Лекции / Лекции Кузьмина / ALG#05

1. 

2. 

3. - действительно обратим.

4. 

U0=0

U1=1

U2=U0-q2U1=0-11=-11

U3=U1-q3U2=1-1(-11)=12

V0=1

V1=-q1=-2

V2=V0-q2V1=1-11(-2)=23

V3=V1-q3V2=-2-1*23=-25

98U+47(-25)=1 , а

Пример10: - функция Эйлера.

Пример11: Найти все различные решения:

1. (63,333)|129 => решений нет

2. 

   1. 9|126 значит есть решение

   2. 

Пример12:

1. 

   1. V0=1

   2. V1=-q1=-2

   3. V2=V0-q2V1=1-(-2)1=3

   4. V3=V1-q3V2=-2-1*3=-5

   5. V4=V2-q4V3=3-1(-5)=8

2. 

3. 

19,56,93,… a – решение т.к. (126,333)=9

Пример13: .

есть решение.

Находим обратное к 17. есть решение.

V0=1

V1=-3

V2=V0-q2V1=1-1(-3)=4

V3=V1-q3V2=-3-1*4=-7

[-7]=[-7+60k]=[53] => V3=53

Найти в интервале по mod60 , т.е.

Пример14:

1. g=(8,7,13)(1,4,6,5) hg=(1,3,13,15,9,5)(2,17,16,11,6,8,4,7,12,10)(14)

2. g=(8,7,13) hg(1,3,13,15,9,6,8)(2,17,16,11,4,7,12,10)(5)

k=NOK(7,8)=56

Конечные поля.

Простейшие свойства полей: Р – поле – это коммутативное К с е, в котором каждый ненулевой элемент обратим. .

Свойства:

1. (P,+) – коммутативная группа G

   1. 

   2. 

   3. a+b=b+a

   4. 

   5. 

2. 

   1. 

   2. 

3. т.к. К – коммутативно значит ab=ba

4. 

Пример1: рациональные действия, комплексные числа – поля.

Пример2: GF(2) – поле Галуа (конечное поле)

- такое множество элементов {0,e} – поле.

Пример3: Zp (если р – простое) – поле.

Пример4: - множество таких чисел образует поле. Оно больше Q, но меньше поля R.

Опр: Характеристика поля Р – минимальное натуральное число р. . Если такого р не существует, по определению полагают р=0.

Пример5: GF(2), т.к. e+e=0, т.е. 2e=0, a .

Пример6: R .

Пусть Р – конечное поле. Построим последовательность: e,2e,3e,…,ne, т.к. в поле конечное число элементов значит где-то есть повторения: (Пусть k>j)

Пусть ke=je; (k-j)e=0. (k-j) – какое-то натуральное число, пусть не min, т.е. это верхняя граница значит есть min. Значит если Р – конечно, то , т.е. конечное поле имеет конечную характеристику.

Замечание: Обратное не верно, существуют бесконечные поля, имеющие конечную характеристику.

Утв1: Пусть Р – конечное поле - простое число.

Док-во: от противного. Пусть

1. 

2. 

Лемма: “В поле нет делителей нуля”.

Док-во: Пусть , а т.к. b=0 – противоречит с выбором b. Значит в поле отсутствует делитель нуля

3