Унифицированные системы стимулирования - Караваев А.П

2

Пропорциональная система оплаты труда . Зарплата пропорционально зависит от объема сделанной работы. Ничего не сделано зарплата нулевая. В настоящее время по такой схеме зачастую оплачивают труд малоквалифицированных сотрудников (и процент увольняющихся при этом большой), например, расклейщики объявлений, продавцы и т.д.

Пропопорциональная система при наличии фиксированной зарплаты.

Как правило, фиксированная зарплата выбирается достаточно маленькой для того, чтобы сотрудники ею не дорожили. В качестве фиксированной части зарплаты может выступать, например, социальный пакет, который предприятие предоставляет своим сотрудникам. Данная система является обобщением пропорциональной системы, отличие состоит в том, что даже при отсутствии результатов труда платят фиксированную сумму, хотя, конечно же, если результатов нет долгое время, то сотрудника увольняют.

Выплаты за стаж работы. На многих предприятиях таким образом поощряются постоянные сотрудники, у которых при этом возникает все меньше и меньше стимулов сменить работу. Выплаты за выслугу лет могут принимать различные формы: например, в крупных консалтинговых фирмах существует целая иерархия, которую надо пройти, чтобы занять достаточно высокий пост. По мере продвижения по этой лестнице меняется соответственно и зарплата. При повышении на несколько ступеней зарплата увеличивается в 2 раза.

Дополнительные поощрения , например, оплата обучения. Это своего рода поощрение, приводящее к тому, что в течение всего срока обучения сотрудник привязан к предприятию поскольку именно оно оплачивает само обучение. Зарплата в процессе самого обучения меняется не сильно, но резкий скачок происходит по окончании, поскольку квалификация значительно повышается, и ценность такого сотрудника повышается.

Соревновательные системы оплаты труда . При данной системе выплаты сотруднику зависят не от того, что он сделал сам, а от того, что он сделал в сравнении с другими сотрудниками.

Целью всех систем оплаты труда является предоставление сотрудникам возможности выбора такого объема выпускаемой продукции (уровня усилий) и оплаты, при которой предприятие получало бы максимально возможную прибыль. Желательно при этом, чтобы возможности "хороших" сотрудников раскрывались полнее, т.е. чтобы они работали больше, и чтобы сотрудники с разными возможностями выбирали бы различные действия.

Главная проблема в вопросе назначения оплаты труда заключается в том, что руководитель предприятия не знает, какую сумму необходимо предложить конкретному сотруднику для того, чтобы он согласился выполнять заданный объем работ. Если бы такое было возможно (определить, за сколько человек согласен работать, и проверить, что он реально сделал), то задача назначения зарплаты решалась бы достаточно легко. Однако в связи с тем, что сделать это невозможно (да было бы и несправедливо одному платить больше, а другому меньше при прочих

3

равных условиях), каждому из сотрудников предлагается большое коли- чество возможных вариантов по выбору оплаты труда и объему сделанной работы. Выбор оплаты труда не всегда происходит явно: сотрудник, например, может самостоятельно решить меньше работать, зная, что за это его могут лишить какой-то части премии.

При этом возможности сотрудника нельзя считать полностью неизвестной величиной: образование, дополнительные курсы, предыдущие успехи в работе, стаж и многое другое позволяют выявить его возможности.

Таким образом, при анализе деятельности предприятия важно уметь, зная возможности всех сотрудников (их производительность, качество работы и т.п.), создать такую систему стимулирования, поощрения, при которой бы прибыль от деятельности всего предприятия была максимальной. В приведенных выше системах стимулирования администрация, изменяя состав сотрудников, корректируя систему стимулирования и выбирая соответствующие параметры самой системы стимулирования, пытается добиться максимальной прибыли.

