Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1312 вуза, 5273 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
СПбГУТ * ИКСС * Программная инженерия Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. проф. М.А. Бонч-Бруевича
Предмет:
Математические модели в сетях связи
Файл:

Учебные пособия / ММвСС (01.09.2016) v2

.pdf
Скачиваний:
103
Добавлен:
15.01.2020
Размер:
5.94 Mб
Скачать
☆

Безусловная оптимизация

Пусть задана функция нескольких

n

переменных

f (x) f (x

, x

, x

)

1

2

n

 

1. Необходимые условия существование локального экстремума (НУ)

В точке

x

*

 

может иметь место экстремум тогда, когда она дифференцируема в данной точке и все частные производные функции в этой точке равны нулю.

f (x)

 

 

 

f (x)

 

 

 

f (x)

 

 

0

x

x

*

x

x

*

x

 

 

x

*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

n

 

 

 

 

Если эти условия выполняются, то точка

x*

 

называется стационарной точкой.

2. Достаточные условия существования локального экстремума (ДУ)

Пусть для функции f(x) в точке x* выполняются ДУ и она имеет вторые смешанные производные в этой точке. Когда второй дифференциал f(x)

 

 

 

n

n

 

2

f (x)

 

 

 

 

n

n

 

 

d

2

f (x)

 

 

 

i

k

 

i k

i

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x x

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i 1

k 1

 

 

i

k

 

 

 

 

i 1

k 1

 

 

-есть отрицательно определенная квадратичная форма, то в точке x* имеет место максимум, -есть положительно определенная квадратичная форма, то в точке x* имеет место минимум

171

Квадратичная форма является положительно определенной, если все собственные

значения матрицы aik положительны, и отрицательно определенной если все эти собственные значения отрицательны.

Если собственные значения отрицательны матрицы aik имеют разные знаки то экстремума в данной точке нет.

 

 

 

2

f (x)

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

1

 

 

 

2

f (x)

 

 

 

a

x

x

i k

 

 

 

 

 

2

1

 

 

 

2

 

 

 

f (x)

 

 

 

 

 

x

x

 

 

 

 

n

1

 

2

f (x)

 

x x

2

 

 

1

 

 

2

f (x)

 

 

x

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

f (x)

 

x

x

2

 

 

n

 

 

 

 

2

f (x)

 

 

x x

 

 

n

 

 

 

1

 

 

 

2

f (x)

 

 

x

x

 

 

n

 

 

 

2

 

 

2

f (x)

 

 

x

 

 

2

 

 

n

Гессиан f(x)

Собственные значения можно найти как корни уравнения

2 f (x)

 

2 f (x)

x2

 

x x

 

 

 

2

1

 

 

1

2 f (x)

2 f (x)

 

x

x

x2

 

2

 

1

2

 

2 f (x)

2 f (x)

xn x1

xn x2

 

2 f (x)

x1 xn

 

 

2 f (x)

 

0

 

x2 xn

 

 

 

 

2 f (x)

 

x2

 

 

 

n

 

172

Условная оптимизация

Математическое программирование - это область математики, разрабатывающая теорию, численные методы решения многомерных задач с ограничениями. В отличие от классической математики, математическое программирование занимается математическими методами решения задач нахождения наилучших вариантов из всех возможных.

1 Метод множителей Лагранжа

Пусть задана функция нескольких

n

переменных

f (x) f (x

, x

, x

)

1

2

n

 

требуется найти экстремумы f(x) при заданных ограничениях:

(x) (x , x

, x

) 0;

i 1 m

i

i 1 2

n

 

 

1. Необходимые условия существование локального экстремума (НУ)

Функция Лагранжа

(x, ) f (x)

i i (x)

i1m

 

i

 

множители Лагранжа

Если

x

*

 

является локальным экстремумом, то существует вектор

 

 

(

,

, ,

 

)

 

*

*

*

 

*

 

 

 

1

2

 

n

 

такой, что

 

 

(x

,

 

) 0

 

'

*

 

*

 

 

x

 

 

 

 

 

x

(x, ) f

m

(x)

 

(x) i

где

'

'

'

 

 

 

 

 

 

 

 

i 1

 

173

1. Достаточные условия существование локального экстремума (ДУ)

Если

f (x) и

 

(x)

 

дважды дифференцируемы в точке x*

 

i

 

 

и в этой точке выполняются ДУ и условия

 

 

 

''

 

(x* , * )h, h 0 или

'' (x* , * )h, h 0

 

xx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xx

При всех ненулевых h, удовлетворяющих условиям

 

 

 

 

'

 

*

)h, h 0

i 1 m

 

 

 

 

 

(x

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

То x* строгий локальный минимум (максимум) f(x) при заданных ограничениях.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

''

*

,

*

) f

''

 

''

 

Где

 

xx (x

 

 

(x) i i (x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i 1

174

2 Выпуклые функции

Выпуклое программирование - раздел нелинейного программирования, совокупность методов решения нелинейных экстремальных задач с выпуклыми целевыми функциями и выпуклыми системами ограничений.

