Добавил:

citly Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого (бывш. СПбГПУ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебники / Ter-Krikorov_Kurs_matematicheskogo_analiza_2015

.pdf

Скачиваний:

150

Добавлен:

19.01.2020

Размер:

8.17 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 4142 / 6842 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 > Следующая >>>

410 Гл. IX . Ф ункциональные ряды

причем

lim

ап = 0, то

п—»оо

fn{x)

=} f{X),

X £ Е.

Пр и м е р

2. Доказать, что последовательность {/п(ж)} равномер

но сходится на множестве Е,

и найти ее предельную функцию /(ж),

если:

______

а) /"(*) =

ДДЕД’

Е = t- 1 »Ч;

б) /»(ж) =

+ I; Е = R;

В ) Ш = Щ

Е = [ 0 , + о о У ,

Дп + X

r) fn(x) = nsin — , Е = [1, +оо).

пх

а) В этомслучае

/(ж) = 1

(пример 1,

а))

|/ п(ж) —/(ж)| =

1 — ж2г

—,таккак|ж|< 1. Следовательно,

п + х1

—k 1

^ г

1 1 1

П+ 1

п + Ж-

же

—1,1.

б) Используя

{

\ ^

неравенство ж2 Н—

( |ж| Н— =

)

, получаем 0

”

л/ж2 Н

уж2 ^

|ж| Н— -= —|ж| =

Дп

откуда следует, что

Дп

\Jx2 +

|ж|,

х £ R.

в) Так как 0 ^ arctg те2ж ^ ^ и ^/п + ж ^ ^/п при ж > 0, то 0 ^

^ /»(ж) ^ 1уП откуда получаем /„(ж) =4 0, х £ Е.

г) Вэтом случае/(ж) = - (пример 1,						б)). Используя неравенство
\| sin i — t\^	Е		Х		а)), получаем
\| sin i — t\^		—,t£ R(§18, пример 1,			а)), получаем
	I fn(x) - /(ж)\| =		.	1	1
	I fn(x) - /(ж)\| =		п sm ----------			<	п	<	—
				пх	пх	2 (п ж )2		' '	2 п ’
так как х ^	1. Следовательно,
		ns i n —	=4 - ,	ж е [1,+оо).			▲
		пх	х

б) Критерии равномерной сходимости последовательности функ ций.

Т е о р е м а 1. Для того чтобы последовательность функций {/„(ж)}, определенных на множестве Е, сходилась равномерно на этом множестве к функции /(ж), необходимо и достаточно, чтобы

lim sup \fn(x) - / (ж)| = 0.

(4)

п ^ ° ° х е е

§42. Равномерная сходимость последовательностей				и рядов	411
О Обозначим ап =	sup \f n(x) — /(ж )\|. Тогда условие (4) означает, что
	хеЕ
	Ve > 0	3 пе : Vn ^	п£ —¥ ап < е.		(5)
Если /„(ж) 14 f(x), х € E, то
V" > 0	3.Y :	\/n2>Ne ^	\|f n(x) - f(x)\ <	\| ,

откуда следует, что an ^ - < e для те ^ Ne. Поэтому неравенство an < e

выполняется при всех те ^ Ne, где пе = Ne. Обратно, если выполняется условие (4) или равносильное ему условие (5), то, используя неравен ство |/„(ж) —/(ж)| ^ ап для х € Е, те € N, получаем \ f n(x) —/(ж)| < е для х € Е, п пе, т. е. /„(ж) 14 f(x), х € Е. •

Пр и м е р	3. Доказать, что	последовательность {/п(ж)} сходится
равномерно на множестве Е,		и найти предельную функцию /(ж),
если:	9
а) /» (* ) =	а > 4 ’ E = R ;

б) /„(ж) = xn ^ x n+1, Е = [0,1];

в) /„(ж) = пх2е - пх, Е = [2, + о о ) .

