Теорема Парсеваля

. (1.14)

Применительно к физике теорема выражает, в частности, закон сохранения энергии и вероятности при преобразовании Фурье.

Марк-Антуан Парсеваль (1755–1836) – французский математик. Исследовал дифференциальные уравнения и функции комплексного переменного. Доказал теорему в 1799 г.

Доказательство

Используем (1.1) и (1.2)

,

,

тогда

.

Получаем

= ,

где изменен порядок интегрирований.

Обобщенная теорема Парсеваля

. (1.15)

При и получаем (1.14).

Ортонормированность базиса и его фурье-образа

Если функции и ортонормированные

, (1.16)

то их фурье-образы также ортонормированные

. (1.17)

Доказательство

В (1.14)

полагаем и .

Интегральная теорема

Прямое и обратное преобразования Фурье восстанавливают непрерывную функцию

,

. (1.20)

Доказательство

Используем (1.1) и (1.2)

,

.

Подставляем (1.2) в (1.1)

,

где заменен порядок интегрирований и использованы свойства дельта-функции

,

.

Следовательно, для непрерывной функции операторами тождественного преобразования являются:

, . (1.20а)

Если функция в точке имеет разрыв

,

тогда оператор в точке усредняет функцию

.

Теорема о парах функций

Функция и ее фурье-образ называются «парой функций». Если

,

то выполняется

. (1.21)

Доказательство

Используем (1.1), заменяем аргумент , полученный интеграл сравниваем с интегралом в (1.2)

.

, (1.1)

. (1.2)

Свертка функций

Операция свертки двух функций является интегральным преобразованием и обозначается звездочкой, которая ставится между функциями:

. (1.22)

Равенства в (1.22) получены заменами аргумента в виде

с параметрами

, ;

, ;

, .

При замене использовано

.

Особенность форм в (1.22) – сумма аргументов у двух функций под интегралом равна x.

Физический смысл свертки. Рассмотрим преобразователь сигналов

f₁(t') – входящий сигнал (например, ЭДС) в момент t',

f₂(t) – выходящий сигнал (например, ток) в момент t.

Для линейного и стационарного преобразователя сигналов выполняются:

1) принцип суперпозиции – входящие сигналы для разных моментов времени преобразуются независимо, не влияя друг на друга, поэтому преобразование линейное;

2) принцип причинности – если входящий сигнал включается в момент t', то выходящий сигнал отсутствует при более ранних временах t < t';

3) принцип однородности – реакция преобразователя в момент t на сигнал, поступивший в момент t', не изменяется при сдвиге начала отсчета времени, поэтому реакция зависит от (t – t'). Однородность по времени выполняется для стационарного преобразователя с постоянными параметрами.

Этим принципам удовлетворяет свертка

,

где

– функция Грина – реакция преобразователя на импульсный входящий сигнал;

– функция включения;

– аппаратная функция.

Выходящий сигнал линейного стационарного преобразователя является сверткой входящего сигнала и функции Грина преобразователя.