Добавил:

citly Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого (бывш. СПбГПУ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебники / Ter-Krikorov_Kurs_matematicheskogo_analiza_2015

.pdf

Скачиваний:

157

Добавлен:

19.01.2020

Размер:

8.17 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 4344 / 6844 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 > Следующая >>>

430	Гл. IX . Функциональные ряды

кое R (R ф 0 — число или +оо), что при R ф 0,+оо ряд (11) схо дится, если |ж —Жо| < R, и расходится, если |ж —Жо) > R. Интервал (жо —R, Хо + R ) называют интервалом сходимости, a R — радиусом сходимости ряда (11). Радиус сходимости ряда (11) совпадает с ра-

		СЮ
диусом сходимости ряда		an(z —хо)п, где г — комплексное пере-
менное. При R = 0 ряд		п = 0
		(11) сходится лишь в точке х = X Q , а при
R = +оо — на всей числовой прямой.
2 .	Р егу л я р н ы е ф у н к ц и и . Введем понятие функции комплекс

ного переменного. Пусть каждой точке z £ Е, где Е — множество точек комплексной плоскости, поставлено в соответствие комплекс ное число w. Тогда говорят, что на множестве Е определена функция комплексного переменного, и пишут w = f(z), где символом / обозна чено правило (закон), определяющее это соответствие.

Понятия предела, непрерывности, производной для функции комп лексного переменного вводятся по аналогии с соответствующими по

нятиями для функции действительного переменного. Если
Ve > О 3 6	= 5е > 0: Vz: \z — а\ < 5е ^ \| / ( z ) —f(a)\ < е,
то функцию f(z)	называют непрерывной в точке а.
	СЮ
Отметим еще, что понятие равномерной сходимости ряда		un(z)

п = 1

скомплексными членами формально вводится так же, как и для рядов

сдействительными членами, а сумма равномерно сходящегося ряда, составленного из непрерывных функций комплексного переменного, есть непрерывная функция.

Введем важное для функций комплексного переменного понятие регулярности.

Функция комплексного переменного f(z) называется регулярной

(однозначной аналитической, голоморфной) в точке а, если она опре делена в некоторой окрестности точки а и представима в некотором круге |z —ct\ < р, р > 0, сходящимся к f(z) степенным рядом

СЮ
f ( z) = ^ c „ ( z ^ a ) ” .	(12)

п =О

Отметим, что любой многочлен, т. е. функция вида P(z) = Е ayzk,

k = О

является регулярной функцией в каждой точке комплексной плос кости.

Рациональная функция f(z) =

где Рп и Qm — многочлены

Qm\Z)

степени п и гп соответственно, регулярна в каждой точке а, в которой Qm(o.) Ф 0. Если многочлены Рп и Qm не имеют общих корней и если

Z —!-Z0

lim

§43. Степенные ряды

431

г = Zq — корень многочлена Qm(z), то f(z) = оо, а точку Zq

называют полюсом функции f(z). Полюсы — один из типов особых точек функций комплексного переменного (см. [6]).

В теории функций комплексного переменного доказывается, что

	СЮ
на границе круга сходимости степенного ряда	c„(z ^ а)” лежит
	п= 0

хотя бы одна особая точка его суммы f(z) и что радиус сходимости этого ряда равен расстоянию от точки а до ближайшей к а особой точки функции f(z).

В частности, если f(z) =			причем		многочлены Рп и Qm
	Q m \ Z )
не имеют общих корней, то радиус сходимости R степенного ряда
СЮ
c„(z ^ а)” равен расстоянию от			точки а до ближайшего к этой
п = 0
точке корня многочлена Qm(z), т. е.
R =	min		\zh	— а\,
где zp (к = 1 ,то) — корни	многочлена Qm(z)				(предполагается, что
а ф гк, к = 1,т).		^
Например, если f(z) =	-	г—-т		то	корнями многочлена
	( г -	3 ) ( z 2 +		1)

(z —3)(z2 + 1) являются числа Z\ = 3, Z2 = i, Zz = —г. Поэтому радиус

		СЮ
сходимости R степенного ряда f(z)	=	cn(z —I)2 равен наимень-
шему из чисел \|3 —1\|, \i —1\|, \i + 1\|,		п=0
шему из чисел \|3 —1\|, \i —1\|, \i + 1\|,	т. е. равен \[2.

Т е о р е м а 5. Функция f(z), регулярная в точке а, единственным образом представляется рядом (12).