А а) Если х = 0, то /„(0) = 0 для всех те € Л/, и поэтому								lim /„(0) =
			2ггЫ		=	2	2, откуда следует,
= /(0) = 0. Если ж ф 0, то \|/ п{х)\| «С— У					=		2, откуда следует,
что fn(x)			Iv	JL	X / v
что fn(x)	0 при те -А о о ,так кака >4. Таким образом, предельная
функция/(ж) = 0, х € R.
Так как при х ф 0 справедливо неравенство						1 + теаж2		2теа/2\|ж\|,
причем это неравенство обращается в равенство лишь в случае, когда
теаж2 = 1, т. е. \|ж\| =		те-0 /2, то
	I fn(x) —/(ж)\|		^ 2 w =	— j— ,			х ф 0.
	W	J W l	^ 2п“/2\|ж\|	n“/2- 2			T
Следовательно, sup \|f n(x) —f ( x )\| = — \------ У 0 при те —^ oo, если a > 4,
	xeE		na/- -
и поэтому /„(ж) 14 0, x € R.
б)	Если x €	[0,1), то x n —У 0 при те —у о о ,				и поэтому /„(ж) -А 0 при
те -А о о . Если ж = 1, то /„(1) = 0, и поэтому /(1) = 0. Следовательно,
/ ( ж) = о,	ж е [0,1].
Чтобы	вычислить sup \|/ п(ж) —/(ж)] =				sup \|/ п(ж)\|, найдем точки
		хеЕ			хеЕ

экстремума функции /„(ж).

Уравнение f'n(ж) = теж”-1 —(те + 1)ж” = ж”-1 (те —ж(те + 1)) = 0 име ет внутри отрезка [0,1] единственный корень хп = — пРичем

/\ ^ 1

fn(xn) = ( — у )	-• Заметим, что Д(ж) > 0 при ж G (0, жп) и Д(ж) < О
\ ТЬ"Т J. /	?!

412 Гл. IX . Ф ункциональные ряды

при ж € (хп, 1). Поэтому sup f n ( x ) = max /„(ж) = f n ( x n ) < —Д л я всех

n € N	xeE		n
	и, согласно теореме 1, /„(ж) 14 0, x € [0,1].
в)	Учитывая, что teXai —¥ 0 при t -X +oo		(если a > 0), находим
lim f n (x) = f ( x ) = 0, x G [0 ,+ o g ].			2
П —¥ OO	_

Так как f'n{x) = nxeXnx{2 —xn) < 0 при x > —, то функция /„(ж)
является убывающей на промежутке		, +ooj , и поэтому
	sup/„(ж) ^ /п (^ ) = ^ е-2 -1 0 при		п -1 оо.

По теореме 1 последовательность {/п(ж)} равномерно сходится к /(ж) = 0 на множестве Е = [2, +оо). ▲

Т е о р е м а 2 (критерий Коши равномерной сходимости последо вательности). Д л я того чтобы последовательность функций {/п(ж)} сходилась равномерно на множестве Е, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Коши

Ve > 0 3 Ne: Vn > Ne	Ур G N	Ух G E -> \fn+p(x) -				f n(x)\ < e.	(6)
О Не о б х о д и мо с т ь .	Пусть /„(ж)			/(ж), ж € Е. Тогда по опреде
лению равномерной сходимости
Ve > 0 3 Ne: Ук ':> X		Ух G Е -> \fk(x) -			/ ( ж)\| < \| .		(7)
В частности, (7) выполняется при к = п, если					Ne, и при fc = п + р
для р € N, т. е.
\|/«(ж) - Дж)\| < \| ,			\|/„+р(ж) - /(ж)\|		<	\| ,
откуда следует, что
\|/п+р(ж) - / п(ж)\| = \|(/п+р(ж) - /(ж)) -				(/„(ж) - /(ж))\|		«С
^	Ifn+P(x) -		Дж)\| + \|/ п(ж) -		/(ж)\| < \| + \|		= е,
т. е. выполняется условие (6).
До с т а т о ч н о с т ь .	Заметим,		что	числовая последовательность

{/п(жо)}, где Хо — фиксированная точка множества Е, удовлетворяет условию Коши (6) и в силу критерия Коши для числовой последова тельности (§ 8) существует конечный

lim /„(ж0).

(8)

П —¥ ОО

Так как предел (8) существует для каждого XQ € Е, то на множестве Е определена функция (обозначим ее /(ж)), которая является предель ной функцией для последовательности {/п(ж)} на множестве Е.

§42. Равномерная сходимость последовательностей и рядов	413
Запишем условие Коши (6) в виде
Ve > 0 3 Ne: Vn > Ne Ур G N V i 6 £ - 4 \|f„+p(x)- f„(x) \| <	(9)

Переходя в неравенстве (9) к пределу при р —1 оо (при каждом фикси

рованном n~^Ne и фиксированном х £ £ ) и учитывая, что существует lim fn+p(x)= fix), получаем неравенство

р —s-oo

I fix) - fn(x) I ^ 2 < £ ’

справедливое при всех п ^ Ne и для всех х £ £ . Это означает, что

fn{x)

f{x), х £ £ . •

в) Неравномерная сходимость последовательности функций.

