Экспоненциальный закон распределения

Распределение СВ Х подчиняется экспоненциальному закону, если плотность распределения f(x) имеет вид:

,

где - интенсивность случайного события - постоянная величина.

Тогда

Характерным признаком этого распределения является постоянство значения .

Экспоненциальный закон используется при оценке надежности изделий, отказы которых обусловлены большим количеством входящих в их состав комплектующих элементов.

Hормальный закон распределения (hзр)

HЗР - наиболее часто встречающийся на практике вид распределения.

Анализ общих условий возникновения HЗР показывает, что если отклонение параметра y от номинального значения вызвано действием достаточно большого числа К независимых или слабо зависимых факторов х_i

и среди К факторов нет явно превалирующих над остальными, то закон распределения параметра y при увеличении К стремится к нормальному. Причем закон распределения факторов х_i может быть любым. Это утверждение является следствием центральной предельной теоремы теории вероятностей (теоремы Ляпунова).

Для HЗР:

Из выражения для функции распределения F(x) можно найти вероятность нахождения непрерывной СВ в пределах значений х₁ и х₂:

,

где - нормированная функция Лапласа. Значения табулированы.

Из приведенного значения можно вычислить вероятность нахождения СВ Х в пределах: ±S; ±2S; ±3S.

Они равны соответственно: 0,683; 0,955; 0,9973.

Практически рассеяние СВ, подчиненной HЗР, находится в пределах m(x)±3S(x), т.к. вероятность попадания ее за пределы этого участка очень мала (0,0027), т.е. такое событие можно считать почти невозможным. Отсюда следует правило "трех сигм": если СВ имеет HЗР, то отклонение ее значений от математического ожидания по абсолютной величине не превосходит утроенного среднеквадратического отклонения.

1.3. Числовые характеристики случайных величин Характеристики положения

1) Математическое ожидание - среднее значение СВ в генеральной совокупности. Оно характеризует центр распределения СВ Х.

Статистическое значение математического ожидания вычисляется по формуле

.

2) Медиана Ме - значение СВ, которое делит упорядоченный ряд статистических данных на две равные по объему группы.

Если в упорядоченном ряде нечетное 2к+1 число значений статистических данных, то значение Х_К+1 = Ме.

Если в упорядоченном ряде четное 2к число значений статистических данных, то значение

3) Мода Мо - значение СВ, которое наиболее часто встречается в наблюдаемом ряде статистических данных. Бывают двумодальные и многомодальные распределения.

Характеристики рассеяния

1) Размах R статистических данных

.

2) Центр интервала статистических данных (Х_СР.)

.

3) Дисперсия - математическое ожидание квадрата отклонения СВ от среднего значения. Она характеризует степень рассеяния СВ от среднего значения.

Статистическое значение дисперсии вычисляется по формуле

.

4) Среднеквадратическое отклонение (S)

.

5) Коэффициент вариации (V). Характеризует рассеивание СВ в относительных единицах.

.

1.4. Статистическая проверка гипотез

Под статистическими понимают гипотезы, которые относятся к отдельным параметрам закона распределения СВ или к самому закону распределения.

В теории простых гипотез проверяемую гипотезу обозначают через H₀ и называют ее нулевой гипотезой. Конкурирующую гипотезу называют альтернативной и обозначают H₁.