2) – противоречит тому, что Р – поле, следовательно наше предположение о том, что Р=n₁n₂ – ошибочно, значит Р – простое число.

Опр.: Пусть Р – поле следовательно множество Q P – подполе Р, если Q P и Q – поле.

Пример: Q < R < C

Опр.: Поле называется простым, если оно не содержит собственных подполей, т.е. если Q<P значит Q=P(более простых полей, чем Р в нем нет).

Теорема: В каждом поле существует, причем единственное, простое подполе.

Доказательство:

1) Пусть char P=0, eP

Пусть Q<P. Тогда рассмотрим множество Q*=Q\0 – множество ненулевых элементов подполя Q – это мультипликативная группа, а Q*P*. Тогда Q*<P*, а е – подгруппа Q* совпадает с е в Р*, т.к. ab^-1Q*; пусть aQ*, b=a и е=аа^-1Q*, т.е. еQ* - единица принадлежит подполю Qэ{0,e}, а т.к. Qэe , то 2e, 3e, … Q – в силу замкнутости по сложению. а т.к. (Q,+) – группа, то -е, -2е, -3е, … Q n\0, (ne)^-1Q – существование обратного по умножению m, n\0, (me)(ne)^-1=eQ – в силу замкнутости по умножению

Вывод: если char P=0, то {eQP, m, n\0}=P₀, т.е. если Q – подполе, то P₀Q, для Q<P.

Теперь покажем, что Р₀ – поле:

1. = операции сложения и умножения замкнуты

2. ассоциативность, коммутативность следуют из ассоциативности, коммутативности Р

3. дистрибутивность

4. обратное по сложению

5. обратное по умножению

Р₀ – поле.

Покажем, что Р₀ – простое поле: Пусть существует Q'<P₀, а по доказанному P₀<Q' следовательно Q'=P₀ ч.т.д.

Замечание: из доказательства следует, что простое подполе поля с характеристикой равной нулю изоморфно полю рациональных чисел, т.к. {QP, m, n\0}=P₀ (е – опускаем).

2) Пусть char P=Р

а) т.к. Q<P значит eQ (было доказано выше), следовательно е,2е,…,(р-1)е, ре=0, следовательно {0, e, 2e, …, (p-1)e}=P₀

Рассмотрим Z_p: пусть : P₀Z_p

(a,e)=[a]_p – взаимно однозначное отображение

(aebe)= (ae) (be), где

следовательно P₀Z_p (т.е. изоморфны), значит т.к. Р₀ - поле, т.к. Z_p – поле.

б) Р₀ – простое, т.к. Q'P₀ и P₀Q' следовательно Q'=P₀ ч.т.д.

Теорема: Пусть P – конечное поле, тогда существует Р : ord=-1; (ord - по умножению в мультипликативной группе Р*).

Опр.: в конечном поле элемент с таким свойством называется примитивным т.Е. В конечном поле существует примитивный элемент, где 0, 1, 2, …,|p|-1 – все различные элементы поля р

{В абелевой группе существует : ord=expG}

expG=min{t : G, ^t=e}

1) expP*=|P|-1

expP*/|P*|=|P|-1

Пусть expP*<|P|-1 следовательно X^expP*-1=0 – это уравнение имеет в поле Р (|P|-1)-решений, т.е. ненулевой элемент в поле – решение. противоречие: решений > степени уравнения (что противоречит теореме Безу) expP*<|P|-1

2) P* - абелева группа, значит существует : ord=expP*

Из 1) и 2) следует утверждение теоремы.

Кольцо многочленов над полем

Пусть Р – поле;

Обозначим: Р - множество носителей с элементами из Р; (а₀ а₁ а₂ … ), а_jР

Р : если (а₀ … а_n …), то k : а_j=0, для jk, т.е. начиная с какого-то номера они все нули.

Определим на множестве : +=, c_k=a_k+b_k

×=, c_k=a_jb_k-j

Теорема: (,+,×) – коммутативное кольцо.

Доказательство: "по сложению":

1) +, т. к. начиная с max(k, n) – все нули.

