Тема 9. Особенности применения метода конечных элементов для моделирования горя чего формоизменения металлических заготовок.

1. Вывод основной системы МКЭ для решения задачи в скоростях.

2. Линеаризация задачи пластичности решаемой методом МКЭ в скоростях.

3. Формирование исходных данных в части свойств.

а) для решения задачи в скоростях (диаграмма течения).

б) для решения задачи в приращениях перемещений

(диаграмма деформирования).

1. Основная система МКЭ при решении задачи в скоростях:

[К]*{}={F},

где [К]- матрица жесткости (матрица коэффициентов системы уравнений),

{V}- матрица столбец корней системы (корнями являются проекции узловых скоростей на оси координат).

Согласно методу баланса работ:

W_ПЛ.Д=W_В, (1)

где, W_ПЛ.Д – мощность пластической деформации,

W_В- мощность внешних сил приложенных к заготовке (включая силы трения).

, или приближенно

где, _I – интенсивность скоростей деформации,

При конечно-элементном представлении тела выражение W_ПЛ.Д. можно записать иначе:

, (2)

где - матрица строка скоростей деформацииi-го элемента полученная транспортированием матрицы столбца.

{σ}- матрица столбец напряжений i-го элемента,

{V_i}- объем i-го элемента,

n- количество конечных элементов.

Отметим, что (2) правомерно при использовании конечных элементов

для которых {σ}_i и {έ}_i постоянных для всех точек составляющих конечный

элемент.

Напомним, что согласно методу МКЭ:

{}^T_i={}^T_i*[B]^T_i ,

{σ}_i=[D]_i*[B]_i*{}_i,

Поэтому выражение (2) окончательно принимает вид:

, (3)

Мощность внешних сил:

, (4)

где m- количество узлов нагруженных внешними силами.

С учетом (3) и (4) составим из (1) энергетический функционал:

, (5)

Как видно из (5) значение функционала зависит от {v}_i узловых скоростей.

Выясним, при каких скоростях узлов функционал будет принимать минимальное значения близкое к нулю.

Для этого возьмем производные от функционала по всем узловым скоростям сетки элементов и приравняем их нулю. Решив полученную систему уравнений, найдем скорости.

Если j-ый узел является граничным, нагружаемым силой, то производная будет иметь вид,

,

,

,

где l- количество элементов окружающих узел.

Если узел внутренний, то производная будет иметь вид:

Введем обозначение:

, тогда

производные примут вид:

,

или (6)

Очевидно, что произведение представляет собой матрицу столбец внутренних сил приложенных как бы со стороныi-го элемента к узлам, составляющим i-ый элемент.

Для плоского треугольного элемента данная матрица столбец имеет шесть компонент (рис.1).

Рисунок 1.

На j-ый узел из системы сил матрицы действуют только две со стороны i-го элемента (F_y,j и F_y,j).

Таким образом левая часть уравнения равновесия (6) представляет собой сумму внутренних сил действующих на j-ый узел со стороны окружающих элементов (сил действующих только вдоль одной оси координат).

Т.е. из шести сил каждого из L элементов окружающих j-ый узел, в сумме-левой части уравнения (6) участвует только одна – соответствующая оси координат и j-му узлу.

Уравнение (6) можно записать иначе:

, (7)

где, ,

a-размерность задачи; n-количество узлов.

- строка коэффициентов уравнения равновесия дляj-го узла вдоль соответствующей оси.

- матрица столбец узловых скоростей сетки конечных элементов.

Всю систему уравнений можно представить в виде:

,

Ненулевые компоненты матрицы [K] получают присвоением или сложением соответствующих компонент матриц жесткости элементов[K]_i ,

способом объединения по узлам или по элементам.

2. В случае использования модели материала(металла) с пропорциональностью девиатора напряжений девиатору скоростей деформации () и сжимаемой по по закону Гука:

,

где, - объёмная скорость деформации,

- интервал времени – время, принятое для одного шага нагружения модели.

Уравнение связи имеет вид:

,

где, -матрица столбец напряженийn-го элемента,

[D]_n – матрица упруговязкости,

- матрица столбец скоростей деформацииn-го элемента,

-матрица столбец гидростатического давления накопленного элементом за предыдущие этапы нагружения.

Матрицы [D]_n и {_o}_n для плоскодеформированного состояния имеют вид:

,

где, - коэффициент вязкости,

,

где, - интенсивность напряжений рассчитывается с учетом интенсивности скоростей деформации, по диаграмме скоростного упрочнения металла,

,

На первом шаге нагружения конечно-элементной модели для всех элементов принимается: (см. рис.2).

Рис.2

При расчете конкретного этапа нагружения принимается гипотеза, согласно которой при считается, что, а элемент для которого выполняется условиесчитается находящимся в упругом состоянии.

Алгоритм линеаризации задачи пластичности рассмотрим, мысленно проследив за одним конечным элементом.

Пусть для нашего элемента на каком то шаге нагружения в первом приближении (для всех элементов ) рассчитано НДС- точка с координатами () см. рис.2, причем условиене выполняется. Тогда формирование матрицы жесткости системы уравнений необходимо осуществлять с уточнённой для этого элемента матрицей упругопластичности.

В матрице уточняется коэффициент вязкости: . Далее система МКЭ решается второй раз, т.е. выполняется 2-е приближение и т.д. пока не удовлетворится условие (8) для всех конечных элементов.

При формировании вектора нагрузки {F} перед каждым этапом нагружения учитывают гидростатическое давление:

,

где, F_i –добавочная сила в i-ом узле гидростатического давления в окружающих узел элементах,

L- число окружающих i-ый узел элементов. При уточнении по элементам остается неизменным, рассчитанным по результатам предыдущим этапов нагружения модели:

,

где, - гидростатическое давление в элементе накопленное к р-ому этапу нагружения,

-объемная степень деформации элемента и интервал времени дляj-го этапа нагружения модели. Т.е. добавочная сила в i-ом узле от приближения к приближению не уточняется.

Временной интервал на каждом шаге нагружения должен удовлетворять неравенству: .

Отметим, что при моделировании горячего формоизменения заготовки и решении задачи в приращениях перемещений, линеаризация осуществляется с использованием упругих методов: метод переменных параметров упругоооооо; метод касательных жесткостей; метод дополнительных деформаций, т.е. как и при решении задач холодного деформирования.

При решении задачи в скоростях течения, с пропорциональностью девиатора напряжений девиатору скоростей деформации и сжимаемой по закону Гука скоростное упрочнение металла учитывается использованием в расчетной программе диаграммы скоростного упрочнения .

Диаграмма представляется, как правило в виде функциональных зависимостей:

,

где, - параметры также указываются в программе;

-линейный модуль скоростного упрочнения металла.

Зависимость (9) (уравнение линии) получают обработкой экспериментальных данных, полученных при испытании металлических образцов.

При решении задачи в приращениях перемещений используется диаграмма деформирования , как и при моделировании холодного деформирования. Отличие состоит в том, что диаграмма должна соответствовать температуре обработки и средней скорости деформации заготовки.

Перед каждым этапом нагружения уточняются: координаты, матрицы дифференцирования, жесткости элементов.

и т.д. – абцисса j-го узла, - скорость перемещенияj-го узла в направлении оси OX.

Как уже отмечалось выше учитывается накопленное гидростатическое давление, но коэффициент вязкости для всех элементов в первом приближении, (при первом решении системы) на каждом очередном этапе нагружения модели приравниваются .