Последовательность {/п(ж)} не является равномерно сходящейся на множестве Е, если условие Коши (6) не выполняется, т. е.

Зе0 > 0: Ук £ N 3 п ^ к З р £ N 3 х £ Е: |f n+p(x) —/„(ж)| ^ £о- (Ю)

Пр име р 4. Доказать, что последовательность {/„(ж)}, где /„(ж) =

Inпж „ „

не является равномерно сходящейся на множестве Е = (0, 1).

/пх

А Для любого к £ N возьмем р = к = п, ж = 1/к = 1/п. Тогда

\fn+pix) ~fnix)\ = / 2» ( ^ ) - / n ( ^ )	_	In 2
		V2 “ £°5
	V2

т. е. выполняется условие (10), и поэтому последовательность { /п(ж)} не является равномерно сходящейся на Е. к

Если существует предельная функция /(ж) последовательности {/„(ж)} на множестве Е, но не выполняется условие (3), т. е.

3 £о > 0: VfcG/V 3 n f / k Зж £ Е : \f„(x)- f(x)\ > £0,

(11)

то говорят, что последовательность {/п(ж)} сходится неравномерно на множестве Е к функции fix).

Пр име р 5. Исследовать на сходимость и равномерную сходи мость на множестве Е последовательность {/„(ж)}, если:

а)/„(ж) = ж" - ж2", £ '=[0,1];

б)/п(ж) = nsin

£ =( 0, 1] .

А а) В этом случае предельная функция /(ж) = 0, ж £ Е. Для любо го к £ N возьмем п = к, ж = 1/ \/2. Тогда ж £ Е при любом п £ N и

Ifnix) — f i x ) | = f n (^—j

i. e. выполняется условие (11), и

поэтому последовательность {/п(ж)} сходится неравномерно на мно жестве £ к /(ж) = 0.

б) Здесь предельная	функция /(ж) = ж-1 на множестве ж > 0 (при
мер 1, б)). Возьмем ж	= 1 /п . Тогда \|/п(ж)^/(ж)\| = \| n s i n l ^ n \|

414	Гл. IX . Ф ункциональные ряды

^ 1 —sin 1 = £о для любого те £ Л/, и поэтому {/п(ж)} сходится не равномерно на множестве Е к ж-1 . ▲

Неравномерную сходимость последовательности можно устано вить, используя теорему 1. Если условие (4) не выполняется, т. е.

SUP \|fn(x) — f ( x )\| 7h 0 при те —1 oo,	(12)
хеЕ

то {/п(ж)} сходится неравномерно на множестве Е к f(x).

Пр име р 6. Исследовать на сходимость и равномерную сходи мость последовательность f n(x) = п?х2еХпх, Е = (0,2).

А	Предельная функция f(x) = 0, х £ Е. Так как уравнение f'n(x) =
=	п2хеХпх {2 ^ хп) имеет на интервале (0, 2) единственный корень

х п = 2/те, причем f'n{x) > 0 при х £ (0, хп) и f'n{x) < 0 при х £ (х п, 2), то

sup f n(xn) = f n(xn) = 4 е -1 . Таким образом, выполняется условие (12),

хеЕ

ипоэтому {/п(ж)} сходится неравномерно на множестве Е к 0. ▲

3.Определение и критерий равномерной сходимости функционального ряда. Пусть функции ип(х), те £ А/, определены

на множестве Е. Обозначим	П
	П
S n (x )	= '^2'ик(х).	(13)
Определение . Ряд	k = 1
Определение . Ряд	СЮ
1	СЮ
J 2 un(x )		(14)
п = 1

называется равномерно сходящимся на множестве Е, если на этом

множестве определена функция S(x)	такая, что
Sn(x) 14 S(x),	х £ Е.	(15)

Согласно определению равномерной сходимости последовательнос ти функций запись (15) означает, что

Ve > 0 3 Ne : Vn > Ne Ух £ Е -> |S„(s) - S(x)\ < e,

(16)

где S(x) — сумма ряда (14), a Sn(x) определяется формулой (13). Пусть rn(x) = S(x) — Sn(x), т.е. rn(x) — те-й остаток ряда (14).