О Пусть функция f(z) имеет два представления в виде степенного

ряда (12) в круге К = {z:		\z — а\ < р}, где р > 0, т. е.
	СЮ		СЮ
f ( z ) = Л		с»(г “ а)П= ^ C n { z - а) п .		(13)
	П=0		П=0
Докажем, что сп = сп для п = 0,1,2,...
	СЮ		СЮ
По условию ряды	c„(z ^ а)” и		c„(z ^ а)” сходятся в кру-
	п=0		п=0

ге К, и поэтому (см. следствие 1 из теоремы 1) эти ряды сходятся равномерно в круге К\ = {z: \z — а\ ^ р\ < р}, а их общая сумма — непрерывная в круге К\ функция. В частности, функция f(z) не прерывна в точке а. Подходя к пределу при г - t o в равенстве (13), получаем Со = Сц. Отбрасывая одинаковые слагаемые со и со в равен-

432	Гл. IX . Функциональные ряды
стве (13), получаем после деления на г —а равенство
ci + с2(г —а) + c3(z -	а)2 + ... = с\ + с2(г —а) + с3(г —а)2 +	(14)

которое справедливо в круге К с выколотой точкой а. Ряды в левой и правой частях (14) сходятся равномерно в круге К\ (следствие 2 из теоремы 1), а их общая сумма непрерывна в круге К \. Переходя в равенстве (14) к пределу при г -+ а, получаем С\ =С\. Справедли вость равенства сп = сп при любом п устанавливается с помощью индукции. •

3. С в ой ств а	ст еп ен н ы х	р я дов .
Т е о р е м а 6.	Степенные ряды
		СЮ		(15)
	у			(15)
	п=0
	сю			(16)
	У	с"	z n+1,	(16)
	п=0	П + 1
	У	ncnzn^ 1		(17)

71=1

имеют один и тот же радиус сходимости.

О Пусть Д, Ri и Д2 — радиусы сходимости рядов (15), (16) и (17) со ответственно, К , К\ и К 3 — круги сходимости этих рядов. Докажем,

что	R 1 = R = Д2.	(18)
	R 1 = R = Д2.	(18)
Так как —-— < 1 < п для любого п € N, то
п + 1
Сп ~п+1	^ \z\ • \cnzn\ ^ \z\' • \ncnz n \|.	(19)
п + 1

Неравенства (19) справедливы при любом ri € N и при любом z.

а) Пусть г = Zq € К 3 и Zq ф 0. Тогда по теореме 2 ряд (17) сходится абсолютно в точке ZQ, а из правого неравенства (19) в силу теоремы сравнения следует абсолютная сходимость ряда (15) в точке zq. Итак,

если Zq € К 2 , ТО Zq € К , И ПОЭТОМУ
Д2 R ■	(20)

б) Аналогично, если г = Zq ф 0 и Zq € К , то из левого неравенст ва (19) следует, что ряд (16) абсолютно сходится в точке zq. Таким

образом, если ZQ € К , то ZQ € К i, и поэтому
Д ^ Д ь	(21)
Из (20) и (21) получаем двойное неравенство
Д2 Д Дх.	(22)

	§43. Степенные ряды			433
в) Докажем, что		R\ ^	R 2-	(23)

Пусть	Zq £ K i и Zq ф 0. Тогда		\Z Q \ < R i,	и ряд (16) абсолютно
сходится	вточкеZg (теорема 2). Выберем р так, чтобывыполнялись
неравенства		\Z Q \ < р < R\.		(24)

Запишем следующее равенство:
		П + 1	Ы Г +1 п(п + 1)
	\псп г Г 1\ =
		п + 1	р J	(25)
				Ы 2

Так как р £ К i в силу условия (24), то ряд (16) сходится при z = р, и поэтому

	З А / >0:	Vn 6 W +	cnpn+1	«СМ.	(26)
			п + 1
Обозначим	= а. Тогда 0 < q < 1, так как Zg ф 0, и выполняется
	Р
условие (24). Из равенства (25) в силу условия (26) следует, что
	InCnZ™-1] ^	, 4 n ( n +	l)qn+1,	0 < q < l .	(27)
		\Щ
	oo
Так как ряд	м
Так как ряд	——- п(п + 1)qn+1, где 0 < q < 1, сходится по признаку

„=1 N 2

Д’Аламбера, то из (27) следует абсолютная сходимость ряда (17) в точке Zg. Итак, если Zg £ К i, то Zg £ К 2, откуда получаем

R I ^ R 2-

(28)

Из неравенств (22) и (28) следует равенство (18). •

Обратимся теперь к степенным рядам вида (11), где коэффициен ты ряда — действительные числа, а переменное х принимает дейст вительные значения.

