- •Опр.: в конечном поле элемент с таким свойством называется примитивным т.Е. В конечном поле существует примитивный элемент, где 0, 1, 2, …,|p|-1 – все различные элементы поля р
- •Кольцо многочленов над полем
- •Алгоритм Евклида
- •Свойства взааимнопростых многочленов
- •Свойства неприводимых многочленов
- •Свойство сравнимости в кольце многочленов над полем
- •Корни многочленов над конечным полем и их свойства
- •Неприводимые многочлены над числовым полем с, полем действительных чисел r и полем рациональных чисел z
Свойства взааимнопростых многочленов
(a(x),b(x))=d(x) =1
Доказательство: существуют многочлены u(x), v(x) : u(x)a(x)+b(x)v(x)=d(x)
u(x) + v(x) = 1
первое свойство доказано
(a(x),b(x))=1; a(x)|c(x), b(x)|c(x) следовательно a(x)b(x)|c(x)
Доказательство: u(x)a(x)+v(x)b(x)=1;
c(x)=a(x)q(x)
u(x)a(x)q(x)+v(x)b(x)q(x)=q(x)
следовательно b(x)|q(x)
значит q(x)=b(x)q1(x) следовательно c(x)=a(x)b(x)q1(x). ч.т.д.
(a(x),b(x))=1, a(x)|c(x).b(x) следовательно a(x)|c(x)
Доказательство: u(x)a(x)+v(x)b(x)=1; |c(x)
u(x)a(x)c(x)+v(x)b(x)c(x)=c(x)
следовательно a(x)|c(x). ч.т.д.
(a(x),b(x))=1, (a(x),c(x))=1 следовательно (a(x),b(x).c(x))=1
Доказательство: [u(x)a(x)+v(x)b(x)=1][m(x)a(x)+l(x)c(x)=1]
a(x)(u(x)a(x)m(x) + u(x)c(x)l(x) + m(x)b(x)v(x)) + b(x)c(x)v(x)l(x) = 1,
где u'= u(x)a(x)m(x)+u(x)c(x)l(x)+m(x)b(x)v(x), v'=v(x)l(x). ч.т.д.
Опр.: NOK многочленов a(x), b(x) - [a(x),b(x)] называется многочлен D(x) со свойствами:
a(x)|D(x); b(x)|D(x)
для любого D'(x) : a(x)|D'(x), b(x)|D'(x) следует D(x)|D'(x)
Утв.: Для любых многочленов a(x), b(x)
[a(x),b(x)]=
Доказательство: пусть (a(x),b(x))=d(x);
Значит a(x)=a1(x)d(x); b(x)=b1(x)d(x).
Перемножим их: a1(x)b1(x)d(x)=B(x)
a(x)|B(x); b(x)|B(x), т.е. 1) – выполнено.
2) - ? Пусть существует F(x) : a(x)|F(x), b(x)|F(x) значит F(x)=a1(x)d(x)f(x)=b1(x)d(x)g(x),
где a1(x)=d(x)=a(x), b1(x)d(x)=b(x) следовательно a1(x)f(x)=b1(x)g(x), а (a1,b1)=1
(по свойству 1. взаимопростых многочленов) значит a1(x)|g(x) следовательно g(x)=a1(x)g'(x) откуда получаем, что
F(x)=b1(x)d(x)a1(x)g'(x), где b1(x)d(x)a1(x)=B(x) следовательно доказали утверждение. (по определению NOK)
Свойства неприводимых многочленов
Везде старший коэффициент равен 1.
Теорема: пусть f(x) – неприводимый многочлен. Тогда для любого многочлена g(x) выполнено либо f(x)|g(x), либо (f(x),g(x))=1
Доказательство:
Если (f(x),g(x))=1 то свойство справедливо
пусть (f(x),g(x))=d(x), deg d(x)>0 значит f(x)|g(x) – докажем это:
d(x)|f(x) и deg d(x)>0, т.е. d(x)0 следовательно
d(x)=f(x), т.к. f(x) – неприводимый многочлен, а т.к. d(x)|g(x) значит f(x)|g(x)
2. пусть f(x) – неприводимый многочлен. Если неприводимый многочлен делит произведение двух других многочленов, т.е. f(x)|a(x).b(x), то либо f(x)|a(x), либо f(x)|b(x).
Доказательство: пусть f(x)†a(x) значит f(x)|b(x) – докажем это:
из свойства 1. неприводимых многочленов следует:
(f(x),a(x))=1 + f(x)|a(x).b(x)
откуда получаем, что f(x)|b(x) – по 3. свойству взаимопростых многочленов.
ч.т.д.
Опр.: Представление произвольного многочлена a(x) в виде:
a(x)=anj(x)kj,
где f1(x),…,fr(x) – попарно различные неприводимые многочлены со старшим коэффициентом равным 1, kj>0 – есть каноническое разложение многочлена a(x); deg a(x)=n.
Теорема: Для любого ненулевого многочлена a(x) его каноническое разложение определено однозначно.
Доказательство:
1. Докажем индукцией по n–степени многочлена, что n=deg a(x):
n=0 значит a(x)=const=(-1)ε.a0
n=1 значит a(x)=a1(x+a0/a1) – неприводимый как многочлен первой степени
пусть существует каноническое разложение для любых многочленов степени n<t
Покажем справедливость предположения индукции для n=t. deg a(x)=t
a(x) – неприводимый многочлен, тогда это и есть его представление, т.е. он сам – каноническое разложение
a(x) – приводимый многочлен значит
a(x)=a1(x)a2(x), deg a1(x)<t, deg a2(x)<t
следовательно для a1, a2 справедливо предположение индукции, т.е. существует каноническое разложение
a(x)=(j(x)kj)(s(x)ts)
раскроем скобки и объединим степени у одинаковых, значит a(x) – также имеет каноническое разложение.
2. Докажем его единственность: для определенности будем считать, что неприводимый многочлен – унитарный, т.е. старший коэффициент равен 1, т.к. свойство неприводимости выполняется для всех многочленов вида cf(x);
пусть существуют два канонических разложения:
a(x)=anj(x)kj=ans(x)ts.
Покажем, что эти произведения совпадают, т.е.
j(x)kj=s(x)ts.
f1(x)–неприводим и f1(x)|s(x)ts;
по свойству 2.: существует s1: f1(x)|gs1(x)ts1=gs1(x)...gs1(x)
из свойства 2. Следует, что f1(x)|gs1(x), а т.к. gs1 – неприводим значит f1(x)=gs1(x).
Аналогично для любого fj(x) существует sj : fj(x)=gsj(x), следовательно rl.
И аналогично наоборот: получаем, что lr
следовательно r=l и наборы многочленов совпадают: {f1(x),…,fr(x)}={g1(x),…,gl(x)} и существует взаимно однозначное соответствие j sj .
Переупорядочим многочлены в правой части, чтобы был тот же порядок: j(x)kj=j(x)tsj; kj=tsj - ?
Пусть k1<ts1 . Разделим обе части на f1k1 :
j(x)kj = f1(x)ts1-k1j(x)tsj
f1(x)|j(x)kj значит f1 делит какой-то fj, т.е. совпадает с ним. Возникает противоречие с выбором системы многочленов {f1,…,fr}, следовательно предположение, что k1<ts1, неверно. Аналогично доказывается неверность k1>ts1, значит k1=ts1
Теперь сократим все на f1k1 :
j(x)kj =j(x)tsj
– с которым поступаем аналогично, и т.д. Т.е. для любого kj=tsj
Значит с точностью до перестановки сомножителей каноническое разложение определено однозначно.