Тогда условие (15) примет вид

гп(х) =4 0,	х £ Е.
Это означает, что	Ух £ Е —1 \гп(х)\ < е.
Ve > О ЗАС: Vn ^ Ne	Ух £ Е —1 \гп(х)\ < е.	(17)

В силу теоремы 1 для равномерной сходимости ряда (14) на мно жестве Е необходимо и достаточно, чтобы

sup \|г„(ж)\| —¥ 0 при те —¥ оо.	(18)
хеЕ

§42. Равномерная сходимость последовательностей и рядов

415

Если ряд (14) сходится на множестве Е, но не выполняется усло вие (17) или равносильное ему условие (18), то говорят, что ряд (14)

сходится неравномерно на множестве Е.

Следовательно, если

Зео > 0 : Ук £ N 3 п ^ к	Зж	€ Е: \|г„(ж)\| > е0,	(19)
или
sup \|г„(ж)\| -ft 0	при	п —1 оо,	(20)
хеЕ

то ряд (14) сходится неравномерно на множестве Е.

Пр име р 7. Исследовать на сходимость и равномерную сходи-

СЮ

мость на указанных множествах ряд ^^«„(ж ), если:

П = 1

а) ип(х) = ж”-1 , Ех = (-<?,<?), где 0 < q < 1, Е2 = (-1,1);

=	б)	=	(1 + шО(1 + С. + а д -				El = 16-+0!'1 гт 6 >				°' Ег =
=	(0, +оо);
	в) «„(ж) =		- 4 = = , Е = [0, +оо).
			V ■п +	х					1
А	а) В этом случае			1 —X^			S(ж) =		1	для любого ж £ Е2,
А	а) В этом случае			Sn(ж) = -------- ,			S(ж) =	1	— X	для любого ж £ Е2,
				1 — X				1	— X
т. е. ряд сходится на множестве Е2, а значит, и на											п
	Для любого х £ Ех выполняется неравенство \|г„(ж)\| =										п
	Для любого х £ Ех выполняется неравенство \|г„(ж)\| =										1 —х «С
s	М "	откуда следует, что sup			I		I V s 9"
<		откуда следует, что sup				г„(ж) V —— , и поэтому выпол-
	1 — 1*1			хеЕг				1	- 9

няется условие (18). Следовательно, ряд сходится равномерно на мно жестве Е\.

На множестве Е2 ряд сходится неравномерно. В самом деле, возь-

~	1	~	/•	1 \ ”
мем ж = 1 -----. Тогда ж £ Е			для любого п £ N и гп(ж) =n i l ----- -+
	п		\	п )

-+ +оо при ri -+ оо, откуда следует, что выполняется условие (20).

б)	Так как «„(ж)			= —--------——— —— , то				Sn(ж) =	—------
				1 + пх		1 + (п + 1)ж			1 + ж
1 + (п1		+ 1)х . Если ж £ Е2, то Sn(ж) -+ S(ж) при п -¥ оо, где S(ж) =
1	,	XXи поэтомуX X W ^ X W 1 ,X J	t	\	,	1	•
			гп(, UywJж) =			, 1 \
1 + ж			Е\		1 + (п + 1)ж
На	множестве			ряд	сходится		равномерно,	так как	\|г„(ж)\| ^
<1		’ и П0ЭТ0МУ выполняется условие (18), а на множестве

Е2 — неравномерно, так как гп( —-— ) = - , и поэтому выполняется

\п + 1 / 2

условие (20).

416 Гл. IX . Ф ункциональные ряды

в) При каждом ж У О последовательность { ^ } монотонно I Дп + х )

стремится к нулю, и поэтому по признаку Лейбница (§ 41, теорема 1)

	rvr
ряд	-1 Г	сходится на множестве Е, причем \|г„(ж)\| <1 \|«„+1(ж)\| =
	Дп + х
	71=1		1
	1		1	,откудаследует,что выполняется условие (18).
	________ ^«С		Дп + 1	,откудаследует,что выполняется условие (18).
Дп + 1 + *			Дп + 1
Следовательно, ряд сходится равномерно на множестве Е. ▲
Т е о р е м а		3 (критерий Коши равномерной сходимости ряда). Для

того чтобы ряд (14) равномерно сходился на множестве Е, необходи мо и достаточно, чтобы выполнялось условие Коши, т. е.

п + р

Ve > О 3 Ne : Vn > Ne Ур G N V i e T - 4 ^ 2 u k(x) < £ ■ (21) k=П+1

О По определению равномерная сходимость ряда (14) на множест ве Е означает равномерную сходимость последовательности {^„(ж)} на Е.

