Теория экономического анализа - Баканов М.И., Шеремет А.Д
..pdfСчитая формулу связи линейной (у = а0 4- ахх), определим зависимость выпуска промышленных изделий от их запуска. Для этого решается система нормальных уравнений:
naQ + a,£x, = £у,;
a^Lxj + a^Lxt2 — Ех,_у,.
Величины Z J C 2 2 H I X,J>, представлены в следующей таблице (табл. 6.4).
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 6.4 |
*,2 |
324 |
484 |
169 |
400 |
225 |
196 |
1.xР- = 1798 |
|
|
|
|
|
|
|
i |
Xtfl |
309,6 |
459,8 |
150,8 |
374,0 |
211,5 |
180,6 |
1.x^ = 1686,3 |
|
|
|
|
|
|
|
i |
Значение а0 определяем из первого уравнения:
боо + 102а, = 95,4; 102а0 + 1798а, = 1686,3;
а0 = 95,4—102а, , или а0 = 15,9—17а,.
Подставляя найденное выражение а0 во второе уравнение, находим значение а,:
102 (15,9— 17а,) + 1798а, = 1686,3;
1621,8 —1734а, + 1798а, = 1686,3; 64а, = 1686,3 —1621,8; 64а, = 64,5; а, = 1,01;
00=15,9—17-1,01; а0 = 15,9—17,17; а0 = —1,27.
Итак, уравнение регрессии в окончательном виде получило следующий вид:
J = —1,27+ 1,01 х Проверка:
у= —1,27 + 1,01 • 17 = —1,27 + 17,17;
У= 15,9.
160
6.3. МЕТОДЫ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
Методы линейного программирования применяются для решения многих экстремальных задач, с которыми до вольно часто приходится иметь дело в экономике. Решение таких задач сводится к нахождению крайних значений (ма ксимума и минимума) некоторых функций переменных ве личин.
Линейное программирование основано на решении систе мы линейных уравнений (с преобразованием в уравнения и не равенства), когда зависимость между изучаемыми явлениями строго функциональна. Для него характерны математическое выражение переменных величин, определенный порядок, по следовательность расчетов (алгоритм), логический анализ. Применять его можно только в тех случаях, когда изучаемые переменные величины и факторы имеют математическую определенность и количественную ограниченность, когда в ре зультате известной последовательности расчетов происходит взаимозаменяемость факторов, когда логика в расчетах, мате матическая логика совмещаются с логически обоснованным пониманием сущности изучаемого явления.
С помощью этого метода в промышленном производстве, например, исчисляется оптимальная общая производитель ность машин, агрегатов, поточных линий (при заданном ассор тименте продукции и иных заданных величинах), решается задача рационального раскроя материалов (с оптимальным выходом заготовок). В сельском хозяйстве он используется для определения минимальной стоимости кормовых рационов при заданном количестве кормов (по видам и содержащимся в них питательным веществам). Задача о смесях может найти применение и в литейном производстве (состав металлургичес кой шихты). Этим же методом решаются транспортная зада ча, задача рационального прикрепления предприятий-потреби телей к предприятиям-производителям.
Все экономические задачи, решаемые с применением линей ного программирования, отличаются альтернативностью ре шения и определенными ограничивающими условиями. Ре шить такую задачу — значит выбрать из всех допустимо возможных (альтернативных) вариантов лучший, оптималь ный. Важность и ценность использования в экономике метода линейного программирования состоят в том, что оптималь ный вариант выбирается из весьма значительного количества альтернативных вариантов. При помощи других способов ре шать такие задачи практически невозможно.
161
Вкачестве примера рассмотрим решение задачи рациона льности использования времени работы производственного оборудования.
Всоответствии с оперативным планом участок шлифовки за первую неделю декабря выпустил 500 колец для подшип ников типа А, 300 колец для подшипников типа Б и 450 колец для подшипников типа В. Все кольца шлифовались на двух взаимозаменяемых станках разной производительности. Ма шинное время каждого станка составляет 5000 мин. Трудоем кость операций (в минутах на одно кольцо) при изготовлении различных колец характеризуется следующими данными (табл. 6.5).
|
|
|
Таблица 6.5 |
|
|
Затраты времени на одно кольцо |
|||
Станки |
|
типов, мни |
|
|
А |
Б |
В |
||
|
||||
I |
4 |
10 |
10 |
|
II |
6 |
8 |
20 |
Следует определить оптимальный вариант распределения операций по станкам и время, которое было бы затрачено при этом оптимальном варианте. Задачу выполним симплексным методом.
