Теория экономического анализа - Баканов М.И., Шеремет А.Д

Таким образом, максимальная стоимость грузаf4( 10) равна 69 денежным единицам, при этом предметы 4-го типа загру­ жать не следует, так как /4(Щ — 69 достигается при х4 = О (табл. 6.7).

Таблица 6.9

flW) = max[x3 • 13 +f2(W— x3 • 2)];

0 ^Л з^[т]; ; с з = 0'1'2'3'4'5-

170

Предметы остальных типов распределяются следующим образом:

хг = 1, так как/3(10) = 69 достигается при хъ = 1 (табл. 6.9), следовательно, вес этого предмета равен 2 единицам груза, поэтому остальные предметы можно загрузить лишь в пре­ делах веса, равного 8 (10 — 2) единицам груза;

/2(8) = 56 достигается при х2 = 0 (табл. 7.8), следовательно, предметы 2-го типа брать не следует.

И наконец, /,(8) = 56 достигается при хх = 2 (табл. 6.7), следовательно, предметов 1-го типа следует взять два.

В итоге наилучший вариант загрузки транспортного сред­ ства достигается при значениях х, = 2; х2 = 0; х3 = 1; х4 = 0 (берутся два предмета 1-го типа и один предмет 3-го типа).

6.5. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ИГР

и правил игры, выявления возможных стратегий игроков, воз­ можных выигрышей (отрицательный выигрыш понимается как проигрыш). Важным элементом в условии задач является

171

стратегия, т.е. совокупность правил, которые в зависимости от ситуации в игре определяют однозначный выбор данного игрока. Количество стратегий у каждого игрока может быть конечным и бесконечным, отсюда и игры подразделяются на конечные и бесконечные. При исследовании конечной игры задаются матрицы выигрышей, а бесконечной — функции выигрышей. Для решения задач применяются алгебраические методы, основанные на системе линейных уравнений и нера­ венств, итерационные методы, а также сведение задачи к не­ которой системе дифференциальных уравнений.

На промышленных предприятиях теория игр может ис­ пользоваться для выбора оптимальных решений, например при создании рациональных запасов сырья, материалов, по­ луфабрикатов, в вопросах качества продукции и других эко­ номических ситуациях. В первом случае противоборствуют две тенденции: увеличения запасов, в том числе и страховых, гарантирующих бесперебойную работу производства; сокра­ щения запасов, обеспечивающих минимизацию затрат на их хранение; во втором — стремления к выпуску большего коли­ чества продукции, ведущего к снижению трудовых затрат; к повышению качества, сопровождающемуся часто уменьше­ нием количества изделий и, следовательно, возрастанием тру­ довых затрат. В машиностроительном производстве проти­ воборствующими направлениями являются стремление к ма­ ксимальной экономии металла в конструкциях, с одной сто­ роны, и обеспечение необходимой прочности конструкций —

сдругой.

Всельском хозяйстве теория игр может применяться при решении экономических задач, в которых оппозиционной си­ лой выступает природа, и когда вероятность наступления тех или иных событий многовариантна или неизвестна.

Природные условия нередко сказываются и на эффектив­ ности работы промышленных предприятий.

Возьмем для примера швейную фабрику, выпускающую детские платья и костюмы, сбыт которых зависит от состояния погоды (предприятие реализует свою продукцию, допустим, через фирменный магазин).

Затраты фабрики в течение апреля — мая на единицу продукции составили: платья — 8 денежных единиц, костюмы

— 27, а цена реализации равняется соответственно 16 и 48. По данным наблюдений за прошлое время, фабрика может ре­ ализовать в течение этих месяцев в условиях теплой погоды 600 костюмов и 1975 платьев, а при прохладной погоде — 625 платьев и 1000 костюмов.

172

Задача заключается в максимизации средней величины до­ хода от реализации выпущенной продукции, учитывая кап­ ризы погоды. Фабрика располагает в этих ситуациях двумя следующими стратегиями: в расчете на теплую погоду (стра­ тегия А); в расчете на холодную погоду (стратегия В).

Если предприятие примет стратегию А, т.е. продукция, соответствующая теплой погоде (стратегия природы — С), будет полностью реализована, то доход фабрики в этой ситу­ ации составит:

600(48 — 27) + 1975(16 — 8) = 28400.

Если продажа осуществляется в условиях прохладной пого­ ды (стратегия природы — Д), то костюмы будут проданы полностью, а платья только в количестве 625 шт. Доход предприятия в данном случае составит:

600(48 — 27) + 625(16 —8) —(1975 —625)-8 = 6800.