2) эта операция коммутативна

3) =(0, 0, …)

4) -=( -а₀ ,-а₁, …)

"по умножению": 1) замкнутость ×= max{j, a_j0}=k, max{j, b_j0}=n, тогда c_n+k+1=a_jb_n+k-j+1=0

0,0,….,0

a₀, a₁, …, a_k, ….…, a_n+k+1

- сумма индексов в столбце всегда (n+k+1)

b_n+k+1,…, b_n+1,…..,b₁,b₀

0,0,……,0

каждое произведение равно 0

при таком определении умножения мы из множества не выходим.

2) коммутативность:

c_k=a_jb_k-j=b_k-ja_j=b_j'a_k-j'=d_k, где =(×), =(×)

3) ассоциативность: пусть (×)=, (×)= и (×)=, (×)=,

тогда d_k=(v_jc_k-j)=a_sb_j-sc_k-j

f_k=a_sw_k-s=a_sb_jc_k-j= a_sb_jc_t

(+)=+ ч.т.д.

вот это кольцо - кольцо многочленов над полем

Введем обозначения: × ()=(0,а₀,а₁,а₂, …) – такое умножение {c_k=a_jb_k-j=a_k-1 при k-j=1j=k-1} есть сдвиг последовательности вправо а(0,1,0,…,0)=(0,а,0,…,0);

=(0,…,а_j,0,…)= а_j(0,…,1,0,…)= а_j(0,1,0…)^j={ ]x=(0,1,0,...)}= а_jx^j

Опр.: Будем говорить, что многочлен a(x) делит b(x), т.е. a(x)½b(x), если существует с(х) : a(x)× c(x)=b(x)

Опр.: Степень многочлена a(x) – deg a(x) – номер наибольшего ненулевого коэффициента в представлении: a(x)=a_jx^j.

Если а(х)=0, то полагаем deg a(x)= -

(примечание: пусть a(x)=a₀0 тогда deg a(x)=0).

Опр.: Разделить a(x) на b(x) с остатком – значит, что b(x) можно представить в виде b(x)=q(x)a(x)+r(x), deg r(x)<deg a(x)

Утв.: Если а(х)0, то любой многочлен над полем можно разделить с остатком на а(х) и представление b(x)=q(x)a(x)+r(x), deg r(x)<deg a(x) определено однозначно.

Доказательство:

a(x)0 следовательно deg a(x)0

a(x)=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₀ (a_n0)

b(x)=b_mx^m+b_m-1x^m-1+…+b₀

1. m<n следовательно b(x)=0^.a(x)+b(x)

2. m n следовательно b(x)-a(x)^.a_n^-1b_mx^m-n=b_m-1⁽¹⁾x^m-1+…+b₀⁽¹⁾=b⁽¹⁾(x)

{т.е. степень понизили как минимум на 1}

Если deg b⁽ⁿ⁾(x)<n, то STOP иначе понижаем степень дальше также;

b(x)-a(x)a_n^-1b_mx^m-n-a(x)a_n^-1b_{deg b(')(x)}⁽¹⁾x^{deg b(')(x)-n}=r(x); deg r(x)<n

(за конечное число шагов такое неравенство обязательно получим)

значит b(x)-a(x)q(x)=r(x)

Однозначность деления: -доказательство от противного-

пусть существует: b(x)=a(x)q'(x)+r'(x) deg r'(x)<deg a(x)

b(x)=a(x)q(x)+r(x) deg r(x)<deg a(x)

Вычитаем: 0=a(x)(q'(x)-q(x))+r'(x)-r(x) следовательно

r(x)-r'(x)=a(x)(q'(x)-q(x))

deg (r(x)-r'(x))<deg a(x)

deg a(x)(q'(x)-q(x))=deg a(x)+deg (q'(x)-q(x))deg a(x)

возникает противоречие, т.е. q'(x)-q(x)=0 следовательно q'(x)=q(x) ч.т.д.

(ab)c=a(bc); пусть (ab)=u, (bc)=v, тогда

a_k-jv_j=a_sb_j-s)c_k-j=a_sb_j-sc_k-j=a_sb_j-sc_k-j={замена t=k-j j=k-t}= =a_sb_k-t-sc_t={замена l=k-s s=k-l}=a_k-lb_l-tc_t u_jc_k-j=a_k-jv_j.