8. Стратегическая эквивалентность функций полезности. Линейная функция полезности.

9. Логарифмическая функция полезности. Пример.

Полезность – это функция, которая отображает множество состояний на множество действительных чисел Вид и функциональная форма функции полезности говорят очень много, например, об отношении ЛПР к риску.

Поэтому первоначально необходимо установить качественные характеристики функций полезности, отражающие особенности предпочтений ЛПР.

Выразив эти особенности математически, можно аналитически описать ограничения на функцию полезности, которые вытекают из наличия этих особенностей.

Данный подход облегчает построение функции полезности, позволяет осуществлять автоматизацию решений.

9. Экспоненциальная функция полезности. Пример.

.

Предположим, что лотерея описывается плотностью равномерного распределения на отрезке [x1; x2].

Найти ожидаемый выигрыш и детерминированный эквивалент.

Ожидаемый выигрыш равен , а детерминированный эквивалент определяется из уравнения:

Если выигрыши лотереи увеличить на определенную сумму, то и детерминированный эквивалент увеличится на ту же самую сумму. Это является важным свойством экспоненциальной функции полезности.

9. Квадратичная функция полезности. Пример.

Убывающая функция полезности. Пусть u(x)=-x², x>=0. Найти ожидаемые выигрыши и детерминированные эквиваленты для лотерей L1=[0,0.5; 10,0.5] и L2=[10,0.5; 20,0.5] .

Решение: Ожидаемые выигрыши находятся по формуле

Для L1 5, L2 15.

Детерминированный эквивалент находится из уравнения или для

L1: ; ;

L2: ; ;

Это означает, что принимающему решение безразлично получить ли 7,07 наверняка или участвовать в лотерее L1, получить ли 15,8 наверняка или участвовать в L2.

9. Теоремы о несклонности к риску. Надбавка за риск.

Теорема 2. ЛПР не склонен к риску тогда и только тогда, когда его функция полезности вогнута.

Следствие. ЛПР, который предпочитает получение наверняка ожидаемого выигрыша любой лотереи [x1,0.5; x2,0.5] (для любых неравных друг другу x1 и x2) участию в самой лотерее, не склонен к риску.

Теорема 4. При возрастающих функциях полезности ЛПР не склонен к риску тогда и только тогда, когда его детерминированный эквивалент для любой невырожденной лотереи меньше, чем ожидаемый выигрыш в этой лотерее.

Определение. Надбавкой за риск к лотерее называется разность между ее ожидаемым выигрышем и детерминированным эквивалентом:

.

Теорема 5. При возрастающих функциях полезности ЛПР не склонен к риску тогда и только тогда, когда надбавка за риск для него положительна для всех невырожденных лотерей.

Надбавка за риск – это сумма (в единицах измерения критерия X), которую принимающий решение согласен «уступить» из среднего выигрыша за то, чтобы избежать риска, связанного с данной лотереей.