Т е о р е м а 7. Если ряд

ОО

^ 2 а к(х - х0)к = f(x)	(29)
к =О
имеет радиус сходимости R > 0, то:
1) в интервале сходимости (жо — R,Xg + R ) функция /	имеет про

изводные любого порядка, получаемые почленным дифференцированием

ряда (29);
2)внутри интервала сходимости	этот рядможно почленно
интегрировать, т. е. для любого х £	(xg —R, Х д + R )справедливо

434 Гл. IX . Функциональные ряды

равенство
	=	(ад
жо	к =О
О Рассмотрим ряд
	^ 2 к а к( х - х о)*-1 ,	(31)
	fc=i

составленный из производных членов ряда (29). По теореме 6 ряд (31) имеет тот же радиус сходимости, что и ряд (29), а по следствию 1 из теоремы 1 ряд (31) сходится равномерно на отрезке А р = [жо —

—р,хо + р], где р — произвольное число такое, что 0 < р < R.

Всилу теоремы 11 из § 42 ряд (29) можно почленно дифференци ровать на Ар, а значит, и в любой точке х G (жо —R, Xq + К), т. е. справедливо равенство

СЮ
f'(x) = ^	как(х —жо)*-1 ,	х G (жо —R , XQ + К).	(32)
к = 1
По индукции доказывается, что
	СЮ
/(»)(ж) =	Y , акк(к - 1)...(к-	(п - 1))(ж - х0)к~п,	(33)

к = п

где те G Л/, ж G (жо —R, Xq + К), т. е. ряд (29) можно почленно диффе ренцировать любое число раз.

Справедливость равенства (30) следует из теоремы 9 из § 42. •

Сле дс твие . Коэффициенты ряда (29),			имеющего радиус сходи
мости R > 0, выражаются формулами
	ао = f(xo),	ап = ^	те G N.	(34)
О Формулы (34) получаются из равенств			(29) и (33) при х = X Q . •
З а м е ч а н и е 3. Из формул		(34) следует единственность		разложения
функции f ( x) в степенной ряд вида (29).
	§ 4 4 . Р я д Т ей л о р а
1.	П он я ти е р я да Т ей л о р а . Если функция /(ж) определена в не
которой окрестности точки Xq и имеет в точке Xq производные всех
порядков, то степенной ряд
	+			( ! )
	п = 1

называется рядом Тейлора функции / в точке XQ.

§44Рид Тейлора			435
Пусть функция / регулярна в точке жо, т. е.		представляется в
некоторой окрестности точки X Q с х о д я щ и м с я к э т о й		функции степен
ным рядом
СЮ
f ( x ) = ^ 2 ап(х ^ х0)п,	■—ж0\| < Р,	Р > 0.	(2)
п = 0
Тогда по теореме 7 из § 43 функция /	бесконечно дифференцируема
в окрестности точки XQ, причем коэффициенты ряда (2) выражаются
формулами
а0 = f ( x 0), ап = ^	п £ N.		(3)

Таким образом, степенной ряд для функции /(ж), регулярной в дан ной точке а, совпадает с рядом Тейлора функции / в точке а.

Если известно, что функция /(ж) бесконечно дифференцируема в точке а (и даже в некоторой окрестности этой точки), то нельзя утверждать, что составленный для этой функции ряд Тейлора (1) сходится при х ф Хо к функции f(x).

Рассмотрим функцию /(ж) = е-1/®2, х ф 0, /(0) = 0. Эта функция определена на R,

f ( x ) = ^			e - ^ 2,	f "( x ) = ( ^ - ^ ) e - 1^				при ж ф 0,
		X		\ JL	JL	/
откуда с помощью индукции легко показать, что
			f ( n)(x) = e - 1/x2QZn{ ^ )			при ж # 0,
где Qzn{t)	—		многочлен степени Зте от			t.	Воспользуемся тем, что
1	1/	2	= 0 для	любого к £ N	(§ 19, пример				7), и докажем,
lim — г еГ ,х
ж-s-O \|ж\|Л
ЧТО			/ « ( 0) = 0 для любого				к £ N.		(4)

Утверждение (4) верно при к = 1, так как /'(0) =								lim	е - 1/®2
									= 0, от

куда, предположив, что формула (4) справедлива при к = те, находим

/(»+D(0) = lim / " ’(s) ~ / (n)(°) = Пт ^ Q s J ^ e - 1^ 2 = 0.

ж-»-о

ж-»-о х

\ х J

Таким образом, по индукции доказано равенство (4), и поэтому все коэффициенты ряда Тейлора (1) в точке XQ = 0 для рассматриваемой функции равны нулю.