В работах [2] и [4] подробно рассматриваются активные системы (АС), состоящие из одного центра и одного активного элемента. Показывается, что оптимальным стимулированием в данном случае является так называемая квазикомпенсаторная система стимулирования, а именно, такая система стимулирования, при которой центр будет производить выплаты активному элементу только в том случае, если он выбрал определенное действие, которое требуется центру. При этом значение целевой функции активного элемента равно нулю. Случай нескольких активных элементов (в том числе, непрерывного распределения элементов) рассмотрен в [6], [8], [7], [9]. Показывается, как можно найти оптимальную функцию стимулирования и какие действия при этом будут реализованы. Доказывается, что в непрерывном случае могут возникнуть ситуации, в которых активные элементы различных типов реализуют одинаковые действия. В работе [3] рассмотрены различные ранговые системы стимулирования. Найдена их эффективность. В [10] проведено практической исследование предпочтений рабочих по оплате труда.

Настоящая статья организована следующим образом. Во второй ча- сти строится модель и описывается порядок функционирования системы. В третьей части производится постановка и классификация задач, доказываются теоремы об эквивалентности некоторых систем. В четвертой части рассматриваются персонифицированные системы стимулирования как для дискретного, так и для непрерывного случая. В пятой части исследуются свойства функции стимулирования и функции действия (связь между ними), класс возможных функций стимулирования сужается до непрерывных и монотонно возрастающих функций. В че- твертой части рассматриваются системы с конечным числом активных элементов. Исследуются вопросы синтеза оптимальной системы стимулирования. Находятся необходимые условия для реализации активными элементами различных действий.

5

Обобщая сказанное, порядок функционирования активной системы следующий:

(1)Центр выбирает функции стимулирования;

(2)Активные элементы на основании функций стимулирования выбирают действия;

(3)Производятся выплаты.

Необходимо отметить, что в данной модели предполагается, что все участники АС сообщают друг другу только правду и всегда выполняют свои обещания (по выплатам).

Для дальнейшего изложения введем следующие предположения:

n

A1. X = X1 = X2 = . . . = Xn = R1+, G(x1, . . . , xn) = P xi;

i=1

A2. Функции затрат c(ri, xi) являются всюду дважды дифференцируемыми неотрицательными возрастающими и выпуклыми по xi ôóíê-

циями, i = 1, n;

A3. Функция дохода центра есть всюду дважды дифференцируемая вогнутая функция,

H(0) ≥ 0, H0(0) > 0, H00(x) < 0 x X.

Введем множество M0 неотрицательных всюду определенных на X функций стимулирования:

M0 = {σ(x) : X → [0, +∞)}.

Введем множество M00 полунепрерывных сверху функций стимулирования:

M00 = {σ(x) : X → R : xj X, xj → x,¯ σ(xj) ≥ σ(¯x) σ(xj) → σ(¯x)}

(для многих доказательств просто непрерывность является слишком жестким требованием, которое не позволит доказать многие результаты, в то время как полунепрерывности сверху будет достаточно. К тому же часто используемые квазикомпенсаторные функции стимулирования полунепрерывны сверху).

Будем считать, что класс возможных функций стимулирования ограничен пересечением множеств M0 è M00:

M = M0 ∩ M00,

т.е. центр ничего не забирает у активного элемента (штрафы запрещены), а только может предложить ему стимулирование за выбор действия,

èфункции стимулирования являются полунепрерывными сверху. Предположим также, что для функций затрат выполнены следующие

свойства (см. [6]):

P1. Затраты при выборе нулевого действия равны нулю: c(r, 0) = 0 r R1;

P2. При увеличении выбираемого действия необходимые затраты увеличиваются:

cx(r, x) > 0;

6

P3. При улучшении типа активного элемента (увеличении r) необходимые затраты уменьшаются:

cr(r, x) < 0;

P4. При увеличении действия дополнительные затраты на увеличение действия увеличиваются:

cxx(r, x) > 0;

P5. Дополнительные затраты на реализацию действия уменьшаются при улучшении типа:

crx(r, x) < 0.

Предположения A1-A3 и P1-P5 будем считать выполненными в ходе

всего последующего изложения. Также будем предполагать существование такой точки x0, ÷òî

H(x) − c(r, x) < 0 ïðè x > x0

для любого r из множества возможных типов АЭ. Из этого, в частности, вытекает, что никогда не будет реализовано действие, большее x0.

