Учебные пособия / ММвСС (01.09.2016) v2

5.3 Простейший поток вызовов

Простейшим потоком называется стационарный ординарный поток без последействия.

Математическая модель простейшего потока

Определим вероятности поступления точно k(k=0, 1, 2, ...) вызовов на отрезках времени [t0, t0+t): pk(t0, t0+t).

Будем рассматривать отрезок времени [t0, t0+t+τ), который можно представить

состоящим из двух примыкающих друг к другу отрезков: [t0, t0+t+τ)=[t0,+t0+t)+[t, t+τ). Для того чтобы в течение отрезка [t0, t0+t+τ) поступило точно k событий, необходимо, чтобы за первый промежуток времени [t0, t0+t) поступило k, или k-1, ..., или k-i, ..., или 0 событий и соответственно за второй промежуток 0, или 1, ..., или i, ..., или k событий.

Введем обозначения:

pk(t0, t0+t+τ) - вероятность поступления точно k событий за отрезок времени [t0, t0+t+τ);

pk-i(t0, t0+t) - … k-i событий за первый отрезок времени [t0, t0+t); pi(t, t+τ) - … i событий за второй отрезок времени [t, t+τ).

Упростим обозначения как отрезков времени, так и вероятностей:

[t0, t0+t+τ) -> [t+τ);

[t0, t0 + t) -> [t);

[t, t+τ) -> [τ) и соответственно pk(t0, t0+t+τ) . pk(t+τ); pk-i(t0,t0+t).pk-i(t); pi(t, t+τ) . pi(τ).

41

Простейший поток является потоком без последействия. Поэтому независимыми являются события, заключающиеся в поступлении какого-либо числа вызовов за первый и второй промежутки времени, и вероятность поступления точно k вызовов

за время [t+τ) для каждой реализации i=0, 1, ..., k составляет pk(t+τ)i=pk-i(t)pi(τ), i=0,

1, ..., k. Поскольку реализации с i=0, 1, ..., k представляют несовместимые события, то согласно формуле полной вероятности имеем

Таким образом, вероятность поступления точно k событий простейшего потока за отрезок времени t определяется формулой Пуассона.

42

При t→0 можно считать вероятностью того, что в промежуток времени t поступит хотя бы один вызов, равной:

а вероятностью того, что не поступит ни одного вызова, равной:

43

4.4Другие виды потоков

1.Нестационарный пуассоновский поток

В силу нестационарности потока вероятность поступления k заявок за интервал времени [t0, t) зависит не только от длины промежутка времени, но и от начального

момента t0

2. Неординарный пуассоновский поток

Стационарный неординарный потока без последействия. следует различать поток вызывающих моментов и поток вызовов. Поток вызывающих моментов характеризуется вероятностью появления точно i вызывающих моментов в промежутке времени t. Эта вероятность pi(t) определяется формулой Пуассона.

В каждый вызывающий момент поступает L(1≤ L ≤r) заявок.

3. Потоки с простым последействием

Основной характеристикой потока с простым последействием является зависимость

параметра потока от состояния коммутационной системы в любой момент времени

t.(t) (S (t))

45

4.5Поток с простым последействием

1.Симметричный поток

Симметричный поток - поток с простым последействием, параметр которого λ(s(t)) в любой момент времени t зависит только от числа i обслуживаемых в этот момент заявок и не зависит от других характеристик, определяющих состояние s(t) системы обслуживания. При этом зависимость параметра от числа обслуживаемых заявок может быть подчинена любому закону. Поэтому в любом состоянии s(t) с i

обслуживаемыми заявками параметр симметричного потока один и тот же, он

зависит только от i, т. е. λ(s(t))=λi.

2. Примитивный поток

Примитивным называется такой симметричный поток, параметр которого λi прямо пропорционален числу свободных в данный момент источников заявок.

i n i

где n – число источников заявок, i – число занятых источников, параметр потока, создаваемого свободным источником

46

4.6Поток с ограниченным последействием

1.Поток с ограниченным последействием - поток вызовов, у которого

последовательность промежутков времени между заявками z1, z2, ... представляет последовательность взаимно независимых случайных величин, имеющих любые функции распределения. Такой поток заявок описывается последовательностью функций распределения промежутков между заявками :

2. Реккурентный поток

Частным случаем потока с ограниченным последействием является рекуррентный поток, который характеризуется одинаково распределенными промежутками

n – число источников заявок, i – число занятых источников, параметр потока, создаваемого свободным источником

47

4.7Поток Пальма, потоки Эрланга

1.Поток Пальма - стационарный ординарный рекуррентный поток с запаздыванием. Для

потока Пальма, как и для любого другого стационарного ординарного потока, λ=1/MZ.

Если на систему обслуживания с потерями и с показательным распределением длительности обслуживания поступают заявки, образующие поток Пальма, то поток необслуженных (потерянных) заявок является также потоком Пальма.

В частности, если поток поступающих заявок будет простейшим, то поток потерянных заявок будет потоком Пальма.

Простейший поток является частным случаем потока Пальма, у которого все промежутки времени между заявками, включая первый, распределены по показательному закону.

2. Просеивание потоков. Потоки Эрланга

Если использовать операцию просеивания потока, при которой точно m заявок теряются, (m+1)-я заявка просеивается, затем снова точно m заявок теряются и (m+1)-я просеивается и т. д. В результате такой операции просеивания простейшего потока образуется так называемый поток Эрланга m-го порядка.

В потоках Эрланга любого порядка промежутки времени между вызовами независимы и распределены по одному и тому же закону, так как эти промежутки представляют собой сумму одинакового числа промежутков простейшего потока. В связи с этим потоки Эрланга являются рекуррентными.

48

последействия

Потоки с простым последействием

Симметричный поток

Примитивный поток

Потоки с ограниченным последействием

Поток Пальма

Простейший поток

Поток Эрланга

49

4.8 Случайный процесс, характеристики трафика как случайного процесса

Поток трафика в сети связи может быть представлен как случайный процесс передачи данных, представленный значениями объема переданных данных за последовательные интервалы времени. X (X1 , X 2 ,..X t ..)

Для потоков, отличных от Простейшего часто используют такие характеристики, как

-Автокорреляционная функция потока

-Коэффициент Херста

50