Аналогично определим доход предприятия в случае приме­ нения им стратегии В. Для условий теплой погоды доход фабрики опеределится в сумме:

600(48 — 27) + 625(16—8) —(1000—600) 27 = 6800.

Применение той же стратегии, но в условиях холодной погоды приведет к другим результатам:

1000(48 — 27) + 625(16 — 8) = 26000.

Рассматривая предприятие (Р,) и природу (Р2) в качестве двух игроков, получим так называемую платежную матрицу следующего вида (табл. 6.11)

Таблица 6.11

173

Из платежной матрицы видно, что игрок Рх (предприятие) никогда не получит дохода меньше 6800. Но если погодные условия совпадут с выбранной стратегией, то выручка (выиг­ рыш) предприятия будет составлять 26000 или 28400. Если игрок Рх будет постоянно применять стратегию А, а игрок Р2

— стратегию Д, то выигрыш снизится до 6800. То же самое произойдет, если игрок /*, будет постоянно применять страте­ гию В, а игрок Р2 — стратегию С. Отсюда вывод, что наиболь­ ший доход предприятие обеспечит, если будет попеременно применять то стратегию А, то стратегию В. Такая стратегия называется смешанной, а ее элементы (А и В) — чистыми стратегиями.

Оптимизация смешанной стратегии позволит игроку Р, всегда получать среднее значение выигрыша независимо от стратегии игрока Р2. Для иллюстрации этого продолжим нача­ тый пример.

Обозначим частоту применения игроком Рх стратегии А че­ рез х, тогда частота применения им стратегии В будет равна ( 1 - х ) .

Если игрок Р, применяет оптимальную смешанную страте­ гию, то и при стратегии С (теплая погода), и при стратегии Д (холодная погода) игрока Р2 он должен получить одина­ ковый средний доход:

28400* + 6800(1 —х) = 6800х + 26000(1 —х); 28400Х — 6800х—6800х + 26000х = 26000—6800; 40800х = 19200;

Действительно, при стратегии С игрока Р2 средний доход предприятия составит:

28400 — + 6800 — = ^-(227200 + 61 200) = —-288400»

«16965;

при стратегии Д игрока Р2 средний доход предприятия со­ ставит:

6 8 0 0 — + 26000— = —(54400 + 234000) = — 288400»

«16965.

174

Следовательно, игрок Pv применяя чистые стратегии А и В, в соотношении 8:9, будет иметь оптимальную смешанную стратегию, обеспечивающую ему в любом случае средний доход в сумме 16965, т.е. средний платеж, равный 16965 единицам.

Средний платеж, который получается при реализации оп­ тимальной стратегии, называется ценой игры.

В заключение определим, какое количество платьев и ко­ стюмов предприятие должно выпускать для максимизации

8

тьев + 9000 костюмов + 5625 платьев) = —(13 800 костю-

17

мов + 21425 платьев) = 812 костюмов + 1260 платьев. Значит, оптимальная стратегия предприятия означает вы­

пуск 812 костюмов и 1260 платьев; тогда при любой погоде оно получит средний доход в сумме 16965.

6.6. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

Теория массового обслуживания впервые применялась в те­ лефонии, а затем и в других областях хозяйственной деятель­ ности.

Например, организация нормального процесса обслужива­ ния покупателей связана с правильным определением следу­ ющих показателей: количества предприятий данного торгового профиля, численности продавцов в них (в том числе и «механи­ ческих»), наличия соответствующих основных фондов, частоты завоза товаров, численности обслуживаемого населения, плот­ ности обращаемости и потребности в соответствующих товарах (по групповому и внутригругаювому ассортименту). Если пред­ положить, что предприятие располагает необходимыми основ­ ными фондами, торгует товарами, имеющимися в достаточном количестве (при нормальной частоте завоза), то и тогда в про­ цессе обслуживания остаются такие переменные величины, ко­ торые могут существенно повлиять на качество обслуживания. Надлежит, следовательно, выбрать такой оптимальный вари­ ант организации торгового обслуживания населения, при кото­ ром время обслуживания будет минимальным, качество — вы­ соким, не будет излишних народнохозяйственных затрат. Мате­ матический аппарат теории массового обслуживания облегчает

175

решение этой задачи. При этом различают две формы об­ служивания: с неявными потерями и с явными потерями.

Систему массового обслуживания с неявными потерями (правило очередей) можно показать на примере обслуживания рабочих необходимым инструментом (из обособленных кладо­ вых промышленного предприятия).

Допустим, что в инструментальной кладовой работают два кладовщика. Требуется определить, в какой мере они своевре­ менно обеспечивают заявки на обслуживание, поступающие от рабочих; не обходятся ли простои рабочих в очереди за инст­ рументом дороже, чем дополнительное содержание еще одно­ го или двух кладовщиков?

Таблица 6.12 Расчет полного числа приходов рабочих в кладовую

Для решения данной задачи необходимы прежде всего хронометражные замеры о потоке требований на обслуживание в единицу времени. Если хронометраж осуществлялся в тече­ ние 10 дней каждые 15 мин за смену (кроме начала и конца рабочего дня), то за этот отрезок времени было произведено 300 наблюдений (30 наблюдений, умноженное на 10). Время

176

наблюдений (7) составит 4500 мин (15 300). Причем таких промежутков, когда на склад никто не приходил или приходил только один рабочий, не наблюдалось, приход двух рабочих отмечался один раз, трех — три раза и т.д. (табл. 6.12).

Частота прихода двух рабочих при 300 наблюдениях равна 0,33 i~•"»),трех— 1 (-^5"10°) и т.д.

Для определения среднего числа приходов в единицу време­ ни (X) исчисляется полное число приходов (N) как сумма произведений числа приходов (количества пришедших в кладо­ вую рабочих) на наблюдаемое число приходов.

Таким образом, среднее число требований на обслужива­ ние, т.е. среднее число приходов в единицу времени (X), со­ ставит

Чтобы определить распределение вероятностей для длите­ льности обслуживания при предположении, что закон распре­ деления экспоненциальный', вычислим среднюю продолжите­ льность одного обслуживания (Гд^,); она равна 1,6 мин.

После этого можно установить интенсивность обслужива­ ния (ц):

1 1

^обсл = -if.—; У = гк=°'625 чел "мин-

В случае, когда X < и, увеличения очереди не возникает, так как удовлетворение требований происходит не ранее их посту­ пления. В нашем примере Х>ц (0,903>0,625) и в кладовой образуется очередь.

Точно определить величину очереди как случайную нельзя. Можно вычислить вероятность того, что в момент времени (?) очередь будет характеризоваться числом требований P„(t):

P„(t) = cf(l-c);Po (0 = ( 1 - 0 ) ; а = - £ ,

где P0(t) — вероятность отсутствия очереди.

В тех случаях, когда а>. 1, вероятность отсутствия очереди (q;) обычно берется из графиков (в нашем примере а= 1,445).

Для построения таких графиков воспользуемся таблицей значений Р0 для различных значений а и и (и — количество кладовщиков в инструментальной кладовой).

1 Закон распределения случайной величины, обладающей следующим свойством: промежутки времени между любыми двумя соседними событиями и его среднее квадратическое отклонение равны 1/Х, где X — интенсивность потока, являющегося экспоненциальным, или показательным.

177

По данным табл. 6.13, в нашем случае рассматривается многолинейная система, когда п >. 1 (количество кладовщиков превышает единицу).

Таблица 6.13

Значения Рп

Определим среднее время ожидания (Гс), которое склады­ вается из среднего времени ожидания обслуживания в очереди (Г ) и среднего времени обслуживания (Т,^:

Гож + Т,

обсл*

В том случае, когда в системе работает п кладовщиков, среднее время ожидания в очереди определится по формуле при п = 2:

Предположим, что у рабочего потери от простоев состав­ ляют 5, а содержание кладовщика — 4 ден. ед. в единицу времени. За период времени Т в систему поступает XT заявок, т.е. 1,445Г заявок.

178

Потери вследствие простоя рабочих при различном числе кладовщиков, расходы на заработную плату кладовщиков, а также суммарные затраты и потери приведены в табл. 6.14.

Из табл. 6.14 следует, что экономически выгоднее в инст­ рументальной кладовой иметь трех кладовщиков, поскольку суммарные затраты и потери будут наименьшими (min 24,998 Г).

Порядок исчисления показателя качества обслуживания с явными потерями покажем на примере для условий простей­ шего потока требований.

Стол заказов при крупном универсаме оборудован четырь­ мя телефонами. Среднее число вызовов в течение часа состав^ ляет 96, среднее время, затрачиваемое на прием одного заказа,

По условиям примера п — 4 (4 телефона, 4 приемщика заказов), А. = 96 (число вызовов в течение часа); среднее время, затрачиваемое на прием одного заказа, составляет 2 мин, или

— = — единицы времени; значение параметра у = 1: ~ = 30, следовательно, —- = zr = 3,2. Величины вероятностей Рй,Рх,Р2,Ръ

179