Содержание отчета

Название, цель работы и краткие теоретические сведения.

Результаты измерений одномерной и двумерной случайных величин, сведенные в таблицу.

Диаграмма накопленных частот, гистограмма и двумерная диаграмма рассеяния, а также результаты оценок параметров экспериментальных выборок.

Контрольные вопросы

Функции распределения случайной величины, нормальное распределение, параметры нормального распределения.

Отличие генеральных и выборочных характеристик.

Точечные и интервальные оценки мат. ожидания и дисперсии.

Функции распределения двумерной, случайной величины.

Уравнение и коэффициент линейной регрессии. Коэффициент корреляции.

__________________

Всеобщее управление качеством: Учебник для вузов / О.П. Глудкин, Н.М. Горбунов и др., под общ. ред. О.П. Глудкина; М.: Горячая линия – Телеком, 2001. с. 93-133.

Лабораторная работа № 2

Проверка статистических гипотез

Цель работы

Изучение основных методов проверки статистических гипотез.

Содержание работы

Изучить основные статистические методы проверки параметрических и непараметрических гипотез.

Выполнить статистическую проверку непараметрической гипотезы о виде функции распределения экспериментальной, случайной величины.

Выполнить статистическую проверку параметрических гипотез о равенстве выборочного среднего некоторому значению (критерий Стьюдента) и о равенстве дисперсий независимых выборок (критерий Фишера).

Краткие теоретические сведения

Задача статистической проверки гипотез возникает при сравнительной оценке различных технологических процессов производства РЭС, определении величины возможного брака, установление связи между характеристиками и в других случаях.

При проверке гипотезы статистическими методами есть риск принять ложное решение. Теория статистической оценки гипотез позволяет вычислить вероятность принятия ложного решения. Если эта вероятность окажется незначительной, то можно признать, что применяемый критерий обеспечивает малый риск ошибки.

Приведем ряд определений, используемых в теории статистической оценки гипотез. Статистическая гипотеза есть некоторое предположение относительно свойств генеральной совокупности, из которой извлекается выборка. Критерий статистической гипотезы – это правило, позволяющее принять или отвергнуть данную гипотезу на основании выборки. При построении такого правила используются определенные функцииg(x₁,x₂,…x_n) результатов наблюденийx₁,x₂,…x_n, называемые статистиками для проверки гипотез. Все возможные значения подобных статистик делятся на две части: область принятия гипотезы и критическую область. Проверка гипотезы сводится к выяснению того, попадает или нет конкретное значение статистики, вычисленное по выборке, в критическую область: если нет – гипотеза принимается, как не противоречащая результатам наблюдения, если да – гипотеза отвергается.

Нулевой называется выдвинутая гипотеза H₀. Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу (H₁), которая противоположна нулевой. Ошибка первого рода имеет место, когда отвергается правильная гипотеза H₀. Вероятность этой ошибки определяется уровнем значимости – q, выбор его определяется тяжестью последствий ошибки I рода.

Пусть имеются причины считать, что истинное значение оцениваемого параметра, например, математического ожидания, равно m₀. Это проверяемое предположение является нулевой гипотезойH₀:m_x= m₀. Вид критической области, при попадании в которую выборочной статистики отвергается правильная гипотезаH₀, определяется характером альтернативной гипотезыH₁. Если нулевой гипотезеH₀:m_x= m₀ противопоставляется альтернативная гипотезаH₁:m_x m₀, то критерий для проверки Н₀носит название двустороннего, а его критическая область состоит из двух частей. Если же альтернативная гипотеза формулируется в видеH₁:m_x> m₀илиH₁:m_x< m₀, то соответствующие критерии называются односторонними и их критические области содержат одну часть.

Предположения о виде функции распределения случайной величины называются непараметрическими гипотезами. Для проверки гипотезы о соответствии экспериментального закона распределения случайной величины теоретическому наиболее часто применяют критерий Пирсона, называемый также критерием ²(«хи – квадрат»).

Пусть генеральная совокупность имеет функции распределения F(x). Из этой совокупности извлечена выборка объемомn (n50). Разобьем весь диапазон полученных результатов наkчастичных интервалов равной длины, и пусть в каждом интервале оказалосьm_iизмерений (частот), причем:

(1)

Требуется на основе имеющейся информации проверить нулевую гипотезу, что гипотетическая функция распределения F(x)значимо представляет данную выборку.

При проверке нулевой гипотезы с помощью критерия согласия придерживаются следующей последовательности:

1) вычисляют вероятности попадания случайной величины Xв частичные интервалы [x_i-1,x_i]:

(2)

где i=1…k.

В случае рассмотрения нормального закона распределения:

(3)

где m₀и– математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение рассматриваемой случайной величины, соответственно. Вычисление значений функции распределения можно проводить, пользуясь нормированной функцией Лапласа:

(4)

где нормированная переменная zравна:

(5)

Значения функции Лапласа представлены в табл. 1.

2) Умножая полученные вероятности на объем выборки n, получают теоретические частоты np_i частичных интервалов, т.е. частоты, которые следует ожидать, если нулевая гипотеза справедлива.

3) Вычисляют выборочную статистику (критерий ²):

(6)

Если нулевая гипотеза верна, то при n закон распределения выборочной статистики независимо от вида функции F(x) стремится к распределению ² c  = k – f – 1 степенями свободы. Здесь f – число параметров гипотетической функции F(x), оцениваемых по данным выборки (для нормального распределения f=2).

Критерий ² сконструирован таким образом, что чем ближе к нулю наблюдаемое значение критерия ², тем вероятнее, что нулевая гипотеза справедлива. Для проверки гипотезы по таблицам ² распределения по заданному уровню значимости q и числу степеней свободы  находится критическое значение ²_кр, удовлетворяющее условию P(²²_кр) = q.

Если ²_набл < ²_кр, то считается, что нет оснований для отклонений нулевой гипотезы, таким образом гипотетическая функция F(x) согласуется с опытными данными.

Рассмотрим теперь статистические процедуры проверки параметрических гипотез. Пусть задана некоторая случайная величина, имеющую гауссовский закон распределения, дисперсия которой неизвестна. Для проверки гипотезы о равенстве выборочного среднего случайной величины значению m₀(H₀:m_x= m₀) используется критерий Стьюдента (t– распределение). Пусть имеется экспериментальная выборка объемомn со средним арифметическим и выборочным средним квадртическим отклонениемs_x. Статистика для проверки гипотезы, подчиняющаясяt– распределению с = n–1степенями свободы, вычисляется по формуле:

(7)

Пусть критерий является двусторонним, и альтернативная гипотеза сформулирована следующим образом H₁:m_x m₀. Тогда проверяемая гипотеза Н₀принимается при уровне значимостиq, если выполняется неравенство.

Если есть основания сформулировать альтернативную гипотезу в виде H₁:m_x< m₀илиm_x> m₀, то гипотеза принимается при выполнении условийили, соответственно.

Рассмотрим теперь критерий Фишера (F–критерий). Для гауссовского закона распределения случайной величины сформулируем гипотезу о равенстве выборочных дисперсий:H₀:_x1²=_x2²;H₁:_x1²_x2². В этом случае в качестве критерия значимости используется параметр, равный отношению двух независимых оценок дисперсий генеральной совокупностиs₁²>s₂², имеющих соответственно степени свободы₁=n₁ –1,₂=n₂ –1:

(8)

Если полученное значение критерия меньше табличного значения F– распределения при заданном уровне значимостиF<F_{1,2,q/2} , то гипотезу следует принять.