В силу предположения P1. и условия на класс допустимых систем стимулирования M у каждого из АЭ есть право участия: он всегда может

выбрать нулевое действие, при котором целевая функция будет неотрицательной.

В дальнейшем будем предполагать, что соответствующие множества Argmax непусты, минимумы и максимумы, которые встретятся, дости-

жимы. Эти требования можно обосновать с помощью непрерывности (полунепрерывности сверху) соответствующих функций затрат и доходов и замкнутости множества X.

3.Постановка и классификация задач

Âсоответствии со структурой АС, информированностью центра и порядком выбора АЭ своих действий проведем классификацию систем стимулирования. Во-первых, будем различать АС с одним èëè несколькими (возможно, случайным числом) АЭ. Во-вторых, будем различать детерминированные АС, т.е. те, в которых состав участников и их характеристики фиксированы и известны центру, и АС с вероятностной неопределенностью, т.е. те, в которых состав участников определяется некоторым вероятностным законом. В последних будем различать АС с фиксированным и случайным набором АЭ. В АС с вероятностной неопределенностью в дальнейшем будем считать, что типы АЭ независимы и одинаково распределены по некоторому вероятностному закону

распределения на Ω = [r0, r1].

Дискретными будем называть АС (возможно, с вероятностной неопределенностью), в которых типы АЭ могут иметь только конечное число значений, а непрерывными будем называть АС, в которых типы АЭ имеют на Ω непрерывные функции распределения с ненулевой плот-

ностью (заметим, что этим все возможные ситуации не исчерпываются).

Каждая из рассматриваемых в настоящей работе активных систем описывается четверкой (H(·), I, Ω0, c(r, x)), ãäå

7

H : X → R1+ функция дохода центра; удовлетворяет стандартным условиям;

I множество активных элементов, их число может быть конечно и равно n, или случайно распределено по некоторому вероятностному

закону G(n), или бесконечно; в последнем случае записываем I = [0, 1]; Ω0 Ω известное центру множество типов АЭ: конечное множе-

ство или бесконечное; центр может точно знать тип каждого активного элемента или знать только вероятностоное распределение типов; обозна- чения: (r1, . . . , rn) центр знает тип каждого АЭ при конечном числе элементов n, {ri} центр знает только множество типов при конечном числе элементов; r(i) при бесконечном числе элементов центр знает

тип каждого из активных элементов; {r(i)} при бесконечном числе элементов центр знает бесконечное множество типов АЭ; F (r) при

конечном или бесконечном числе элементов центр знает функцию распределения типов АЭ;

c(r, x) при бесконечном числе элементов и ci(x) = c(ri, x) при беско-

нечном числе элементов функции затрат активных элементов в зависимости от их типа.

Таким образом, мы (при ограничении на возможные сочетания параметров) рассматриваем следующие активные системы (см. табл. 1):

AC1 (H(·), n, (r1, . . . , rn), c(r, x)) Активная система с числом элементов n, центр знает тип каждого АЭ;

AC2 (H(·), n, {ri}, c(r, x)) Активная система с числом элементов n, центр знает множество типов АЭ;

AC3 (H(·), n, F (r), c(r, x)) Активная система с числом элементов n, центр знает функцию распределения типов АЭ;

AC4 (H(·), G(n), F (r), c(r, x)) Активная система со случайным

конечным числом элементов, центр знает функцию распределения типов АЭ;

AC5 (H(·), [0, 1], r(i), c(r, x)) Активная система с бесконечным чи-

слом элементов, центр знает тип каждого АЭ;

AC6 (H(·), [0, 1], {r(i)}, c(r, x)) Активная система с бесконечным

числом элементов, центр знает множество типов АЭ, но не знает, какой тип имеет конкретный АЭ;

AC7 (H(·), [0, 1], F (r), c(r, x)) Активная система с бесконечным

числом элементов, центр знает только функцию распределения типов АЭ.

Таблица 1. Типы рассматриваемых активных систем

8

Заметим, что не может быть непрерывных АС со случайным количе- ством АЭ, поскольку непрерывность предполагает бесконечное множество АЭ (но не конечное, и задача будет выглядеть соответственно).