Для составления математической модели данной задачи введем следующие условные обозначения:
д;,, х2, хъ, — соответственно количество колец для подшип ников типов А, Б, В, производимых на станке I; х4, х5, х6, — соответственно количество колец для подшип ников типов А, Б, В, производимых на станке II.
Линейная форма, отражающая критерий оптимальности, будет иметь вид:
min а {х) = 4JC, +10х2 +10х3 + 6х4+8х5+20х6 при ограничениях
4х, +Юд:2+10хз |
|
^5000 |
х, |
6X4+8JC5+20JC6 |
^5000 |
+х4 |
= 500 |
|
х2 |
+х5 |
= 300 |
хъ |
+х6 |
— 450 |
|
Xj^0,j=\, |
..., 6 |
162
Преобразуем условие задачи введением дополнительных (вспомогательных) и фиктивных переменных. Условие запи шем так:
min a(x) = 4х,-|-10х2+10Хз + 6х4 + 8х5 + 20х6+ + Мх9+Мх10+Мх,,
Система уравнений, отражающая ограничительные усло вия машинного времени и количество произведенной про дукции:
4х, + 10х2 4- 10х3 |
+ *7 |
|
= 5000 |
||
|
6х4 + 8х5 + 20х6 + х8 |
|
=5000 |
||
Xj |
+х4 |
+х9 |
= |
500 |
|
|
х2 |
+х5 |
+х10 |
= |
300 |
|
х3 |
+х6 |
+-хи== 450 |
||
|
|
х.^0,у=1, |
...,11 |
|
|
Решение этой задачи представлено в табл. 6.6. Опти мальный вариант получен на седьмом этапе (итерации). Если бы на станке I производилось 125 колец подшипников типа А, 450 колец подшипников типа В, на станке II — 375 колец подшипников типа А и 300 колец подшипников типа Б, то при такой загрузке оборудования было бы высво бождено 350 мин машинного времени станка II. Общие затраты времени по оптимальному варианту составили бы 9650 мин, тогда как фактически затрачено 10000 мин ма шинного времени.
Весьма типичной задачей, решаемой с помощью линейного программирования, является транспортная задача. Ее смысл заключается в минимизации грузооборота при доставке това ров широкого потребления от производителя к потребителю, с оптовых складов и баз в розничные торговые предприятия. Она решается симплекс-методом или распределительным ме тодом.
Решение транспортной задачи распределительным мето дом было дано в третьем издании учебника «Теория экономи ческого анализа» («Финансы и статистика», 1996).
ш
|
|
|
|
|
Таблица 6.6 |
|
Решение задачи рациональности использования станков симплексным методом |
||||
Базис с |
4 |
10 10 |
6 |
8 |
20 0 0 м м м |
Л, |
|
Л Л Л Л Л Л Ло Л. |
|||
|
Л Л Л |
Pi |
0 |
5000 |
Л |
0 |
5000 |
Л |
м |
500 |
Ло |
м |
300 |
Л. |
м |
450 |
ZJ-CJ |
|
1250М |
Pi |
0 |
3000 |
Л |
0 |
5000 |
Л |
4 |
500 |
Ло |
м |
300 |
Л. |
м |
450 |
4 |
10 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
6 |
1 |
0 |
0 |
1 |
ш |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
м-л М—10 |
М—10 |
М—6 |
|
0 |
10 |
10 |
- 4 |
0 |
0 |
0 |
6 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
8 |
20 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
М—8 |
М—20 |
0 |
0 |
8 |
20 |
0 |
0 |
ш |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-А |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
ZJ-CJ |
750М+2000 0 М—10 М—10 —2 М—8 М—20 0 |
0 —М+4 0 0 |
Продолжение
Базис
Л
^8
Р,
^5
Л.
