределения. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал. Геометрический смысл плотности распределения.

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины X называют функцию f(х) – первую производную от функции распределения F(х):

f(х) = F' (х)

Теорема. Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу (а, b), равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от а до b:

Геометрически полученный результат можно истолковать так: вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (а, b), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью Ох, кривой распределения f(х) и прямыми х = а и х = b.

2.Нахождение функции распределения по известной плотности распределения. Свойства плотности распределения.

Плотность распределения обладает следующими свойствами:

1. f(х) неотричательная, то есть f(х)  0.

2. В соответствии с доказанной теоремой вероятность попадания н.с.в в промежуток [a, b] равна определенному интегралу от ее плотности в пределах от а до b (10.2).

3. Функция распределения н.с.в. может быть выражена через ее плотность вероятности по формуле

4. Условие нормировки: несобственный интеграл от плотности вероятности н.с.в. в бесконечных пределах равен единице, то есть

.

Зная плотность распределения F(X), можно найти функцию распределения f(X) по формуле

f(X) = F'(X).

3.Закон равномерного распределения вероятностей.

Распределение вероятностей называют равномерным, если на интервале, которому принадлежат все возможные значения случайной величины, плотность распределения сохраняет постоянное значение.