Добавил:

Fragga Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

МИРЭА - Российский технологический университет

Предмет:

Алгебра и геометрия

Файл:

ALG#04

.DOC

Скачиваний:

Добавлен:

26.05.2014

Размер:

1.51 Mб

Скачать

☆

Утв: Пусть

Кольцо вычетов целых чисел.

- конгруэнция на Z. Пусть [a]n – класс эквивалентных элементов относительно ; а остатков: - разные классы.

- множество + операции: . В силу теоремы, что - конгруэнция, введенные операции – введены корректно. - это множество с этими операциями – это кольцо из n элементов.

Для простоты: - наименьший неотрицательный элемент из класса [a] .

Идеалы колец.

Опр: Пусть - кольцо - идеал кольца R, если .

Пример: R=Z, J – четные числа .

Рассматриваем свойства коммутативных колец.

Опр: Идеал I – максимальный идеал, если из условия, что либо J=R.

Утв: Если есть 2 идеала: то:

Док-во:

если то для
Пусть

Опр: Пусть - сравнение по модулю идеала I:

Теорема: Пусть R- коммутативное кольцо: :

Отношение сравнимости - конгруэнция кольца.
Если I – max, то кольцо - поле.

Док-во: это отношение эквивалентности, т.к.:

Рефлективное: т.е. Пусть
Симметричное:
Транзитивное: ; это отношение эквивалентности, значит разбивает кольцо на не пересекающиеся классы:

Определим операции на классах:

Док-во корректности введенных операций:

[a]+[b]=a+I+b+I=(a+b)+(I+I)=(a+b)+I=[a+b]

Отношение - конгруэнция на R; значит получается, что - кольцо.

Идеалы кольца целых чисел.

Теорема: Все идеалы кольца целых чисел исчерпываются множествами вида: .

Док-во: что

что nZ<Z, т.е. под кольцо
1. , т.е. (nZ,+) – кососимметричная группа.
2. т.е. дистрибутивность для данных чисел выполняется в силу того, что она выполняется для всех целых чисел.
т.к.
Покажем, что любой идеал имеет такой вид, т.е. если
1. Если I={0}, то n=0, I=0*Z
2. , т.е. состоит не из одного нуля. если и I есть элементы не равные нулю, то там есть положительные элементы, отличные от нуля. Возьмем наименьшее такое число: . Введем: но .

Теорема: .

Док-во:

. Возьмем:
Аналогично: если , т.е. . Обратно: .

Следствие: .

Теорема: Идеал nZ – max n – простое число.

Док-во: (от противного) Прямое: Пусть - противоречит с тем, что nZ – max => n – простое.

Обратное: n – простое; Пусть , а т.к. - противоречит тому, что n – простое.

Теорема: Кольцо вычетов Zm – поле m – простое число. .

Док-во: нужно проверить, что каждый элемент является обратным, значит пусть Zm – поле, но m – составное, т.е. т.е. [a] и [b] – делители нуля, а в поле их нет. - по свойству поля. , но если Zm – поле, то m – не может быть составным.

Обратно: Пусть m – простое. Возьмем , но любой элемент имеет обратный, значит Zm – поле.

СМ.ПР

Решение сравнения в кольце целых чисел Zn.

Пусть - обозначение. Дано: Zn; [a][x]=[b]; ; Пусть - сравнение по модулю n, здесь решений бесконечное множество т.к. в Zn.

Теорема:

В Zn сравнение: имеет решение (a,n)|b
Если (a,n)|b, то сравнение имеет (a,n)=d различных по модулю n решений вида: - некоторое фиксированное решение.

Док-во:

1. Прямое: Пусть есть решение ;
2. Обратное: Пусть где - решение 1-го сравнения - решение 2-го сравнения. Покажем это: Пусть - решение 1-го сравнения , т.е. эти равенства эквивалентны. . Пусть , где - решение этого сравнения, т.к. - это решение и исходного сравнения.
, то - решение. Пусть есть еще решение: , а т.к. , т.е. при фиксированном l получаем d различных решений.