Функция выпукла, если для любых двух значений аргумента выполняется неравенство Йенсена

f (t x (1 t) y) t f (x) (1 t) f ( y)

t 0 1

x y

n

Некоторые свойства выпуклой функции:

-дважды дифференцируемая функция выпукла тогда и только тогда, когда ее график лежит не ниже касательной, проведенной в любой точке интервала выпуклости; -дважды дифференцируемая функция выпукла, если ее вторая производная не отрицательна;

-если f(x) и g(x) выпуклы, то их линейна комбинация тоже выпуклая функция; -локальный минимум выпуклой функции является глобальным минимумом; -любая стационарная точка выпуклой функции является глобальным экстремумом;

175

3 Условия Каруша-Куна-Таккера (ККТ)

Выпуклое программирование - раздел нелинейного программирования, совокупность методов решения нелинейных экстремальных задач с выпуклыми целевыми функциями и выпуклыми системами ограничений.

Пусть задана выпуклая функция нескольких

n

переменных

 

требуется найти экстремумы f(x) при заданных ограничениях:

f (x) f (x

, x

, x

)

1

2

n

 

j

j

(x) (x)

 

(x , x

, x

) 0;

x 0;

j 1 m

j

1 2

n

 

 

 

выпуклые функции

Необходимые и достаточные условия существование локального экстремума

Функция Лагранжа

(x, ) f (x)

 

m

j j

 

 

 

 

 

 

(x)

 

j 1

 

 

 

i

 

множители Лагранжа

1)

(x, )

0

x

 

 

 

 

i

 

 

2)

(x, )

x

0

 

 

x

i

 

 

 

 

 

i

 

 

3)xi 0

i1 n

4)

(x, ) 0

 

j

5)(x, ) xi 0j

6)j 0

j 1 m

176

Численные методы оптимизации

Безусловная оптимизация

-функции одной переменной -функции нескольких переменных

Условная оптимизация

-функции нескольких переменных

177

1 Общий алгоритм численных методов

Начало

Ввод начальных условий

Выбор следующего значения x

нет Проверка сходимости

да

Останов

Численный метод представляет собой итерационную циклическую процедуру, на каждом цикле которой производится выбор нового значения переменной (согласно некоторому методу), вычисление значения оптимизируемой функции и проверка критерия сходимости. Циклы повторяются, пока не выполнен критерий сходимости.

178

2 Оптимизация функции одной переменной

2.1 Прямой поиск

Заданы

Требуется найти экстремум

Функция

n

переменной

f (x)

x a, b

 

абсолютная пог решность

2

 

 

 

x

*

arg min f (x)

или

 

 

 

x

 

x

*

arg max f (x)

 

 

 

 

 

x

 

2. Поиск экстремума

a ∆

n

b a

 

 

f (x)

 

 

 

b

x

*

arg min f (x ) ,

 

 

 

x

i

 

 

i

 

x i 1 n

179

 

 

 

2.2 Дихотомия

Заданы

Требуется найти экстремум

Функция

1 переменной

x* arg min f (x) или

f (x)

x a, b

 

 

 

x

 

абсолютная погрешность

x* arg max f (x)

2

x

 

2. Поиск экстремума

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x)

 

 

(b-a)/2-α

 

 

 

 

 

(b-a)/2+α

 

 

 

 

 

x

(b-a)/2

 

2

 

 

 

 

x

a

1

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

b x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a x

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

b x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

b

 

b a

x

*

 

a b

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-Алгоритм поиска представляет собой много итерационную процедуру -На каждой итерации интервал поиска экстремума

сужается путем исключения правого (x2, b) или левого отрезка (a, x1)

-Правый отрезок исключается если f(x2)>f(x1) -Левый отрезок исключается если f(x1)>f(x2) -Итерации повторяются пока |b-a|> -результат x*=(a+b)/2

180

Соседние файлы в папке Учебные пособия
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности