Алгоритм Евклида

a(x)=b(x)q₁(x)+r₁(x) deg r₁(x)<deg b(x)

b(x)=r₁(x)q₂(x)+r₂(x) deg r₂(x)<deg r₁(x)

^{………………………………. …………………………….}

r_s(x)=r_s+1(x)q_r+2(x)+r_s+2(x) deg r_s+2(x)<deg r_s+1(x)

deg b(x)=const>deg r₁(x)>deg r₂(x)>…>r_n(x)>…

deg r_n(x)<0 r_n(x)=0

Берем первый раз, когда встречается 0: r_n-2(x)=r_n-1(x)q_n(x)+r_n(x)=0

Теорема: ] даны a(x), b(x) – ненулевые многочлены. Тогда последний ненулевой остаток при делении в алгоритме Евклида равен (a(x), b(x))

Опр.: NOD многочленов a(x), b(x) – многочлен d(x):

1) d(x)|a(x); d(x)|b(x)

2) d'(x)|a(x), d'(x)|b(x) следовательно d'(x)|d(x)

Замечание: для определенности считаем, что старший коэффициент многочлена равен 1.

Лемма: (a(x),b(x))=(a(x)-c(x)b(x),b(x)), для любого a(x),b(x),c(x)

Доказательство:

"" пусть (a(x),b(x))=d(x); d'(x)=(a(x)-c(x)b(x),b(x));

Из того что d(x)|a(x) и d(x)|b(x) следует, что a(x)=d(x)q₁(x) и b(x)=d(x)q₂(x)

a(x)-b(x)c(x)=d(x)(q₁(x)-c(x)q₂(x)) следовательно d(x)|(a(x)-c(x)b(x)) значит d(x)|d'(x)

"" Из соотношений d'(x)|(a(x)-c(x)b(x)) и d'(x)|b(x) следует, что

a(x)-c(x)b(x)=d'(x)q₁(x) и b(x)=d'(x)q₂(x)

a(x)-c(x)b(x)+c(x)b(x)=d'(x)q₁(x)+c(x)d'(x)q₂(x)=d'(x)[q₁(x)+q₂(x)c(x)] значит d'(x)|d(x)

т.к. d(x)|d'(x) и d'(x)|d(x) докажем, что d'(x)=d(x):

d'(x)=l(x)d(x)

d(x)=m(x)d'(x)

d(x)=l(x)m(x)d(x) следовательно d(x)(1-l(x)m(x))=0

deg d(x)0 следовательно 1-l(x)m(x)=0;

l(x)m(x)=1, при l(x)0, m(x)0

deg (l(x)m(x))=deg l(x)+deg m(x)=0,

deg l(x),deg m(x)0;

d'(x)=m(x)d(x), где m(x)=const значит m(x)=1 (см. замечание)

Доказательство теоремы:

(a(x),b(x)) = (a(x)-b(x)q₁(x),b(x)) = [r₁(x)=a(x)-b(x)q₁(x)] = (r₁(x),b(x)) = = (r₁(x),b(x)-r₁(x)q₂(x)) = [r₂(x)=b(x)-r₁(x)q₂(x)]=(r₁(x),r₂(x)) =…= (r_s(x),r_s+1(x)) = = (r_n-2(x),r_n-1(x)) = r_n-1(x),

где r_n-1(x) – последний ненулевой остаток;

т.к. r_n(x)=0, а r_n-2(x)=r_n-1(x)q_n(x)+r_n(x), то r_n-1(x)|r_n-2(x) ч.т.д.

Теорема: Пусть a(x), b(x) – ненулевые многочлены над полем. Тогда существуют u(x), v(x) : u(x)a(x)+b(x)v(x)=d(x)=(a(x),b(x)).

Доказательство: пусть u₀(x)=0, u₁(x)=1, u_k(x)=u_k-2(x)-q_k(x)u_k-1(x),

v₀(x)=1, v₁(x)=-q₁(x), v_k(x)=v_k-2(x)-q_k(x)v_k-1(x).

Докажем, что: r_k(x)=u_k(x)a(x)+v_k(x)b(x);

проводим доказательство по индукции:

1. базис индукции: k=1

r₁(x)=1^.a(x)-q₁(x)b(x) – соответствует алгоритму Евклида

2. шаг индукции: пусть выполняется для любого k<t.

Пусть k=t - проверим:

по алгоритму Евклида:

r_t-2(x)=r_t-1(x)q_t(x)+r_t(x) следовательно r_t(x)=r_t-2(x)-q_t(x)r_t-1(x);

т.к. t-2<t и t-1<t, то для них формула верна:

r_t(x) = u_t-2(x)a(x) + v_t-2(x)b(x) - q_t(x)[u_t-1(x)a(x) + v_t-1(x)b(x)] = a(x)(u_t-2(x)-q_t(x)u_t-1(x)) + + b(x)(v_t-2(x) - q_t(x)v_t-1(x)), где [u_t-2(x) - q_t(x)u_t-1(x) = u_t(x)], [v_t-2(x) - q_t(x)v_t-1(x) = v_t(x)]

верно при k=t

выполняется для любого k (по индукции)

а т.к. (a(x),b(x))=r_n-1(x)=u_n-1(x)a(x)+v_n-1b(x) – то построили в явном виде, где r_n-1(x) – последний ненулевой остаток.

Опр.: Многочлены a(x) и b(x) называются взаимнопростыми, если их NOD = 1.

Утв.: Многочлены a(x),b(x) – взаимнопросты u(x), v(x):u(x)a(x)+v(x)b(x)=1

Доказательство:

"" (a(x),b(x))=1 следовательно u(x), v(x)

"" пусть (a(x),b(x))=d(x), deg d(x)>1

т.к. d(x)|a(x), d(x)|b(x) значит d(x)|[u(x)a(x)+v(x)b(x)] следовательно d(x)|1 следовательно deg d(x)0,

deg d(x)0 значит d(x)=const=1. ч.т.д.

Опр.: a(x) – собственный делитель b(x), если d(x)|b(x) и 0<deg a(x)<deg b(x), т.е. a(x)const.

Опр.: Многочлен a(x) – неприводимый, – если он не имеет собственных делителей, иначе – приводимый.

Замечание: неприводимый многочлен делится либо на константу, либо на самого себя.