Согласно теореме 2 Sn(x) 14 S(x) на Е тогда и только тогда, когда

Ve > 0	3 Ne : Vn > Ne Ур G N Ух G E -+ \|S„+p(a:) -		Sn(x)\ < e.	(22)
Так как	Sn+P(x) —Sn(x) = un+i(x) + ... + un+p(x),		то условие	(22)
равносильно условию (21). •
Если условие (21) не выполняется, т. е.		п + р
		п + р
Зе0 > 0:	Vm G N З п Д г п Зр £ N 3 х £ Е:	^ 2 uk(x) > е 0,		(23)
		к = п -\-1

то ряд (14) не является равномерно сходящимся на множестве Е. В частности, если

	Зео > 0		3 no € N: Уп Д п0 З х п £ Е: \ип(хп)\ Д е0,				(24)
то ряд (14) не является равномерно сходящимся на множестве Е.
					ОО
Пр и м е р		8. Доказать, что ряд ^^«„(ж ) не является равномерно
					71=1
сходящимся на множестве Е, если:
а)	«„(ж) =		— е- ”2/®, Е = ( 0 ,+оо);
			п
б) «„(ж) =		1 + п?х‘ tg у/±,			Е=(0,1У,
в) «„(ж) =		S1I1пх		Е = [ 0,2тг], 0 < а ^		1.
			п
А а)	Пусть	х п = п2;		тогда	ип(хп) = е	1, т. е. выполняется	усло
вие (24).

§42. Равномерная сходимость последовательностей и рядов

417

б) Возьмем х п = —и воспользуемся тем, что tg аг > х при 0 < х < ^

(§ 12, (3)). Тогда ип(хп) = ^tg —> i при всех п £ N, т. е. выполняет

ся условие (24).

в) Возьмем х„ = -г——г! тогда х„ £ Е при любом п £ N. Если

4(п + 1)

п + 1 ^ к ^ 2те, то ^ ^	^	<	и П0ЭТ0МУ sin	sin ^ =
1
= — , откуда следует, что

V 2

2 п	sin кхп	^	1 2 п
E	ка	л/ 2	^
fc=n+l			fc=n+l

1 ^	2 п	1	1	1 _
1 ^	1	1	1	1 _
^	л/ 2 ^	к >	J 2 fl	2п
	fc=ra+l

2 л /2 ’

так как 0 < а ^ 1. Следовательно, выполняется условие (23), и поэто му ряд не является равномерно сходящимся на множестве [0,2тт] при a £ (0,1]. ▲

4. Признаки равномерной сходимости функциональных рядов.

а) Признак Вейерштрасса.

Т е о р е м а 4. Если для функционального ряда (14) можно указать

		ОО
такой сходящийся числовой ряд			ап, что для всех п ^ щ			и для всех
х £ Е		п= 1
х £ Е	выполняется условие
		\ип(х)\	^ ап,			(25)
то ряд (14)сходитсяабсолютно и равномерно на множестве						Е.
О Согласно условию (25) для любого п^ щ , любого р £ N и для каж
дого х £ Е выполняется неравенство
	п + р	п + р			п + р
	^ 2	м * (ж) ^ Л	к + 1	^	а *-	(2 6 )
	k = n + 1	к = п + 1			к = п + 1
		оо
Из сходимости ряда		ап следует (§ 39), что для него выполняется
условие Коши, т. е.		п= 1
условие Коши, т. е.				п + р
				п + р
	Ve > 0 3 Ne: Vn > Ne		Vp G N	^	ak < e,	(27)
				k = n + 1
а из	(26)и (27) следует, что для ряда (14)выполняется на множест
ве Е	условие Коши (21),и в силу теоремы			3этот ряд сходится рав

номерно на множестве Е.

Абсолютная сходимость ряда (14) для каждого х £ Е следует из правого неравенства (26). •

418 Гл. IX . Ф ункциональные ряды

	оо
Сл е д с т в и е . Если сходится ряд 2 _ .ап-, где ап =		sup \|мп(ж)\|, то
	п —1	х € Е
ряд (14) сходится абсолютно и равномерно на множестве Е.
	ОО
Пр и м е р 9. Доказать, что ряд ^ ^ и п(х) сходится равномерно на
множестве Е, если:	”=1
а) ип(х) = In (l + —у ^ = = ),	£ '=[0,3];

