1. Основные сведения из теории вероятностей и математической статистики

1.1. Cлучайные величины. Выборка

В основе управления качеством электронных средств и оценке их надежности лежат различные статистические методы. Для их применения необходимо набрать достаточное количество статистических данных по параметрам качества изделия. Эти данные являются случайными величинами.

Случайная величина (СВ) - переменная, которая в результате измерения может принимать то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно. СВ могут быть дискретными (с дискретным рядом возможных значений) или непрерывными (принимающими любые значения из конкретного или бесконечного интервала).

Случайное событие - событие, которое в результате опыта (эксперимента, испытания) может произойти или не произойти.

Сбор и обработка статистических данных осуществляется на основе контроля и измерения определенного числа изделий. Вся совокупность однородных изделий называется генеральной совокупностью.

При массовом производстве генеральная совокупность может содержать число изделий, насчитывающее десятки и сотни тысяч. Измерять параметры изделий в таких случаях бывает экономически нецелесообразно. Поэтому контролируют параметры из некоторой части изделий, а результаты распространяют на всю генеральную совокупность.

Выборка - часть изделий случайным образом взятая из генеральной совокупности. Оценка, полученная по результатам измерений параметров в выборке, называется выборочной оценкой. Число изделий в выборке определяет объем выборки. Очевидно, чем больше объем выборки, тем выше точность выборочных оценок. Однако с ростом объема выборки увеличивается трудоемкость измерения параметров в выборке, т.е. растут затраты времени и средств на выполнение контрольно-измерительных операций. Поэтому в зависимости от требуемой точности объем выборки ограничивают десятками - тысячами изделий. Оценку, обеспечивающую любую требуемую точность, принято называть состоятельной, а соответствующую выборку - репрезентативной (представительной).

Выборочная оценка производится по выборке ограниченного объема. Если из генеральной совокупности осуществить повторную выборку того же объема, то, в силу ограниченности объема выборки, та же оценка примет несколько отличающееся значение. Таким образом, выборочная оценка представляет собой случайную величину, меняющуюся от выборки к выборке. Выборочные оценки, обладающие тем свойством, что при любом объеме выборки их математическое ожидание равно оцениваемой числовой характеристике, называются несмещенными оценками. Требование несмещенности оценки особо важно при малом объеме выборки, когда величина смещения может исказить результаты.

Большое значение для установления меры качества того или иного способа оценки числовой характеристики принадлежит понятию эффективности выборочной оценки. Оценку, имеющую меньшее рассеяние (дисперсию) относительно истинного значения, называют более эффективной оценкой.

1.2. Законы распределения случайных величин

Обозначим:

Х - СВ;

х₁, х₂,..., х_i,..., х_n - значения СВ;

Р - вероятность появления СВ Х;

р₁, р₂, ..., р_i,..., р_n - вероятности появления значений х₁, х₂,..., х_i,..., х_n соответственно;

n - объем выборки.

Законом распределения СВ называется любое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями СВ и соответствующими вероятностями их появления.

Закон распределения дискретной СВ представляется в виде статистического ряда распределения:

X	x₁	x₂	.....	x_i	.....	x_n
Р	р₁	р₂	.....	р_i	.....	р_n

где - вероятность принятия СВ значения х_i с частотой m_i; .

Графическое изображение статистического ряда называется полигоном.

Для непрерывной СВ не существует статистического ряда распределения, но есть аналог, где вместо дискретных значений Х берутся интервалы значений СВ равной длины l и величины Р представляют отношение числа значений СВ, попавших в данный интервал, к суммарному числу наблюдаемых значений.

Длина интервала l и число интервалов q находится из выражений:

; q = 1 + 3,33lg(n) ,

где x_max и x_min - максимальное и минимальное значение СВ в выборке.

Если значение СВ находится в точности на границе двух интервалов, то условно считается, что оно в равной мере принадлежит к обоим интервалам, и поэтому необходимо прибавить к величинам m того и другого интервала по 0,5.

Графическое изображение полученного закона распределения непрерывной СВ называется гистограммой, где по оси абсцисс откладываются интервалы длиной l (их число равно q), а по оси ординат - прямоугольники с высотой, равной вероятности попадания СВ в i-й интервал (i=1, 2, ..., q).

Hаиболее полную информацию о связи Х и Р дают интегральный и дифференциальный законы распределения.

Интегральный закон распределения (функция распределения) F(x) - вероятность того, что СВ Х меньше некоторой текущей переменой х: