Унифицированные системы стимулирования - Караваев А.П

21

равенство:

(n − i − 1)(c0i+2(xi+1) − c0i+1(xi+1)) − c0i+1(xi+1)

= (n − i)(c0i+1(xi) − c0i(xi)) − c0i(xi).

Предыдущая лемма дает возможность для итеративного определения оптимально реализуемых действий при оптимальной функции стимулирования: зная одно из них, можно найти действия соседних активных элементов и т.д. В частности, зная действие, реализуемое n-м активным

элементом при оптимальной функции стимулирования, можно определить действие, реализуемое n−1-м элементом, далее n−2-м элеметом,

и так дальше до первого активного элемента. Однако хотелось бы избавиться от итеративного механизма, и такую возможность предоставляет следующая

Лемма 6.2. Пусть σ(x) оптимальная в смысле задачи (53)-(55) функция стимулирования, при которой активный элемент типа k реа-

лизует действие xk, è xi−1 < xi i = 2, n. Тогда для любых k, l 1, n справедливо следующее равенство:

(57)(n − i)(c0i+1(xi) − c0i(xi)) − c0i(xi)

=(n − k)(c0k+1(xk) − c0k(xk)) − c0k(xk) = −c0n(xn).

Условие в последней лемме (различие реализуемых активными элементами действий) является существенным для нахождения решения, поскольку решения уравнений (57) не обязательно возрастают при улуч- шении типа АЭ (что является необходимым для решения), и именно поэтому возможна реализация различными активными элементами одинаковых действий, о чем свидетельствует следующий пример.

Пример 6.1. Рассмотрим квадратичные функции затрат c(ri, x) =

ri x2 r1 = 1, r2 = 8/7 è r3 = 2. Ïî-

2 и три активных элемента с типами

скольку r1 < r2 < r3, то функции затрат уже упорядочены нужным

образом. Найдем оптимальную функцию стимулирования для реализации суммарного действия x¯. Пусть xi

реализует i-й активный элемент.

Таким образом, необходимо решить задачу:

22

Решая эту задачу, получаем:

4 x1 = x2 = 13x¯;

5 x3 = x¯ − x1 − x2 = 13x¯.

Таким образом, мы получили, что первый и второй активные элементы при любой оптимальной системе стимулирования и любом суммарном действии реализуют одно и то же действие.

Заметим, что при других типах активных элементов в качестве решения оптимизационной задачи можно было бы получить, что первый активный элемент должен реализовывать большее действие, чем второй, чего не может быть, и, таким образом, при решении подобных задач необходимо учитывать ограничения (59).•

Однако, несмотря на то, что различные активные элементы могут реализовывать одинаковые действия, верны две следующие леммы, говорящие о том, что действие самого лучшего из активных элементов отлично от других и действие самого худшего из активных элементов строго положительно:

Лемма 6.3. Если σ(x) оптимальная функция стимулирования для

задачи (53)-(55) в активной системе из n элементов, и xi действие, реализуемое i-м активным элементом, то xn > xn−1.

Таким же способом, каким доказывается отличие действия, реализуемого при оптимальной системы стимулирования лучшим активным элементом, от действий других элементов (предыдущая лемма) доказывается тот факт, что наихудший активный элемент реализует ненулевое действие.

Лемма 6.4. Если σ(x) оптимальная функция стимулирования в смысле задачи (53)-(55) в активной системе из n элементов, xi äåé- ствие, реализуемое i-м активным элементом, и x¯ > 0, то

x1 > 0.

Интерпретация данных лемм следующая: при наличии любого набора различных активных элементов при оптимальной функции стимулирования все из них будут реализовывать некоторые действия, то есть ни один них при рациональном центре не должен быть исключен из системы. Для того, чтобы полностью использовать возможности наилучшего активного элемента, необходимо сделать так, чтобы его действие отли- чалось от действий других активных элементов.

В общем случае задачу поиска оптимальной системы стимулирования можно записать следующим образом:

23

при выполнении условий

(64)xi = x¯.

i=1

Переписывая задачу максимизации и используя выражение для функции стимулирования, получаем

nn i

XXX

Лагранжиан

Необходимым условием для того, чтобы множество действий {xi}ni=1 было решением задачи (62)-(64), является существование таких констант λ ≥ 0 и µi ≥ 0, ÷òî

ïðè i = 2 . . . n − 2.

Таким образом, если xi таково, что xi−1 < xi < xi+1, то множетели Лагранжа µi−1 = µi = 0 è

(66)(n − i + 1)c0i(xi) − (n − i)c0i+1(xi) = c0n(xn).

Åñëè æå xk−1 < xk = xk+1 = . . . = xl < xl+1, 1 ≤ k < l ≤ n − 1, то константы µk−1 = µl = 0 и, как видно из (65) (обозначая x = xk = . . . =

25

Из условия (68) (учитывая, что x = x1 = x2)

Выражая x3 через x1 (используя формулу (71)),

Таким образом, мы нашли условие на r1 è r2, при котором (как полу- чается из найденного выражения при любом x¯) x1 = x2.

Заметим, что при r1 6= 1 условие выглядело бы следующим образом:

Исследуем вопрос о том, в каких случаях можно гарантировать реализацию активными элементами различных действий. Для этого введем функции x˜k(˜xn) как решения уравнения

(72)(n − k + 1)c0k(˜xk) − (n − k)c0k+1(˜xk) = c0n(˜xn).

Эти функции x˜k(xn) по сути являются решением задачи (62)-(62) если мы не будем учитывать условие (63).

Все важные для нас свойства функций x˜k(˜xn) описываются следующей леммой:

Лемма 6.5. Функции x˜k(˜xn) определены, причем единственным образом, для всех x˜n X, строго возрастают по x˜n, и, кроме того, x˜k(˜xn) > 0 ïðè x˜n > 0.

Следующая лемма носит технический характер и нужна для характеризации ситуаций реализации различными активными элементами различных действий.

Лемма 6.6. Если σ(x) оптимальная функция стимулирования в смысле задачи (53)-(55) в активной системе из n элементов, xi äåé- ствие, реализуемое i-м активным элементом при суммарном действии

x¯ > 0 и оптимальной системе стимулирования, а k < l таковы, что

26

xk−1 < xk = xk+1 = . . . = xl < xl+1 (т.е. элементы с номерами от k до l реализуют одно действие), то

x˜k(xn) ≥ xk ≥ x˜l(xn).

Следующая лемма определяет, в каких случаях можно говорить о том, что различные активных элементы реализуют различные действия, в терминах введенных функций x˜i(xn).

Лемма 6.7. Если при любом xn > 0 и любом i = 1 . . . n − 2 выполня-

åòñÿ x˜i(xn) < x˜i+1(xn), то для любой оптимальной функции стимулирования σ(x) для x¯ > 0 с системой действий {xi } выполняется

x1 < x2 < . . . < xn−1 < xn.

Перейдем теперь к исследованию вопроса об использовании детерминированной функции стимулирования для оптимальной реализации некоторого среднего действия.

Пусть мы используем некоторое количество функций стимулирования σα, причем использование функций стимулирования определяется мерой F (dα), где α некоторая параметризация используемых функций

стимулирования. Обозначим x¯α среднее действие, реализуемое при системе стимулирования σα. Тогда, очевидно, каждая из систем стимулироваия σα является оптимальной для реализации действия x¯α è S(¯xα)наименьшие затраты на реализацию (при детерминированной системе стимулирования) действия x¯α. Предположим, что

Z

x¯αF (dα) = x¯

и функция S(·) строго выпукла. Тогда выполняется (в силу неравенства Иенсена)

ZZ

причем равенство возможно только в том случае, если с единичной вероятностью мы пользуемся только одной функцией стимулирования, т.е. x¯α = const п.в. Следовательно, при выпуклой функции S(·) необходимо

для оптимального результата использовать только одну систему стимулирования. Условия, при которых можно гарантировать строгую выпуклость функции S(·), дает следующая лемма.

Лемма 6.8. Пусть выполнены предположения Леммы 6.7. Тогда

d2S(¯x)

dx¯2

> 0,

то есть функция S(¯x) строго выпукла.

Следующие лемма и теорема дают достаточные условия реализуемости различными активными элементами различных действий в терминах множества функций затрат активных элементов.

Лемма 6.9. Пусть для любого i = 1 . . . n − 2 и для любого x (0, x¯], x¯ > 0, выполняется

c0i(x) − c0i+1(x) > c0i+1(x) − c0i+2(x).

27

Тогда для любого x˜n (0, x¯]

x˜1(˜xn) < x˜2(˜xn) < . . . < x˜n(˜xn); x1(¯x) < x2(¯x) < . . . < xn(¯x);

d2S(¯x)

dx¯2

> 0.

Теорема 6.3. Для выполнения условия

(и, как следствие, Леммы 6.9) достаточно, чтобы существовало такое > 0, что

В данной части была рассмотрена задача синтеза оптимальной унифицированной системы стимулирования (и ее свойства) для детерминированной активной системы с n активными элементами, в которой

центр знает лишь множество типов активных элементов. Были найдены дифференциальные условия на действия, реализуемые активными элементами, при использовании центром оптимальной унифицированной системы стимулирования. Показано, что при любом наборе типов лучший элемент будет реализовывать действие, отличное от действий других активных элементов, и все элементы будут задействованы в системе (т.е. реализуемые ими действия будут отличаться от нулевого). Найдены условия, при которых можно гарантировать реализуемость активными элементами различных действий. Показано, что при некоторых условиях (которые были найдены) центр предпочтет использовать нерандомизированные системы стимулирования.

7. Заключение

Вопросы стимулирования в активных системах с несколькими активными элементами занимают важное место в теории активных систем. Необходимость их исследования вызвана, прежде всего, задачами, которые постоянно встречаются на производстве: как увеличить эффективность работы фирмы, какие действия в оптимальном случае должны выполнять сотрудники, какую систему стимулирования при этом использовать и т.п.

В данной работе исследованы вопросы синтеза оптимальной унифицированной системы стимулирования в детерминированных активных системах. Описаны свойства функции действия и ее связь в функцией стимулирования (во многих случаях результаты верны и для бесконечного числа активных элементов). Показано, как, не изменяя затрат центра на стимулирование и без изменения функции действия, можно заменить функцию стимулирования на абсолютно непрерывную и монотонно возрастающую (единственным образом определяющуюся по функции действия и затратам центра).

Исследованы вопросы синтеза унифицированной системы стимулирования в АС2, состоящей из фиксированного (конечного) числа активных

28

элементов (центр знает множество типов). Найдены условия, связывающие между собой действия различных активных элементов, и исследованы их свойства. Показано, в каких случаях можно гарантировать реализуемость активными элементами различных действий. Исследован вопрос использования центром детерминированной (т.е. всегда только одной) системы стимулирования.

Для активных систем, в которых используются унифицированные системы стимулирования, показана связь между функцией стимулирования и функцией действия. Показано, что без ограничения можно рассматривать только непрерывные монотонно возрастающие функции стимулирования.

Перспективным направлением дальнейших исследований является изучение свойств активной системы со случайным числом активных элементов при неполной информации центра о типах АЭ. Важным представляется исследование вопроса существовании нескольких локальнооптимальных унифицированных систем стимулирования.

8. Приложение

Доказательство леммы 3.2. В силу независимости распределения типов вне зависимости от того, какая из систем используется (персонифицированная при известный типах или унифицированная), центру безразлично, присутствует в системе один активный элемент или несколькопри унифицированной системе стимулирование всех активных элементов будет одинаковым, а при персонифицированной назначаться в зависимости от типов.

Доказательство леммы 3.3. Действительно, в активной системе (2) задача выглядит точно так же, как и в активной системе из одного элемента с вероятностной неопределенностью, где вероятность появления каждого из возможных типов может равна 1/n:

что и требовалось доказать.

Доказательство леммы 4.1. При доказательстве данной леммы будем опускать символ : xi = xi. Кроме того, производные функции за-

трат будем записывать как

Тогда в силу равенства (45)

xi = c0i−1(c0j(xj)),

30

Сложив их, получим:

−c(r1, f(r1)) − c(r2, f(r2)) ≥ −c(r1, f(r2)) − c(r2, f(r1)); c(r1, f(r2)) + c(r2, f(r1)) − c(r1, f(r1)) − c(r2, f(r2)) ≥ 0;

c(r1, f(r2)) − c(r2, f(r2)) + c(r2, f(r1)) − c(r1, f(r1)) ≥ 0;

r2

Z

cr(r, f(r1)) − cr(r, f(r2)) dr ≥ 0.

r1

Но по теореме Лагранжа подынтегральное выражение

cr(r, f(r1)) − cr(r, f(r2)) = crx(r, x )(f(r1)) − f(r2)) < 0,

(ïðè x [f(r2), f(r1)]), поскольку crx(r, x ) < 0 è f(r1) > f(r2). Следовательно, мы пришли к противоречию. Таким образом мы получили, что функция f(r) не может убывать на Ω.

Доказательство теоремы 5.1. Пусть r > r . Поскольку c(r, x) убывающая по первому аргументу функция, то c(r , f(r )) > c(r, f(r ))

и, в силу определения функции f(r) (50), имеем:

σ(f(r)) − c(r, f(r)) ≥ σ(f(r )) − c(r, f(r ))

что и требовалось доказать.