\п у п + 1 /

	б) ип(х) =	J™ , arctg - ,				£ = [ - 1 ,1 ];
		п- + X-			те
		.	1
	в) ип(х) =	sin — cos пх			,	£ = [1 ,+ о о );
	в) ип(х) =	4 +	Д ,	,	,	£ = [1 ,+ о о );
		4 +	In (п + 1)х
	г) ип(х) = х2е~пх,			£ = ( 0 , +оо).
А	а) Так как при t ^			0 справедливо неравенство ln(l + 1) ^ t						(§ 17,
пример 1, а)), то \|«„(ж)\| ^					х		3
пример 1, а)), то \|«„(ж)\| ^					теуте + 1		^ —г при всех х £ [0,3], и из схо-
		ОО	^		теуте + 1		те3/2
		ОО	^
димости ряда			—у- по теореме 4 следует равномерная сходимость
	оо	п = 1	пЗ/2
ряда Е ип(х)1П		на множестве [0,3].
	71=1
	б) Используя неравенство					\| arctg 11У t для всех t £ R			(§ 17, (19))
и учитывая, что \|ж\| ^ 1 и те2 + х2							те2, получаем \|«„(ж)\| У		\пх\	«С
.	1
У —, откуда следует равномерная сходимость ряда на множест
ве [—1 , 1].			^ Щи \| cos£\| ^				1 для всех t£ R, а х ^ 1, то \|«„(ж)\| ^
	в) Так как \| sin		^ Щи \| cos£\| ^				1 для всех t£ R, а х ^ 1, то \|«„(ж)\| ^
								ОО
У	5---------- у ----- 5				. Из сходимости ряда			---- 5----------сле
	те1п~(п + 1)		n k rfn +		l)------------------------------------ п \ п ~ ( п 1 )
								71=1

ОО

дует равномерная сходимость ряда ^ ^ и п(х) на множестве [ 1 , + о о ) .

71=1

г) На промежутке (0,+ о о ) уравнение и'п(х) = хеХпх(2 —пх) = 0

имеет единственный корень х = х п = —, причем и'п(х) > 0 при х £

£ (0,жп) и и'п(х) < 0 при х

° °

п = 1

ОО

		П	4	_9
> х п. Поэтому sup			\ип(х)\ = ип(хп) = — е	",
Л		■хеЕ	п~
Л	-2
4	-2	следует равномерная сходимость ря-
—е		следует равномерная сходимость ря-

да ^ « „1тг(ж ) на множестве (0, +оо). ▲

тг= 1

§42. Равномерная сходимость последовательностей и рядов

419

б) Признак Дирихле.
Т е о р е м а 5. Ряд	оо
	оо
	^ a k{x)bk{x)	(28)
	k=i

сходится равномерно на множестве Е, если выполняются условия:

а) последовательность {.Вп(ж)}, где В п(х) = ^^ЬДж), равномерно

7-т		£=1
ограничена на множестве Ь, т. е.
ЗА/ > 0: Уж G Е	Vn G N -> \|В„(ж)\| ^ М;		(29)

б) последовательность {а„(ж)} монотонна на множестве Е, т. е.

Ух £ Е Уп £ N —i ап+г(х) ^ ап(ж),

(30)

и равномерно стремится к нулю, т. е.

ап(ж) =4 0, ж £ Е.

(31)

ОВоспользуемся оценкой

п+ р

Е а к{х)Ьк {х) ^ 2М (|ап+1(ж)| + |ап+р(ж)|), (32)

k = n + 1

полученной при доказательстве признака Дирихле для числовых ря дов (§ 41).

Условие (31) означает, что
Ve > 0 3 Ne: Ук 2>Ne Ух £ Е ^	\ак(х)\ < - щ .		(33)
Из (29), (32) и (33) следует, что для всех п ^		Ne, для всех р £ N и
	п + р
для всех ж £ Е выполняется неравенство	^ 2	а к(х)Ьк (х)	< е, и в
	к= п-\ 1

силу критерия Коши (теорема 3) ряд (28) сходится равномерно на множестве Е. •

Пр и м е р 10. Доказать, что при а > 0 ряд СЮ sin пх

п = 1

сходится равномерно на множестве Е = [6,2тт —5], где 0 < 5 < 2п ^

— 6 < 2п.

А Если а > 1, то по признаку Вейерштрасса ряд (34) сходится абсо-

	СЮ
лютно и равномерно на R, так как \| вшж\| ^ 1, а ряд	— ,где а > 1,
	п = 1

СХОДИТСЯ.

<<< < Предыдущая 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 4142 / 6842 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Учебники

#
19.01.20208.17 Mб150Ter-Krikorov_Kurs_matematicheskogo_analiza_2015.pdf
#
29.09.201917.39 Mб113Задачник Демидович.pdf
#
29.09.20196.68 Mб102Конспекты по химии.pdf