Так как е^1Рх ф 0 при хф 0, то сумма ряда Тейлора для функции / не совпадает с f(x) при х ф 0. Иначе говоря, эту функцию нельзя представить рядом Тейлора, сходящимся к ней в окрестности точки Жо = 0.

436		Гл. IX . Функциональные ряды
Причина этого явления становится понятной, если функцию /
рассматривать		в комплексной плоскости. В самом деле,				функция
f(z) = еХ1^		не является	непрерывной		в точке z = 0,	так как
/(ж) = еХ1^ X		0 при х X	0, а /(% ) = е1/у		X +оо при у х	0.
2.	Остаточный член формулы Тейлора. Пусть функция fix)
бесконечно дифференцируема в точке Xq. Тогда ей можно поставить
в соответствие ряд (1). Обозначим
		s n(x) =	^	(х -	Х0)к,	(5)
			к=О
		гп(х) = /(ж) -		Sn(x)		(6)
и назовем гп(х) остаточным членом формулы Тейлора для функции /
в точке Хо (см. § 18). Если существует
			lim г„(х) = 0,			(7)
		П —¥ ОО

то согласно определению сходимости ряда ряд (1) сходится к функции /(ж) в точке х, т. е.

			п = 0
Т е о р е м а		1.	Если функции			/(ж), /Дж),		...,f( n+1'1(ж)неп
на интервале		А	=(жо	—5,Хо +		S),	где 6 >		0,тодлялю
остаточный член формулы Тейлора для функции /							в точке X Q		м о ж н о
представить:
а)	в интегральной форме			X
				X
			г„(ж) =	(х -	t)nf (n+1) (t) dt;				(9)
				жо
б)	в форме Лагранжа
			Г п (х )=	( п + ^ !	( х ^ х 0)п+1,				(Ю )
где f	принадлежит интервалу с концами XQ и х.
О Формула (10) была доказана в § 18. Докажем формулу (9) методом
индукции. В силу равенств (5) и (6) нужно показать, что
/(ж )	- /(жо)	=	(х - <>) + ^			] \ x ^ t ) nf		n+1\ t)d t . (11)

к= 1

а;о

§44Рид Тейлора

437

Воспользуемся равенством / f'(t) dt = f(x) —f ( x о) и преобразуем i

жо

левую часть с помощью формулы интегрирования по частям:

р	р	*'—х	X
р	р	*'—х	р
J f ( t )	dt = - J f ( t ) d(x - t ) = [~f'(x)(x -	t)] ^	+ j \ x - t)f"(t) dt =
XQ	XQ	XQ
			X
	= f'(x0)(x - X Q ) + f ( x - t)f"(t) dt.
			XQ
Таким образом,
		X
	f(x) - f ( x o) = f'(x o)(x - x 0) +	f (x -	t)f"(t) dt,
		so

т. e. формула (11) верна при n = 1. Предположим, что формула (11) является верной для номера п —1, т. е.

/(ж) - f ( x 0) = £	(ж - Х0)к +	/(ж - t)n- 1/ (n)(i) dt.
к= 1		а;о
		(12)

Преобразуем интеграл в правой части формулы (12), применив фор мулу интегрирования по частям:

J ( x - t ) n- 1f W ( t ) d t = - ±		j	f	{n)( t ) d ( ( x - t ) n) =
XQ		XQ
= ( - h	f (n)m x ^ t r )	+	i	f ( x - t ) nf ^ +iHt)dt =
\	/ t = X 0			J

= ^ f (n)(xо)(ж- ж0)" + ^ J ( x - t ) nf ( n+1)(t)dt.

X()

Отсюда следует, что равенство (12) можно записать в виде (11). Фор мула (9) доказана. •

Т е о р е м а	2. Если функция / и все ее производные ограничены в
совокупности на интервале А = (жо —S,XQ + 6), т. е.
З М	>0: Vx € Д	\ f(n)(x)\ ^ М,	п = 0,1,2,...,	(13)
то функция /	представляется сходящимся		кней в каждой точке ин
тервала А рядом Тейлора		(8).
О Пусть х € (жо —S,Xq +		6). Тогда, используя формулу (10) и усло
вие (13), получаем

Ы * ) \ ^

(14)

438 Гл. IX . Функциональные ряды

Так как	lim	— = 0 для любого а > 0 (§ 40, пример 4, а)), то из (14)
	П — 'тОО	П \
следует, что выполняется условие (7), т. е. в точке х справедливо
равенство (8). •
Упражнение. Доказать, что теорема 2 остается в силе, если усло
вие (13) заменить следующим условием:
ЗМ > 0 3 (7 > 0: V* € А -*• \ f ln)(x)\			«СМСп,	п = 0,1,2,...
3.	Р а зл о ж ен и е эл ем ен т а р н ы х		ф у н к ц и й	в р я д Т ей л о р а . Най
дем разложение основных элементарных функций в ряд Тейлора в
окрестности точки Xq = 0, т. е. в ряд вида
		f w = Е Ч \	хП'	(15)

который называют рядом Маклорена. Заметим, что коэффициенты

/(»)(о)

-— разложения (15) для основных элементарных функций (по

казательной, гиперболических, тригонометрических и других) были найдены в § 18.