Лемма 3.1. Активные системы (6) и (7) совпадают. Унифицированной будем называть систему стимулирования, при ко-

торой функция стимулирования одинакова для всех АЭ. При этом выплаты АЭ зависят только от действия, которое этот АЭ реализовал и никак не зависят от его типа, номера и т.д. При заданной системе стимулирования центр не знает типов АЭ (или не хочет использовать свое знание), но может иметь (истинную) информацию о функции распределения типов (или, например, интервальную оценку типов и т.п.).

Персонифицированной будем называть систему стимулирования, при которой центр знает (допустим, после выявления в результате тестов) тип каждого из активных элементов, и в зависимости от типа (или в зависимости от информации о типе) назначает функцию стимулирования. При этом центр должен быть способен выявить информацию о типе АЭ (например, по результатам предыдущей работы АЭ), активному же элементу при этом будет выгодно занижать свой тип, чтобы центр покрывал АЭ большие затраты.

Детерминированные системы с полной информированностью хорошо изучены, например, в [2].

Рассмотрим дискретную активную систему, в которой центр знает

n

P

множество типов. Пусть Q(σ) = σi(yi(σ)) затраты центра на сти-

i=1

мулирование при выбранной им функции стимулирования и при условии рационального выбора активными элементами своих действий yi (т.е. каждый активный элемент выбирает лучшее для себя действие): yi = yi(σ). Напомним, что в при неопределенности (вероятностной) зна- чения yi являются случайными величинами. Задачей центра является максимизация функционала

Заметим, что действия yi выбираются активными элементами в зависимости от σ(·) (и, разумеется, в зависимости от типов), и поэтому можно

считать, что они являются функциями (точнее функционалами) от

σ(·).

Мы здесь явно предположили, что центр не может использовать в своих действиях смешанных стратегий (назначать с некоторыми вероятностями различные системы стимулирования). В пользу этого предположения говорит тот факт, что в реально действующих фирмах не назначают стимулирования "с вероятностью". Это и естественно, поскольку в условиях неприятия активными Элементами риска центр, назна- чая различные стимулирования, вынужден будет оплачивать активным элементам большие суммы (они будут таким образом страховаться от риска, [6]). Однако в пользу смешанных стратегий говорит тот факт, что, назначая их, центр получает большую свободу в выборе стратегий и, как следствие, может получить большую прибыль (большее среднее

9

значение целевой функции). В дальнейшем вопрос о смешанной стратегии поведения центра будет изучен подробнее и будет показано, в каких случаях центр точно будет придерживаться чистых стратегий. Мы же пока ограничимся случаем фиксированной системы стимулирования.

Рассмотрим задачу максимизации целевой функции (2) в случае унифицированной системы стимулирования при конечном числе активных элементов и отсутствии неопределенности:

P

σ:y= yi i=1

и научимся находить функцию S(y), задача (2) сведется к нахождению

минимума функции скалярного аргумента.

Учитывая вышесказанное, задача синтеза оптимальной системы стимулирования выписывается в следующем виде:

При этом основной (наиболее трудоемкой) задачей в (5)-(8) является задача (6)-(8).

Для всех активных систем (1)-(7) будем решать задачу, аналогичную

(6)-(8). Вообще говоря, данный подход не совсем корректен, поскольку, например, в случае с неопределенностью мы должны решать задачу

(для решения которой мы и должны решать (6)-(8)), однако при линейной функции H(·) такой подход справедлив, и именно этим оправдыва-

ется используемая замена задач.

10

Для изменения (6)-(8) (в соответствии с требованием каждой из активных систем 1-7) необходимо заменить знак суммы на математическое ожидание, для учета вероятностной неопределенности необходимо поставить математическое ожидание перед знаком суммы, при полной информированности центра надо заменить унифицированную систему стимулирования на индивидуальные для каждого из активных элементов, для конечного случайного количества активных элементов необходимо усреднять по количеству элементов. Таким образом, для различных АС соответствующие задачи выглядят следующим образом:

Активная система 1 (АС1):