Сущность метода конечных элементов

Сущность МКЭ заключается в следующем. Нагружаемое тело представляется составленным из элементов конечных размеров. Количество этих элементов конечно. Каждый элемент, называемый конечным, задается в пространстве координатами вершин узлов. Иначе говоря, сплошное тело геометрически представляется в пространстве координатами некоторых его материальных точек являющихся вершинами конечных элементов. Представление тела, как совокупности узлов, делается для того, чтобы в дальнейшем рассчитать перемещения узлов вдоль осей координат (приращения перемещений или скорости течения узлов) путем решения, как правило, линейной системы уравнений равновесия всех узлов. Левая часть каждого уравнения представляет собой сумму внутренних сил действующих на узел со стороны всех окружающих узел конечных элементов. Правая часть каждого уравнения равна нулю, если узел внутренний или равна внешней нагружающей силе, если внешний узел испытывает нагружение. С математической точки зрения непрерывная функция перемещений (приращений перемещений или скоростей течения узлов) материальных точек составляющих тело и определенная в пространственной области занимаемой на данный момент им заменяется путем конечно элементного представления совокупностью конечно-непрерывных функций перемещений. Каждая из этих функций определена на своем конечном элементе. При этом каждая конечно-непрерывная функция перемещений (приращений перемещений или скоростей течения узлов) формально представляется (записывается) через значения перемещений узлов составляющих конкретный элемент: например для треугольного конечного элемента

U_x,n=N_x,iU_x,i+ N_x,jU_x,j +N_x,mU_x,m=₁x+₂y+₃; (1)

где,

U_x,n – кусочно-непрерывная функция описывающая перемещения материальных точек входящих в n-ый конечный элемент,

U_x,i, U_x,j, U_x,m – значения перемещений узлов в направлении оси ОХ соответственно для i, j, m узлов,

N_x,i, N_x,j, N_x,m – так называемые функции формы содержат аргументы функции (X и Y) в той же степени что и полином (1) принятый для описания перемещений внутри К.Э. Кусочно-непрерывные функции соответствующих элементов (имеющих общую сторону или грань) удовлетворяют равенствам вида:

U⁽ⁿ⁾_x,i = U^(k)_x,i, где n и k номера соприкасающихся в I-ом узле элементов.

Выражение элементных кусочно-непрерывных функций перемещений через значения перемещений узлов элемента позволяет выразить энергию деформации каждого элемента и внутренние силы, действующие со стороны элемента на каждый его узел через эти перемещения. Складывая эти внутренние силы, действующие на узел со стороны окружающих элементов с внешними силами, получают уравнение равновесия узла. Проделав эту процедуру для всех узлов, получают упомянутую выше систему линейных уравнений относительно значений перемещений (приращений перемещений или скоростей течения) узлов. Систему уравнений равновесия называют основной системой МКЭ. Система решается относительно узловых значений перемещений, или узловых скоростей течения, в зависимости от того, какая из теорий пластичности применяется. Если применяется деформационная теория пластичности, то после расчета узловых перемещений рассчитываются компоненты деформации и новые координаты узлов:

{}_n=[B]_n{U}_{n ,}

где {}_n – матрица столбец компонент деформации _x,_y,_xу,

[B]_n – матрица дифференцирования, получаемая из геометрических соотношений между перемещениями и деформациями, ее компоненты одинаковы для всех материальных точек элемента в случае линейного полинома,

[U]_n – матрица столбец значений перемещений узлов конечного элемента, например, для треугольного конечного элемента (см. рис 1.),

i

m

j

Рис. 1. Перемещения узлов треугольного конечного элемента.

x=x+ u; y=y+ u; z=z+ u.

Заметим, что для линейного полинома (1), значения деформаций для всех материальных точек одного и того же n-го элемента одинаковы.

x=x+ u; y=y+ u; z=z+ u;