Учебники / Ter-Krikorov_Kurs_matematicheskogo_analiza_2015

^ J (1 —т)п dr = гс + ^ , откуда получаем: г„(1) —^ 0 при те —^ оо.

о

Итак, если х € (—1,1], то остаточный член г„(ж) для функции f(x) = 1п(1 + х) стремится к нулю при те —^ оо, т. е. ряд Маклоре­ на сходится к f(x). •

Из формул (15) и (22) получаем разложение функции 1п(1 + х) в

г) Степенная функция. Пусть f(x) = (1 + х)а. Если а = 0, то f(x) =

= 1, а если а = те, где те G А/, то f(x) — многочлен степени те, который можно записать по формуле бинома Ньютона в виде конечной суммы:

yk к

/(*) = £ с*упХ .

к =О

Покажем, что если а ^ N и а ф 0, то функция f(x) = (1 + х)а представ­ ляется при каждом х € (—1,1) сходящимся к ней рядом Маклорена

ОО

где

,а(а — 1 ) ...(а — п)

которое справедливо при всех тесто й для каждого х € (—1,1).

соотношения (37) следует, что rn(x) —1 0 при ri —1 оо для каждого х € € (—1,1), т. е. справедливо равенство (30), причем радиус сходимости

В заключение заметим, что при разложении функций в ряд Тей­ лора обычно используют формулы (16)—(20), (28)-(30) и применяют такие приемы, как: представление данной функции в виде линейной комбинации функций, ряды Тейлора для которых известны; замена переменного; почленное дифференцирование и интегрирование ряда.

Пр име р 1. Разложить в ряд Маклорена функцию f(x) и найти

п=О

°°Ап+1

ГЛАВА X

КРАТНЫ Е И Н ТЕГРАЛЫ

§ 4 5 . М ера Ж о р д а н а в Я”

1. К л ет о ч н о е м н о ж ес т в о в Rn. Множества А и В называют непересекающимися, если А П В = 0 . Говорят, что множества A i,..., А п попарно не пересекаются, если для любых i , j € {1 множества

Ai и Aj непересекающиеся. Совокупность множеств { A i , Ап} бу-

П

дем называть разбиением множества А, если А = \J А* и множест­

будем называть клеткой в Rn. Пустое множество также считается клеткой.

Полуинтервал [а, Ь) является клеткой в R. Клетками в Я2 и Я3 являются прямоугольники и прямоугольные параллелепипеды, у ко­ торых удалены соответствующие стороны или грани.

Множество А € Я” будем называть клеточным, если оно является объединением конечного числа попарно непересекающихся клеток.

Клеточное множество может быть разбито на клетки бесконечным множеством способов.

2 . С в ой ств а к л ето ч н ы х м н о ж ес т в .

Св о й с т в о 1. Пересечение двух клеток есть клетка.

О Для доказательства достаточно заметить, что пересечение двух полуинтервалов [а, Ъ) и [с, d) является либо пустым множеством, либо полуинтервалом такого же вида. •

точное множество.

О Если клетки П1 ,...,П Р образуют разбиение клеточного множест­ ва А, а клетки П^,...,П^ образуют разбиение клеточного множест­

ва В, то клетки Пу = П* П П^- при * = 1,р, j = 1, q образуют разбиение множества А П В. •

Св о й с т в о 4. Разность двух клеток есть клеточное множество.

О Если клетка R является пересечением клеток П и Q, то П\<3 = П\Д и существует такое разбиение клетки П, что клетка R является одной

из клеток разбиения. Для того чтобы в этом убедиться в плоском случае (в /?"), достаточно провести через вершины прямоугольника R прямые, параллельные сторонам П. Удаляя из разбиения П клетку R, получаем, что П \ R — клеточное множество. •

Св о й с т в о 5. Разность двух клеточных множеств есть клеточ­ ное множество.

О Пусть клеточное множество А разбито на клетки Щ, ...,ПР и Q — некоторая клетка. В силу свойства 4 множества Ki = П* \ Q являют­ ся попарно непересекающимися клеточными множествами. Множест­ во А \ Q совпадает с объединением всех и является клеточным множеством в силу свойства 3. Если клетки Щ, ...,И'т образуют раз­ биение клеточного множества В, то множество А \ В можно полу­ чить, последовательно вычитая из А клетки !![, ...,И'т. Так как на каждом шаге этого процесса получается клеточное множество, то и множество А \ В, образующееся за конечное число таких шагов, яв­ ляется клеточным. •

Св о й с т в о 6. Объединение конечного числа клеточных множеств

Мера пустого множества равна нулю по определению.

В частности, мера полуинтервала равна его длине, мера пря­ моугольника равна его площади, мера параллелепипеда равна его объему.

Если клетки Hi , Пр образуют разбиение клеточного множест­ ва А, то мерой гп(А) множества А назовем число

Корректность определения 3 доказывает следующая лемма.

Л е м м а 1. Мера клеточного множества не зависит от способа разбиения этого множества на клетки.

О Можнопоказать, что каким бы способом клетку П не разбивали на клетки Щ ,...,Пр, мера П как клеточного множества всегда равна мере клетки П, определяемой формулой (2). Для разбиений клетки, порождаемых одномерными разбиениями всех полуинтервалов [а,,Ь,) в (1), это утверждение доказывается прямым подсчетом. В общем случае можно сделать дополнительные разбиения.

Если Л — измеримое по Жордану множество, то его мерой то(Л) называется такое число, что для любых двух клеточных множеств А и В, удовлетворяющих условию Л С О С -В, выполнено неравенство т(А) ^ гп(Л) ^ то(В).

J1 е м м а 2. Определение меры измеримого по Жордану множест­ ва Л корректно: число то(Л) существует и единственно, причем

т (Л) = sup т(А) = inf т(В). Асп вэп

О Пусть А и В произвольные клеточные множества такие, что А С С Л С В. Тогда т(А) (С т(В) (свойство 2, п. 4). Существует чис­ ло у, разделяющее числовые множества {то(Л)} и {то(В)}, порожда­ емые клеточными множествами Л С Л и клеточными множествами В D Л (§ 2, теорема 2), т. е.

Из определения меры множества Л следует, что в качестве то(Л) можно взять число 7 . Существование числа то(Л) доказано. Докажем его единственность. Пусть есть два числа а и (3 таких, что для любых

Так как множество Л измеримо по Жордану, то для любого е > О найдутся клеточные множества Ае и Ве такие, что

Св о й с т в о 1. Если Е С Rn и для любого е > 0 найдется клеточ­ ное множество В = Ве такое, что Е С В и гпВ < е, то гпЕ = 0.

О Пусть Л = 0 ; тогда Л С В С В, тоВ —тоЛ = тоВ < е. Следователь­ но, Е — измеримое множество и гпЕ = 0, так как е — произвольное положительное число. •

З а м е ч а н и е . Множество, удовлетворяющее условиям, указанным в свойстве 1, будем называть множеством меры нуль.

Св о й с т в о 2. Объединение двух множеств (конечного числа мно­ жеств) меры нуль есть множество меры нуль.

О Если rn(Ei) = т(Е2) = 0, то для любого е > 0 найдутся клеточные множества Bi и В2 такие, что

Ei с Bi, Е2 С В2, to(Bi) < | , то(В2) < | .