Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1302 вуза, 5117 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
СПбГУТ * ИКСС * Программная инженерия Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. проф. М.А. Бонч-Бруевича
Предмет:
Математические модели в сетях связи
Файл:

Учебные пособия / ММвСС (01.09.2016) v2

.pdf
Скачиваний:
92
Добавлен:
15.01.2020
Размер:
5.94 Mб
Скачать
☆

0

i

i-2

i-1

i

i+1

1

2

. . . . .

i-1

i

i+1

 

1

2

i-1

i

i+1

i+2

Состояния системы

pi (t ) pi 1,i ( )pi 1 (t) pЗан ( )

p

Зан

O( )

 

 

r

 

 

p (t ) p (t)

 

 

i

 

i

 

 

 

 

 

 

0

d

p (t)

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

i

 

 

 

 

pi 1,i ( ) pi,i ( ) O( )

pi 1 (t) pОсв i 1 ( ) pi (t)(1 pЗан ( ) pОсв i ( )) O( )

 

 

 

 

 

pОсв

r O( ) 1 r O( )

 

 

p

 

(t) (

 

i) p (t) (i 1) p

 

(t)

O( )

 

 

 

 

 

 

i 1

i 1

 

i 1

 

 

i

i 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

(t) (

i) p

(t) (i 1) p

i 1

(t)

 

i 1

 

i 1

 

 

i 1

 

 

i

 

 

 

 

 

d

p

(t) p

(t) p (t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

0

 

 

0

 

0

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

61

d

p

(t) p

(t) p (t)

 

 

 

dt

 

 

 

0

 

0

0

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p (t)

 

p

 

 

(t) (

i) p (t) (i 1) p

 

(t)

 

 

i1

i1

 

 

i

i1

 

i1

i

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из условия стационарности

d

p

 

(t) 0;

d

p (t)

 

0

 

dt

 

 

dt

1

 

 

 

 

 

p

0

p

0

 

 

 

0

 

1

 

 

 

 

 

p

 

 

(

i) p (i 1) p

 

0

 

 

i 1

i 1

i 1

 

 

i 1

i

 

p

 

 

 

p

 

i1

 

 

 

 

 

i

 

i 1

i1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i1

 

 

 

 

 

 

 

i1

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

k

 

p

i

 

k 0

p

0

i

p

0

k 0

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i!

 

 

 

 

i0

 

i0

 

i!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i 1

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

k 0

 

 

 

 

если число устройств

 

 

k 0

 

 

 

 

 

 

 

 

i!

 

 

 

 

 

 

i!

 

pi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i 1

 

 

равно v

 

 

i 1

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

 

 

 

 

 

k 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 0

 

 

 

i!

 

 

 

 

 

 

 

i!

 

 

 

 

 

i 0

 

 

 

 

 

 

 

 

i 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

pi

1

 

 

 

i 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

yv

 

 

 

 

pv

 

v!

 

 

 

v

y

k

 

 

 

 

 

 

 

 

k!

 

 

 

k 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

1

 

i 1

0

 

 

 

k

 

 

 

 

 

k 0

 

i 0

 

i!

 

 

 

Для простейшего потока

1 Формула Эрланга

62

9. Система обслуживания с ожиданием (с очередью)

9.1 Обслуживание простейшего потока заявок

Полнодоступная группа из V устройств, обслуживает заявки, образующие простейший с параметром λ. Длительность обслуживания распределена по показательному закону. Требуется определить вероятности различных состояний системы в процессе обслуживания заявок.

Определение вероятностей состояния системы.

Процесс изменения состояний (i=0, 1, 2,...) системы можно рассматривать как Марковский процесс рождения и гибели со счетным множеством состояний, так как за бесконечно малый промежуток времени [t, t+τ) с вероятностью более нуля в состояние i возможен только непосредственный переход системы из состояний i-1, i, i+1. .

t

t

 

 

0

1

 

 

Параметр потока освобождений

t

vi

 

t

2

 

 

 

i

 

при

 

 

 

v

 

при

t

0 i v i v

63

В общем случае для процесса рождения и гибели со счетным множеством состояний с параметрами λi, и νi, i=0, 1, 2,..., стационарные вероятности состояний определяются следующими выражениями:

При

 

 

 

i1

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

при

0 i v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

 

 

p

 

k 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

v

при

i v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

i1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

vk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

p

 

k 0

 

p

 

при

 

;

y

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

i!