а)	Показательная и гиперболические функции. Пусть f(x) = ех.
Тогда для любого х €		(—р, р), где р > 0, выполняются неравенства
	0 < f(x)	< е р , 0 < f ( n\ x ) < е р , ri G N.

По теореме 2 ряд (15) для функции f(x) = ех сходится к этой функ ции на интервале (^р,р) при любом р > 0, т. е. радиус сходимости этого ряда R = +оо. Так как для функции f(x) = ех выполняются равенства /(0) = 1, /^ (О ) = 1 для любого те, то по формуле (15) по лучаем разложение в ряд Маклорена показательной функции

	е	=		Е т г -			(16)
				п=0	в!
Используя разложение (16) и формулы
.	€ Х 3" в	Х	,	.		€Х	е
chx = ----			,	sn;c =			2
	2						2

находим разложения в ряд Маклорена гиперболического косинуса и гиперболического синуса:

ОО2?7,

<** = Е	(fc jr	(1?)
п =О
sha: = y ^	'г— —т.	(18)

^(2п + 1)!

п=О

Радиус сходимости каждого из рядов (17), (18) R = +оо.

		§44Рид Тейлора	439
б)		Тригонометрические функции. Пусть /(ж) = sinx. Тогда \|/(ж)\| ^
^ 1	и	\| / ^ ( ж)1 ^ 1 для всех п £ N и для	всех ж £ R. По теореме 2
ряд	(15) для функции /(ж) = sin ж сходится для любого ж е (—оо, +оо),
т. е. радиус сходимости этого ряда R = +оо.

Если /(ж) = sin ж, то /(0) = 0, /(2пЦ0) = 0, /'(0) = 1, /( 2»+1)(0) = = (—1)” для любого те, и по формуле (15) получаем разложение синуса

в ряд Маклорена:	/_1 \п
°°	/_1 \п			(19)
8 Ш Ж = Г Т ^ Л д Ж 2^ 1.				(19)
	(2п+	1)!		v	'
п =О
Пусть /(ж) = cos ж. Тогда \|/(ж)\| ^		1,	\f^n'1(ж)\| ^ 1 для всех	те	и
для всех же R, /(0) = 1, /'(0) = О, / ^ ( О )			= (-1 )”, /( 2”+1)(0) = 0 для
всех те. По формуле (15) получаем
COS Ж —	х v -!)
COS Ж —	х
П=О				< 2 0	>
П=О
Радиус сходимости каждого из рядов (19) и (20) R = +оо.
в) Логарифмическая функция. Пусть /(ж) = 1п(1 + ж). Тогда
; w (9 =	(-1)J 7 "		: 1)!,	(2D
откуда находим
/(»)(о)	_			(22)
п\		П		(22)
п\		П

О Оценим остаточный член гп(ж), пользуясь формулой (9) при XQ= 0.

Преобразуем эту формулу, полагая t = тх. Тогда dt = xdr,					1 —ж =
= ж(1 —т) и формула (9) примет вид
		rn(x) = ^ f ( l ^ T	) f (n+1HTx)dT.		(23)
		о
Если	/(ж) =	1п(1 + ж), то по формуле		(23), используя	равенст
во (21), получаем
		г„(.т) = (-1 ) V + P j J L z l ? L dT.			(24)
Пусть	\|ж\| < 1. Тогда справедливы неравенства
		\| 1 - ~ж\| )> 1 -	~\|ж\|	I —Г.	(25)
		\|1 + тж\| >	1 —\|ж\|,		(26)
так как 0	^ т^	1. Отсюда следует, что при любом те е N выполняется
неравенство		\|1 + тж\|”+1 > (1 - т ) ” (1 - \|ж\|).			(27)
		\|1 + тж\|”+1 > (1 - т ) ” (1 - \|ж\|).			(27)

<<< < Предыдущая 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 4344 / 6844 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Учебники

#
19.01.20208.17 Mб157Ter-Krikorov_Kurs_matematicheskogo_analiza_2015.pdf
#
29.09.201917.39 Mб117Задачник Демидович.pdf
#
29.09.20196.68 Mб106Конспекты по химии.pdf