2. О безразмерных комбинациях
В
любой задаче на моделирование выбираются
необходимые величины, с помощью которых
можно описать изучаемое явление или
состояние и которые войдут исходными
параметрами в моделируемую систему.
Например, при решении задачи, поставленной
в "Введении", необходимы следующие
параметры
,
которые называются основными. Их можно
разделить на определяющие (
)
и на искомые (
).
Для
того, чтобы решить задачу о выборе
модели, т. е. о нахождении ее параметров
необходимо составить из основных
параметров безразмерные комбинации
или комплексы из этих параметров.
Например, в виде
,
,
,
и т.д. Их сколько угодно. Однако эти
безразмерные комбинации должны быть
независимыми, простейшими и ясными в
понимании. Оказывается, с учетом этих
ограничений число безразмерных комбинаций
(комплексов) вполне определенно и
устанавливается с помощью
-теоремы.
В
качестве самостоятельной работы решите
следующие задачи. Для предлагаемых ниже
перечней основных параметров из
сопротивления материалов составьте
матрицы размерностей и запишите возможные
безразмерные комплексы (безразмерные
и др. входят в состав этих комплексов).
1.
2.
(
- перемещение);
3.
(
- внешний момент).
Под
величиной
понимается характерный размер при
помощи которого могут быть выражены
все остальные линейные размеры, используя
масштаб длин;
- деформация;
- модуль упругости;
- коэффициент Пуассона;
- прогиб балки в середине пролета.
3. -теорема
-теорема
утверждает, что количество независимых
безразмерных комбинаций из всех основных
параметров (определяющих и искомых)
равно разности между числом
этих параметров и рангом матрицы
размерностей
.
.
Доказательство этой теоремы содержится в [1].
Для
технической системы единиц МКГСС
-теорема
записывается в виде
(
- число основных единиц измерения, через
которые выражаются все основные
параметры) [2]. Так, в (1)
,
а именно
и
.
Для
основных параметров упругой задачи
механики
.
Тогда
.
Сначала выпишем безразмерные величины
и
.
Еще остается 3 безразмерные комбинации.
Ими будут
(или наоборот
),
(или
),
(или
).
Пример. Для следующих основных параметров упругой задачи механики найдите значение и составьте безразмерные комплексы из основных параметров в количестве, равном .
Замечание. Случай, когда ранг матрицы меньше числа ее строк (меньше 3-х в системе СИ для предыдущего примера) является особым, и матрица размерностей носит название особенной (сингулярной).
4. Геометрическое подобие
Два геометрических объекта (линий, плоская фигура, тело) геометрически подобны, если один из них может быть размещен внутри другого таким образом, чтобы в результате равномерной деформации они полностью слились [1].
Совпадающие
между собой отдельные геометрические
элементы (точки, линии, поверхности) при
этом называются сходственными. В качестве
примера на рис. 3 приведены геометрически
подобные фигуры
и
.
Для
них
,
где
=
линейный (геометрический) масштаб
подобных фигур.
Рис.3