Определители 2го и 3го порядка, их свойства. Алгебраические дополнения. Решение систем линейных уравнений. Правило Крамера.

1,2. Определители 2го порядка и их свойства. Определители 3го порядка и их свойства.

Определители 2-го и 3-го порядка и их свойства. Если квадратная матрица имеет определитель, отличный от нуля (Δ ≠ 0), то говорят, что матрица невырожденная, в противном случае - матрица вырожденная или особая.

Определителем квадратной матрицы 2-го порядка, называется число равное разности произведений элементов главной и побочной диагонали матрицы.

Определителем квадратной матрицы3-го порядка, называется число равное:

Таким образом, вычисление определителя третьего порядка сводится к вычислению определителей второго порядка.

Свойства определителей:

1. Если строка (столбец) матрицы состоит из 0, то ее определитель равен 0.

2. Если все элементы, какой-либо строки (столбца) матрицы умножить на одно и тоже число, то и ее определитель умножится на это же число.

3. При транспонировании матрицы ее определитель не меняется.

4. При перестановке, каких-либо двух строк (столбцов) матрицы знак матрицы меняется на противоположный. Доказательство вытекает из того, что при перестановке одной транспозиции четность инверсии меняется.

5. Если квадратная матрица содержит две одинаковые строки (столбца), то её определитель равен 0.

6. Сумма произведений элементов, какой-либо строки (столбца) на алгебраические дополнения какой-либо строки (столбца) равно 0.

7. Если элементы, какой либо строки (столбца) равны сумме двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки (столбцы) кроме указанных, те же что и в исходном определителе, а рассматриваемая k-строка (столбец) в первом определителе содержит первые слагаемые, во втором вторые.

8. Определитель матрицы не изменится если к элементам какой-либо строки (столбца) прибавить элемент какой-либо строки (столбца) предварительно умноженные на одно и то же число.

3.Решение систем линейных уравнений с 2мя неизвестными. Правило Крамера.

Метод Крамера может быть использован в решении системы стольких линейных уравнений, сколько в каждом уравнении неизвестных. Если определитель системы не равен нулю, то метод Крамера может быть использован в решении, если же равен нулю, то не может. Кроме того, метод Крамера может быть использован в решении систем линейных уравнений, имеющих единственное решение.

Определение. Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы и обозначается (дельта).

Определители

получаются путём замены коэффициентов при соответствующих неизвестных свободными членами:

;

.

Формулы Крамера для нахождения неизвестных:

.

Найти значения и возможно только при условии, если

.

Этот вывод следует из следующей теоремы.

4.Решение систем линейных уравнений с 3мя неизвестными. Правило Крамера.

Системы трёх линейных уравнений с тремя неизвестными имеют вид:

где a, b, c, d, e, f, g, h, p, q, r, s – заданные числа; x, y, z – неизвестные. Числа a, b, c, e, f, g, p, q, r – коэффициенты при неизвестных; d, h, s – свободные члены. Решение этой системы может быть найдено теми же двумя основными методами, рассмотренными выше: подстановки исложения или вычитания. Мы же рассмотрим здесь подробно только метод Крамера.

Во-первых, введём понятие определителя третьего порядка. Выражение

называется определителем третьего порядка.

Запоминать это выражение не нужно, так как его легко получить, если переписать таблицу (2), добавив справа первые два столбца. Тогда оно вычисляется путём перемножения чисел, расположенных на диагоналях, идущих от a, b, c – направо ( со знаком « + » ) и от c, a, b – налево ( со знаком « – » ), и затем суммированием этих произведений:

Используя определитель третьего порядка (2), можно получить решение системы уравнений (1) в виде:

Эти формулы и есть правило Крамера для решения системы трёх линейных уравнений с тремя неизвестными.

5.Алгебрарические дополнения и миноры.

Минором элемента a_ij квадратной матрицы |A| n-ного порядка, называется определителем матрицы, полученной из матрицы |A| вычеркиванием i-той строки j-того столбца.

Алгебраическим дополнением A_ij элемента a_ij квадратной матрицы |A|, называется минор этого элемента, умноженный на (-1) в степени.

Вычисление определителей произвольного порядка (теорема Лапласа). Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения: (разложение по элементам i-й строки);(разложение по элементам j-го столбца).