zrci
?ъ
р*
Рх р5
ри
С |
Ро |
4 |
Р2 |
10 |
6 |
8 |
20 |
0 |
0 |
м |
м М |
|
|
10 |
Л |
л |
Л |
|
|
л |
р9 |
|
|
||
|
|
P^ |
Р6 |
Pi |
Рю |
Ри |
||||||
0 |
3000 |
0 |
10 |
10 |
- 4 |
0 |
0 |
1 |
0 |
- 4 |
0 |
0 |
0 |
2600 |
0 |
- 8 |
0 |
6 |
0 |
20 |
0 |
1 |
0 |
- 8 |
0 |
4 |
500 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
8 |
300 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
М |
450 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
450Л/+4400 |
0 |
- 2 |
М—10 |
- 2 |
0 |
М—20 |
0 |
0 |
—М+4 |
—М+8 |
0 |
10 |
300 |
0 |
1 |
1 |
4 |
0 |
0 |
1 |
0 |
4 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
10 |
|
|
10 |
|
10 |
|
|
0 |
2600 |
0 |
- 8 |
0 |
6 |
0 |
20 |
0 |
1 |
0 |
- 8 |
0 |
4 |
500 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
8 |
300 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
М |
150 |
0 |
—1 |
0 |
|
0 |
1 |
_ J_ |
0 |
_4 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
10 |
|
|
10 |
|
10 |
|
|
ZJ-CJ 150Л/+7400 0 —М+8 0 |
-М—6 |
0 М—20 - - М + 1 0 |
10 |
- М + 8 ' |
0 |
|
10 |
10 |
|
|
Pi
р<,
л
л
л.
Zj-Cj
Рг
Рг
кPi
Zj-Cj
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Продолжение |
||
с |
'о |
4 |
10 |
10 |
6 |
8 |
20 |
0 |
0 |
м |
м м |
||
Л |
Рг |
^3 |
л |
Рь |
Ре |
л |
л, |
р* |
Ло |
Л. |
|||
|
|
||||||||||||
|
|
|
|||||||||||
10 |
300 |
0 |
1 |
1 |
4 |
0 |
0 |
1 |
0 |
4 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
~\0 |
|
|
То |
|
~ 10 |
|
|
|
20 |
130 |
0 |
4 |
0 |
3 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
4 |
0 |
|
|
|
|
10 |
|
10 |
|
|
|
20 |
|
10 |
|
|
4 |
500 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
8 |
300 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
М |
20 |
0 |
6 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
4 |
4 |
1 |
|
|
|
|
10 |
|
~ 1 0 |
|
|
То |
20 |
10 |
10 |
|
|
|
20Л/+10000 |
0 |
|
0 |
±м |
0 |
0 |
- — М+] |
20 |
10 |
|
0 |
|
|
|
|
10 |
|
10 |
|
|
10 |
10 |
|
|||
10 |
380 |
0 |
14 |
1 |
0 |
0 |
0 |
3 |
2 |
12 |
0 |
0 |
|
|
|
|
10 |
|
0 |
0 |
1 |
10 |
10 |
10 |
|
|
|
20 |
70 |
0 |
14 |
0 |
3 |
2 |
12 |
16 |
—3 |
||||
|
|
|
10 |
|
0 |
0 |
|
10 |
10 |
10 |
10 |
|
|
4 |
300 |
1 |
6 |
0 |
0 |
1 |
1 |
—3 |
|
—10 |
|||
8 |
300 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
i. |
0 |
1 |
0 |
|
0 |
|||||||||||||
6 |
200 |
0 |
— 6 |
0 |
1 |
0 |
0 |
—1 |
_ 1 |
4 |
4 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
—М |
—м —м |
||
|
10000 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
Базис |
С |
Ро |
4 |
10 |
10 |
6 |
8 |
20 |
0 |
0 |
Л |
л |
Л |
^ 4 |
Ps |
|
Pi |
|
|||
|
|
|
* б |
^8 |
||||||
Л |
10 |
450 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
Рг |
0 |
350 |
0 |
7 |
0 |
0 |
0 |
5 |
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
Л |
4 |
125 |
1 |
5 |
0 |
0 |
0 |
5 |
1 |
0 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
4 |
|
Ps |
8 |
300 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
Л |
6 |
375 |
0 |
5 |
0 |
1 |
0 |
5 |
1 |
0 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
4 |
|
ZrCj |
9650 |
0 —7 |
0 |
0 |
0 |
—5 |
1 0 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
Продолжение
мм м
р9 Ло л.