 

0

 

 

k

 

 

 

 

 

i!

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

64

pi

При y<v

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

i!

p

0

при

0 i v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

y

i v

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

p

 

при

i v

 

 

 

 

 

0

v! v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

y

2

 

y

v

 

y

 

y

2

 

p

1

 

1 p

0

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

2

 

i

 

 

 

 

1

 

2!

 

 

 

 

v

 

v

 

i 0

 

 

 

 

 

 

 

v!

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

0

v 1

y

i

 

y

v

 

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i!

v!

v y

 

 

 

i 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

65

 

 

 

 

v

 

 

 

 

E2,v ( y) p W 0 pi

pv

 

 

 

 

 

v

y

 

 

 

i v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 формула Эрланга (формула C)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( y)

 

 

 

E

( y)

 

 

E

 

 

 

 

v

 

 

 

2,v

 

 

y

1

 

( y)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

 

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

2,v

( y) E

( y)

 

v

 

66

9.2 Функция распределения времени ожидания

Пусть p(W>t) - вероятность того, что вызов, поступивший в произвольный момент времени, попадет на ожидание и время ожидания будет больше t;

pi(W>t) условная вероятность того же неравенства в предположении, что вызов поступит в момент времени, когда система находится в состоянии i,

pi вероятность того, что система находится в этом состоянии, т. е. в системе имеется точно i обслуживаемых и ожидающих вызовов.

В рассматриваемой системе обслуживания поступившая заявка попадает на ожидание лишь в случае, когда в момент поступления в системе заняты все устройства и на ожидании находится r=0, 1, 2,... заявок, т. е. система находится в одном из состояний i=v, v+1, v+2,...,

По формуле полной вероятности

p W t pi pi W 0

iv

Найдем вероятность pi(W>t) .

-Если система находится в состоянии i (i ≥ v), то непосредственно перед моментом поступления заявки в системе на ожидании находится (i-v) заявок.

-Поступившая заявка становится в очередь и является в очереди (i – v + 1) -й. (заявки снимаются с очереди для обслуживания в порядке поступления «первым пришел - первым обслуживается»),

-Вероятность pi(W > t) есть вероятность того, что за время t после момента поступления

рассматриваемой заявки будет снято с ожидания и переведено на обслуживание не более

67

(i - v) заявок.

-Исходя из этого, вероятность pi(W > t) соответствует вероятности того, что за время t произойдет освобождение (закончится обслуживание) не более (i - v) заявок.

-Длительность обслуживания одной заявки Т (без учета времени ожидания) распределена по показательному закону.

p T t 1 e

t

 

Функция распределения промежутков между моментами освобождения линий пучка при условии занятости в пучке всех v линий

F(t) 1 e

v t

 

Поток освобождений - простейший поток c параметром которого λ=βv.

Тогда вероятность pj того, что за время t произойдет освобождение точно j линий, согласно формуле Пуассона составляет а вероятность того, что за время t произойдет не более (i-v) освобождений, если система находится в состоянии i,

 

iv

 

iv

vt

 

j

 

 

 

 

pi W t p j

 

e

vt

 

 

 

 

j!

 

 

 

 

 

 

j 0

 

j 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

W t

p W t

 

e v y t

p W t p W 0 e v y t

 

pD

 

p W 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

68

9.3 Среднее время ожидания

По определению функции распределения

 

 

 

dp W t

 

dp W t

p W 0

 

 

 

 

W t

 

dt t

 

dt

 

 

 

v y

0

dt

0

dt

 

 

 

 

 

Средняя длина очереди

L W y

W

 

 

1

D

v y

 

 

 

 

 

69

9.4 Формула Полячека-Хинчина

Время ожидания начала обслуживания (для всех заявок)

 

1

 

y

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

W

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

2 1 y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y t

 

y t

 

 

 

 

2

 

W

 

 

 

1

 

 

 

 

2 1 y

2 1 y

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

70

Соседние файлы в папке Учебные пособия
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности