Унифицированные системы стимулирования - Караваев А.П
..pdf
31
Доказательство леммы 5.5. По определению,
σ˜(x) = inf (σ(f(r)) − c(r, f(r)) + c(r, x)).
r Ω
Следовательно, для любого r Ω функция
σ˜(f(r )) = inf (σ(f(r)) − c(r, f(r)) + c(r, f(r )))
r Ω
≤σ(f(r )) − c(r , f(r )) + c(r , f(r )) = σ(f(r )).
Ñдругой стороны, по Лемме 5.4 σ˜(f(r )) ≥ σ(f(r )), что и заканчивает доказательство.
Доказательство леммы 5.6.
Поскольку множество Ω представляет собой отрезок действительной прямой, то для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для любых x1, x2 > 0 : |x1 − x2| < δ, для любого r Ω выполняется
|c(r, x1) − c(r, x2)| < ε,
причем ε можно выбрать как
ε = sup cx(r, x)δ.
r Ω,x [0;a]
Данное определение корректно т.к. для любого конечного a множество
ΩЧ [0; a] компактно и потому супремум конечен. Таким образом,
σ˜(x1) = inf (σ(f(r)) − c(r, f(r)) + c(r, x1))
r Ω
< inf (σ(f(r)) − c(r, f(r)) + c(r, x2) + ε) = σ˜(x2) + ε.
r Ω
Аналогично,
σ˜(x2) = inf (σ(f(r)) − c(r, f(r)) + c(r, x2))
r Ω
< inf (σ(f(r)) − c(r, f(r)) + c(r, x1) + ε) = σ˜(x1) + ε.
r Ω
Следовательно,
|σ˜(x2) − σ˜(x1)| < ε,
и при для любых xji , j = 1, 2, i = 1, l, в силу выбора ε
l |
l |
XX
|σ˜(xi1) − σ˜(xi2)| ≤ |
|xi1 − xi2| |
sup |
cx(r, x) |
||
i=1 |
i=1 |
|
|
r Ω,x [0;a] |
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
Xi |
|xi1 − xi2|, |
||
= |
sup |
cx(r, x) |
|||
|
r Ω,x |
[0;a] |
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
что для равномерной непрерывности и требовалось показать.
Доказательство следствия 5.1. Справедливость следствия сразу следует из леммы.
Доказательство теоремы 5.2. Поскольку по Лемме 5.4 σ˜(x) ≥ σ(x),
òî
(73)max(˜σ(x) − c(r, x)) ≥ max(σ(x) − c(r, x)).
x X |
x X |
32
Докажем обратное неравенство. Действительно, так как
σ˜(x) = inf(σ(f(r)) − c(r, f(r)) + c(r, x)),
r
то выполняются
σ˜(x) ≤ σ(f(r)) − c(r, f(r)) + c(r, x);
σ˜(x) − c(r, x) ≤ σ(f(r)) − c(r, f(r)) = max(σ(x) − c(r, x));
x X
(74)max(˜σ(x) − c(r, x)) ≤ max(σ(x) − c(r, x))
x X |
|
|
|
x X |
|
|
|
|
для любого r. Следовательно, из (73) и (74) получаем, что, |
||||||||
max(˜σ(x) |
− |
c(r, x)) = max(σ(x) |
− |
c(r, x)). |
||||
x X |
|
|
x X |
|
|
|
||
Теперь, поскольку max(˜σ(x) |
− |
c(r, x)) è max(σ(x) |
− |
c(r, x)) совпадают, |
||||
x X |
|
|
x X |
|
|
|
||
и по Лемме 6 σ˜(x) ≥ σ(x), то верна цепочка |
|
|
|
|
||||
f(r) Argmax(σ(x) − c(r, x)) Argmax(˜σ(x) − c(r, x)), |
||||||||
x X |
|
|
|
x X |
|
|
|
|
что и доказывает утверждение леммы.
Доказательство следствия 5.2. Справедливость следствия сразу следует из леммы.
Доказательство леммы 5.7. Возьмем любую последовательность rn такую, что
(75) |
nlim (σ(f(rn)) − c(rn, f(rn)) + c(rn, x)) = σ˜(x) |
|
→∞ |
(это можно сделать в силу определения σ˜(x)). Выберем из этой после-
довательности сходящуюся подпоследовательность (это можно сделать т.к. Ω содержится в компкакте отрезке действительной прямой) и в
дальнейшем будет рассматривать эту новую последовательность. Таким образом можно считать, что существует такое r , ÷òî
lim rn = r .
n→∞
Следовательно, в силу непрерывности c(r, x) по первому аргументу, из (75) имеем:
(76) |
lim |
(σ(f(r |
)) |
− |
c(r |
, f(r |
))) = σ˜(x) |
− |
c(r , x). |
|
|
n |
→∞ |
n |
|
n |
n |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Но в силу определения функции f(r) и следствия из Леммы 5.2
(77)σ˜(f(r )) − c(r , f(r )) ≥ σ˜(x) − c(r , x).
Кроме того,
(78) |
lim |
(σ(f(r |
)) |
− |
c(r |
, f(r |
))) |
lim (σ(f(r )) |
− |
c(r |
, f(r ))) |
|
|
n→∞ |
n |
|
n |
n |
|
≥ n→∞ |
n |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
= σ(f(r )) − c(r , f(r )) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5.2 |
σ˜(f(r )) − c(r , f(r )). |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Ë.= |
||||
Объединяя теперь (76)-(78), получаем:
(79)σ˜(x) − c(r , x) = σ(f(r )) − c(r , f(r )),
т.е. выбранный нами r удовлетворяет утверждению леммы, что и требовалось доказать.
33
Доказательство теоремы 5.3. Рассмотрим две различных функции fi(r), i = 1, 2, которые приводят к различным функциям
(80) |
min(σ(f |
(r)) |
− |
c(r, f |
(r)) + c(r, x)) |
|||
|
σ˜i(x) ≡ r |
|
Ω |
i |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и пусть σ˜1(x) è σ˜2(x) различаются, т.е. существует x такое, что
σ˜1(x ) > σ˜2(x ).
Пусть соответствующие минимумы достигаются в точках r1 è r2 ñî- ответственно, т.е.
(81)σ(f1(r1)) − c(r1, f1(r1)) + c(r1, x ) = σ˜1(x )
>σ˜2(x ) = σ(f2(r2)) − c(r2, f2(r2)) + c(r2, x ).
Âсилу (80) и определения r1 должно выполняться
(82)σ(f1(r2)) − c(r2, f1(r2)) + c(r2, x ) ≥ σ˜1(x )
=σ(f1(r1)) − c(r1, f1(r1)) + c(r1, x ).
Объединяя (81) и (82), получаем:
(83) |
σ(f1(r2)) − c(r2, f1(r2)) > σ(f2(r2)) − c(r2, f2(r2)). |
Однако в силу определения
f2(r2) Argmax(σ(x) − c(r2, x)),
x X
и, следовательно, должно выполняться
σ(f(r2)) − c(r2, f(r2)) ≥ σ(f(r1)) − c(r2, f(r1)),
что, однако, противоречит (83), следовательно наше предположение о том, что σ˜1(x) è σ˜2(x) различаются, неверно, что и доказывает утверждение леммы.
Доказательство леммы 5.8. В силу определения функции f(r) и леммы 5.5 (σ(f(r)) = σ˜(f(r))) имеем:
(84)σ˜(f(r1)) − c(r1, f(r1)) ≥ σ˜(x2) − c(r1, x2);
(85)σ˜(f(r2)) − c(r2, f(r2)) ≥ σ˜(x1) − c(r2, x1).
Складывая (84) и (85) с (52) при i = 1, 2 и упрощая полученное неравенство, получаем:
(86)c(r1, x2) + c(r2, x1) ≥ c(r1, x1) + c(r2, x2);
|
x2 |
r2 |
|
(87) |
Z Z |
crx(r, x) dr dx ≤ 0. |
|
|
x1 |
r1 |
|
Но, поскольку crx(r, x) < 0 è x1 < x2, последнее неравенство может выполняться только при r2 ≥ r1
что и требовалось доказать. Доказательство леммы 5.9. Поскольку Φ(·) неубывающий опе-
ратор, то
σ˜(x) = inf (σ(f(r)) − c(r, f(r)) + c(r, x))
r Ω
= inf (ˆσ(f(r)) − c(r, f(r)) + c(r, x)) = Φ(ˆσ)(x) ≥ σˆ(x),
r Ω
34
что и требовалось доказать.
Доказательство теоремы 5.4. По определению fi(r) любая функция такая, что
(88) |
fi(r) Argmax(σ(x) − c(r, x)). |
|
x X |
Следовательно, для любого множества B Ω функция
f2 |
(r), |
r / B |
f(r) = f1 |
(r), |
r B; |
тоже является функцией действия и удовлетворяет (88), т.е. для нее выполнена Лемма 5.2, говорящая о том, что функция действия не убывает на Ω.
Возьмем любое r Ω и множество B = [r , ∞). Пусть последователь-
ность rn удовлетворяет условиям rn < r è lim rn = r . Тогда в силу
n→∞
определения функции f(r)
f2(r −) = lim f2(rn) = lim f(rn) ≤ f(r ) = f1(r ).
n→∞ n→∞
Аналогично показывается, что f2(r +) ≥ f1(r ). Таким образом мы получаем двойное неравенство
f2(r +) ≥ f1(r ) ≥ f2(r −).
Такое же неравенство верно и при перемене f1(r) íà f2(r): f1(r +) ≥ f2(r ) ≥ f1(r −).
Следовательно функции f1(r) è f2(r) совпадают во всех своих точках непрерывности и отличаются только в точках разрыва.
Заметим, что поскольку функции fi(r) не убывают, то они разрывны не более, чем в счетном числе точек, следовательно обе функции fi(r), i = 0, 1, однозначно определены почти всюду на Ω.
Доказательство леммы 5.10. Предположим, что x удовлетворяет условию леммы: x [f(ˆr−), f(ˆr+)]. Возьмем любое r < rˆ. Поскольку по Лемме 5.2 функция f(r) является неубывающей, то f(r) ≤ f(ˆr−) ≤ x, и т.к. cx(r, x) убывает по r, выполнено
|
x |
|
c(ˆr, x) − c(ˆr, f(r)) = |
Z |
cx(ˆr, y) dy |
f(r)
x
Z
<cx(r, y) dy = c(r, x) − c(r, f(r)).
f(r)
Следовательно, верна цепочка неравенств
(89)σ(f(ˆr)) − c(ˆr, f(ˆr)) + c(ˆr, x) ≤ σ(f(r)) − c(ˆr, f(r)) + c(ˆr, x)
<σ(f(r)) − c(r, f(r)) + c(r, x).
Аналогично можно показать, что r > rˆ также выполняется цепочка неравенств (89), т.е. (89) верно для любого r.
35
Следовательно, справедливо
σ˜(x) = inf (σ(f(r))) − c(r, f(r)) + c(r, x)
r Ω
=σ(f(ˆr)) − c(ˆr, f(ˆr)) + c(ˆr, x),
что и требовалось доказать. Доказательство теоремы 6.1. Доказательство смотри в [3], [5].
Доказательство леммы 6.1. Пусть σ(x) оптимальная функция стимулирования, причем xk есть действие, реализуемое k-м активным элементом, а σ˜(x) наилучшая в смысле затрат функция стимулирования, при которой k-й активный элемент реализует действие x˜k, ãäå
|
|
|
|
|
xk, |
k 6= i, i + 1; |
|
(90) |
x˜k = |
|
xk − |
, |
k = i; |
|
|
|
|
|
|
xk + |
, |
k = i + 1 |
|
при малых значениях |
|
|
|
|
по условию леммы |
||
|
|
(заметим, что при малых |
|
||||
xk è x˜k упорядочены одинаковым образом).
В силу того, что σ(·) оптимальна, должно выполняться равенство
(91) |
lim0 |
1 |
n |
σ(xk) − |
n |
σ˜(˜xk)! = 0 |
|
Xk |
X |
||||
|
→ |
|
=1 |
|
k=1 |
|
(если бы не было равенства нулю, то было бы возможно улучшение σ(x),
которая, однако, была выбрана оптимальной). Но, используя (56) и (90), имеем:
|
|
|
σ˜(˜xi) = σ(xi) − (ci(xi) − ci(xi − Δ)); |
|
|
|
|
||||||
|
|
σ˜(˜xi+1) = σ(xi) − (ci(xi) − ci(xi − Δ))+ |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
+ ci+1(xi+1 + Δ) − ci+1(xi − Δ); |
|
|
||||||
|
|
|
σ˜(˜xk) = σ(xk) |
|
ïðè k ≤ i − 1; |
|
|
|
|
||||
ãäå |
|
|
σ˜(˜xk) = σ(xk) − δ ïðè k > i + 1, |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i+1 |
|
|
|
|
||
δ = σ(xi+1) + ci+2(xi+1 + Δ) − ci+2(xi+1) − |
|
|
|
|
|||||||||
− |
|
− |
(ci(xi) |
− |
ci(xi |
− |
Δ)) + c |
|
(x +1 + Δ) |
− |
ci+1(xi |
− |
|
|
σ(xi) |
|
|
|
|
|
|
Δ) . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
36 |
Таким образом, |
|
σ˜(˜xk)! |
|||||||
lim0 |
1 |
|
|
n |
σ(xk) − n |
||||
|
|
=1 |
|||||||
→ |
|
|
|
=1 |
|
|
|||
|
|
|
Xk |
|
Xk |
|
|
||
= lim0 |
1 |
|
n |
σ(xk) − (i−1 |
σ(xk) + {σ(xi) − (ci(xi) − ci(xi − Δ))} |
||||
|
|
|
=1 |
||||||
|
→ |
|
|
|
|
k=1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
Xk |
|
X |
|
− (ci(xi) − ci(xi − Δ)) + ci+1(xi+1 + Δ) − ci+1(xi − Δ)}
)!
+(σ(xk) − δ)
ci+1(xi+1) − ci+1(xi) + (ci(xi) − ci(xi − Δ))
+((ci(xi) − ci(xi − Δ)) − ci+1(xi+1 + Δ) + ci+1(xi − Δ))
+(n − i − 1)(ci+1(xi+1) − ci+1(xi) + ci+2(xi+1 + Δ) − ci+2(xi+1)
−(−(ci(xi) − ci(xi − Δ)) + ci+1(xi+1 + Δ) − ci+1(xi − Δ))
=(n − i − 1)(c0i+2(xi+1) − c0i+1(xi+1)) − c0i+1(xi+1)
−(n − i − 1)(c0i+1(xi) − c0i(xi)) − c0i+1(xi) + 2c0i(xi)
и, учитывая (91), получаем:
(n − i − 1)(c0i+2(xi+1) − c0i+1(xi+1)) − c0i+1(xi+1)
= (n − i)(c0i+1(xi) − c0i(xi)) − c0i(xi),
что и требовалось доказать.
Доказательство леммы 6.2. Данная лемма является следствием многократного применения Леммы 6.1.
Доказательство леммы 6.3. Предположим противное, т.е. что су-
ществует такое l |
≥ |
1, ÷òî x |
< x |
= x |
|
|
|
= . . . = x |
(как всегда, |
||
|
|
n−l−1 |
|
n−l |
n−l+1 |
n |
|
||||
предполагаем x0 = 0). Возьмем такое малое |
|
> 0, ÷òî xn−l − > xn−l−1 |
|||||||||
и определим |
|
|
x |
|
|
|
|
l; |
|
|
|
|
xi0 = |
ïðè i < n |
|
|
|
|
|||||
|
xi − |
|
ïðè n − l ≤ i < n; |
|
|||||||
|
|
|
i |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
xi + l |
|
ïðè i = n. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В силу построения выполняется равенство
nn
Xi |
X |
x = |
xi0, |
i |
|
=1 |
i=1 |
т.е. обе системы стимулирования реализуют одно и то же суммарное (и среднее) действие.
Пусть σ˜(x) функция стимулирования, построенная по формуле (56) для системы {x0i}ni=1. Тогда в силу построения
σ˜(x0) = |
|
σ(x ) |
ïðè i < n l; |
|||
|
σ(xn) − δ |
ïðè n − l ≤ i < n; |
||||
i |
|
|
i |
|
− |
|
σ(xn) δ + (cn(xn + lΔ) |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
− |
ïðè |
i = n, |
|
|
|
cn(xn − Δ)) |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
37
ãäå δ = (cn−l(xn) −cn−l(xn −Δ)). Мы здесь явно использовали тот факт, что xn−l = xn−l+1 = . . . = xn.
Расписывая разность между суммарными затратами на выше определенных системах стимулирования, получаем
nn
Xi |
σ(x ) |
X |
σ˜(x0 )(l + 1)δ |
|
|
(c |
|
(x + lΔ) |
|
|
|
(x |
Δ)) = |
|
||||||||||||
|
i |
− |
|
|
|
n |
|
|
|
− |
n |
|
n |
|
|
|
− |
n |
i − |
|
|
|
|
|||
=1 |
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= (l + 1)(c |
n−l |
(x ) |
− |
c |
n−l |
(x |
|
|
Δ)) |
− |
(c |
|
(x + lΔ) |
− |
c |
(x |
Δ)) |
||||||||
|
|
|
n |
|
|
n − |
|
|
n |
|
n |
|
n |
n − |
|
|||||||||||
|
= (l + 1)c0 |
|
|
(x )Δ + o(Δ) |
− |
((l + 1)c0 |
(x )Δ + o(Δ)) |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
n−l |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|||
|
= (l + 1)(cn0 |
−l(xn) − cn0 (xn))Δ + o(Δ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Но, поскольку по условию на функции затрат c0n−l(xn) > c0n(xn), при достаточно малых значениях будет выполняться
n |
n |
σ˜(xi0), |
Xσ(x ) > X |
||
|
i |
|
i=1 |
i=1 |
|
то есть нам удалось уменьшить суммарное стимулирования при неизменном суммарном действии, чего не может быть в связи с оптимальностью функции σ(x).
Доказательство леммы 6.4. Предположим противное, т.е. что су-
ществует такое l |
≥ |
1, ÷òî 0 = x |
= x |
= . . . = x < x |
. Возьмем малое |
||
|
|
1 |
2 |
n |
l l+1 |
|
|
> 0 и определим систему действий {xi}i=1: |
|
|
|||||
|
|
xi0 = xl+1 |
|
l |
ïðè i = l + 1; |
|
|
|
|
|
− xi |
ïðè i ≤ l; |
|
||
|
|
ïðè i > l + 1. |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
В силу построения выполняется равенство
n |
n |
|
X |
Xi |
xi0, |
(92) |
x = |
|
|
i |
|
i=1 |
=1 |
|
т.е. обе системы стимулирования реализуют одно и то же суммарное (и среднее) действие.
Пусть σ˜(x) функция стимулирования, построенная по формуле (56)
для системы {x0i}ni=1. Тогда в силу построения
|
|
σ(x ) + c1(Δ) |
|
σ˜(x0) = |
σ(xi ) + cl+1(xl+1 − lΔ)−i |
||
i |
|
cl+1(Δ) + c1(Δ) cl+1(xl+1) |
|
|
|
|
|
|
|
− |
σ(xi ) + δ |
|
|
|
|
|
|
|
|
ãäå
ïðè i ≤ l;
ïðè i = l + 1;
ïðè i > l + 1,
δ= cl+2(xl+1) − cl+2(xl+1 − lΔ) + cl+1(xl+1 − lΔ) − cl+1(Δ)
+c1(Δ) − cl+1(xl+1) = lΔ(c0l+l(xl+1) − c0l+2(xl+1)) + o(Δ)
38
Расписывая разность между суммарными затратами на выше определенных системах стимулирования, получаем
nn
X |
|
|
Xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ(x ) − σ˜(xn0 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
− |
(c |
|
(x |
− |
lΔ) |
− |
c |
|
(x |
|
)) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
l+1 |
|
l+1 |
|
l+1 |
|
l+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
− |
(n |
− |
l + 1)lΔ(c0 |
|
(x |
|
) |
|
c0 |
|
(x |
)) + o(Δ) |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
l+2 |
l+1 |
|
− l+l |
|
l+1 |
|
|
|
|
|||||||
= l |
c0 |
(x |
) + (n |
− |
l + 1)lΔ(c0 |
(x |
) |
c0 |
(x |
|
)) + o(Δ). |
|||||||||||
|
|
l+1 |
|
l+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
l+l |
|
l+1 |
− l+2 |
l+1 |
|
||||
Но, поскольку по условию на функции затрат cl0+1(xl+1) > cl0 |
+2(xl+1) > 0, |
|||||||||||||||||||||
при достаточно малых значениях |
|
будет выполняться |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
σ˜(xi0), |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
σ(x ) > |
i=1 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
Xi |
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
то есть нам удалось уменьшить суммарное стимулирования при неизменном суммарном действии, чего не может быть в связи с оптимальностью функции σ(x).
Доказательство леммы 6.5. Прежде всего покажем, что решение уравнения 72 единственно. Действительно, переписав его в эквивалентном виде
(93)c0k(˜xk) + (n − k)(c0k(˜xk) − c0k+1(˜xk)) = c0n(˜xn),
можно заметит, что оба слагаемых в левой части строго возрастают ïî x˜k. Кроме того, решение обязательно существует, поскольку при x˜k = 0 левая часть уравнения (93) равна нулю (меньше правой части), а при x˜k = x˜n > 0 левая часть уравнения (93)
c0k(˜xn) + (n − k)(c0k(˜xn) − c0k+1(˜xn)) > c0k(˜xn) > c0n(˜xn),
(больше правой части), следовательно в силу непрерывности обязатель- но существует x˜k, удовлетворяющее (72).
Ïðè x˜n > 0 правая часть уравнения 72 больше нуля, а левая часть может быть не равна нулю только тогда, когда x˜k(˜xn) 6= 0, что и завершает доказательство всех утверждений леммы.
Доказательство леммы 6.6. В силу неравенства (69) должно выполняться (при p = k)
(n − k + 1)c0k(xk) − (n − k)c0k+1(xk) ≤ c0n(xn).
Но, поскольку
(94)(n − k + 1)c0k(˜xk) − (n − k)c0k+1(˜xk) ≤ c0n(xn),
и левая часть (94) возрастает по x˜k, òî x˜k(xn) ≥ xk. Аналогично дока- зывается и второе неравенство xk ≥ x˜l(xn).
Доказательство леммы 6.7. Действительно, если бы для некоторо- го i выполнялось xi ≥ xi+1, то тогда в силу Леммы 6.6 существовали бы k < l такие, что x˜k(xn) > x˜l(xn), что, однако, противоречит предполо-
жению Леммы об упорядочении x˜i(xn) ïî i.
Доказательство леммы 6.8. Поскольку по Лемме 6.7 для любого x¯ > 0 все значения xi различны, то (в силу определения функций x˜(·) è
равенства (66))
xi = x˜i(xn).
|
|
|
39 |
Поскольку x˜i(xn) возрастают по xn, è |
n |
= x,¯ òî xi |
|
xi |
возрастает |
||
x¯ |
P |
n |
|
|
i=1 |
|
|
вместе с , а, следовательно, возрастает по x¯ и значение x . Исходя из задачи Лагранжа цена увеличения x¯ (выраженная в увеличении функ-
öèè |
S |
(¯x)) åñòü c0 (x ), òî åñòü |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
n |
|
n |
|
|
dS(¯x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= cn0 (xn). |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
dx¯ |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Но, поскольку |
dxn |
> 0, òî |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
dx¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d2S(¯x) |
= |
|
dcn0 (xn) |
= c00 |
(x ) |
dxn |
> 0, |
||
|
|
|
|
dx¯2 |
|
|
dx¯ |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
dx¯ |
|
n |
n |
|
|||
что и завершает доказательство.
Доказательство леммы 6.9. Заметим, что справедлива следующая цепочка:
c0 |
|
def |
|
|
|
k + 1)c0 (˜x |
|
) |
|
(n |
|
|
k)c0 |
|
(˜x ) |
|
|
|
|
||||||||||
(x ) = (n |
− |
|
− |
− |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
n |
n |
|
|
|
k |
k |
|
|
|
|
|
|
k+1 |
|
|
k |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
= (n |
− |
k)(c0 |
(˜x |
) |
− |
c0 |
|
|
(˜x |
)) + c0 |
(˜x |
) |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
k |
k |
|
|
|
k+1 |
|
|
k |
|
|
k |
|
k |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
> (n |
− |
(k + 1))(c0 |
|
|
(˜x |
|
) |
− |
c0 |
|
|
|
(˜x |
)) + c0 |
(˜x |
) |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
k+1 |
|
k |
|
|
(k+1)+1 |
|
k |
k+1 |
k |
|
|
|
||||||||||
|
|
= (n |
− |
(k + 1) + 1)c0 |
|
(˜x ) |
− |
(n |
− |
|
(k + 1))c0 |
|
|
(˜x |
), |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k+1 |
|
|
k |
|
|
|
|
|
(k+1)+1 |
k |
|
|||||||||
òî åñòü
(95)c0n(xn) > (n − (k + 1) + 1)c0k+1(˜xk) − (n − (k + 1))c0(k+1)+1(˜xk)).
Правая часть уравнения (95) возрастает по x˜k, è ïðè x˜k = x˜k+1 íåðà- венство должно стать равенством, следовательно x˜k < x˜k+1 при любом допустимом k. Но тогда выполняются условия Лемм 6.7 и 6.8, которые утверждают требуемое.
Доказательство теоремы 6.3. По Теореме Лагранжа существуют такие функции ξi(x) [ri, ri+1], ÷òî
c0i(x) − c0i+1(x) = crx(ξi(x), x).
Но тогда существует такая функция ηi(x) [ξi(x), ξi+1(x)], ÷òî
(c0i(x) − c0i+1(x)) − (c0i+1(x) − c0i+2(x))
=Δ(crx(ξi(x), x) − crx(ξi+1(x), x))
=crrx(ηi(x), x)(ξi(x) − ξi+1(x)),
причем последнее выражение меньше нуля поскольку ξi(x) < ξi+1(x) è crrx < 0, что и требовалось доказать.
Список литературы
1.Morton I.Kamien and Nancy L.Schwartz. Dynamic optimization: the calculus of variations and optimal control in economics and management. (Advanced textbook in economics; v.31) Elsevier Science Publishers B.V., 1991.
2.Бурков В.Н., Кондратьев В.В. Механизмы функционирования организационных систем. М.: Наука, 1981.
3.Бурков В.Н., Гуреев А.Б., Новиков Д.А., Цветков А.В. Эффективность ранговых систем стимулирования. // АиТ. 2000. N 8. С. 115-125.
4.Новиков Д.А., Петраков С.Н. Курс теории активных систем. М.: "СИНТЕГ". 1999.
40
5.Korgin N.A. Incentive Problems and Exchange Schemes // Automation and Remote Control. N 10(62). 2001. pp. 1763-1679.
6.Bernard Salanie. The Economics of Contracts: A Primer. The MIT Press. 2000.
7.Hart, Oliver and Bengt Holmstrom. The Theory of Contracts. In Advances in Economic Theory, Fifth World Congress, ed. by Truman Bewley. Cambridge University Press, 1987. pp. ???
8.Andreu Mas-Colell, Michael Whinston, and Jerry R. Green. Microeconomic Theory. Oxford University Press. 1995.
9.Новиков Д.А., Цветков А.Н. Механизмы стимулирования в многоэлементных системах. М.: Апостроф, 2000.
10.Баркалов С.А., Новиков Д.А., Попов С.С. Индивидуальные стратегии предпо- чтения труда: теория и практика. М.: ИПУ РАН, 2002.