6.4.МЕТОДЫ ДИНАМИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
Методы динамического программирования применяются при решении оптимизационных задач, в которых целевая функ ция или ограничения, или же первое и второе одновременно характеризуются нелинейными зависимостями. Признаками нелинейности является, в частности, наличие переменных, у ко торых показатель степени отличается от единицы, а также наличие переменной в показателе степени, под корнем, под знаком логарифма.
Примеры нелинейных зависимостей достаточно обширны. Например, экономическая эффективность производства воз растает или убывает непропорционально изменению масш табов производства; величина затрат на производство партии деталей возрастает в связи с увеличением размеров партии, но не пропорционально им. И в том, и в другом случае мы, по существу, сталкиваемся с проблемой переменных и условнопостоянных издержек..
Известно, что себестоимость с увеличением объема выпу скаемой продукции понижается, но при нарушении ритмич ности производства она может и возрастать (за счет оплаты сверхурочных работ в конце отчетного периода). Здесь затра ты представляются, как и в вышеприведенной ситуации, нели нейной функцией от объема производства.
Нелинейной связью характеризуются величины износа про изводственного оборудования в зависимости от времени его работы, удельный расход бензина (на 1 км пути) — от скоро сти движения автотранспорта и многие другие хозяйственные ситуации.
Использование в экономическом анализе метода динами ческого программирования покажем на простейшем примере1.
Имеется некое транспортное средство грузоподъемно стью W. Требуется заполнить его грузом, состоящим из пред метов ^различных типов, таким образом, чтобы стоимость всего груза оказалась максимальной.
Для этого введем соответствующие обозначения:
Pt—вес одного предмета /-го типа; V.—стоимость одного предмета /-го типа;
х( — число предметов /-го типа, загружаемых на имеющееся транспортное средство.
1 Более сложные задачи, решаемые методами математического модели рования, требуют применения ЭВМ.
168
Необходимо подобрать груз максимальной ценности с уче том грузоподъемности транспортного средства W.
Математически формализовать данную экстремальную за дачу можно следующим образом:
тахф(х) = max E xj V.—СТОИМОСТЬ груза
при ограничениях:
(1)Д xf^W;
(2) х. = 0, 1,... (Т. е. предметы груза неделимы).
Решение задачи разбивается на п этапов, на каждом из которых определяется максимальная стоимость груза, состо ящего из предметов 1-го типа (первый этап), 1-го и 2-го типов (второй этап) и т. д. Для этого воспользуемся рекуррентным соотношением (критерием оптимальности Беллмана):
|
fN(W) = |
maxlxNVN+fM^(W~xNPN)l |
|
|
|
|
0< *** [-f-1 |
|
|
|
г* |
где |
ff^W) |
—максимальная стоимость груза, состоящего из |
|
|
|
предметов iV-ro типов; |
|
|
XN^N —стоимость взятых предметов N-vo типа; |
||
/N-\(W—XN^N) |
—максимальная стоимость груза, состоящего из |
||
|
ш |
предметов (N—1) типа с общим весом не более |
|
|
наибольшее целое число, не превосходящее |
Будем считать, f0(W) = 0 для любого W. Последовательно найдя значение функций /,(JP), !•&№)•>••••> fiJW)> можно полу чить полное решение сформулированной задачи.
Пусть:
Р = 4; Р2 |
= 3; Р3 |
= 2; Р4 |
= 1 (единиц груза); |
К, = 28; |
V2 = 20; Уг = 13; |
К4 = 6 (денежных единиц); |
|
грузоподъемность |
транспортного средства W= 10 (единиц |
груза).
Найдем последовательно значения функций bAW): fx(W), /2(Ю,/3(Ю,МЮ при различных значениях Щ0< W< 10).
169