Моделирование экономических процессов - Власов М. П

Моделирование экономических процессов

13.3. Прогнозирование экономических систем на основе марковских моделей

Втеории вероятностного моделирования к наиболее изученным

иисследованным относятся модели, у которых случайный процесс функционирования относится к классу марковских процессов, т. е. марковские модели.

Случайный процесс, протекающий в системе, называется мар­ ковским, если для любого момента времени вероятностные характе­ ристики процесса в будущем зависят только от его состояния в дан­ ный момент и не зависят от того, когда и как система пришла в это состояние. При исследовании экономических и, в частности, произ­ водственных систем наибольшее применение имеют марковские случайные процессы с дискретными состояниями и непрерывным временем. Процесс называется процессом с дискретными состоя­ ниями, если все его возможные состояния можно заранее перечис­ лить, т. е. состояния системы принадлежат к конечному множеству

Z-{*,}•

Процесс называется процессом с непрерывным временем, если смена состояний может произойти в любой случайный момент; при этом считается, что переход системы из одного состояния в другое происходит мгновенно.

В качестве иллюстрации использования теории марковских про­ цессов построим и решим марковскую модель для следующей про­ стейшей условной задачи.

Постановка задачи. Предположим, что на рынке вычислитель­ ного оборудования преобладают дискеты двух марок: А и В. Допус­ тим, что потребители приобретают новую упаковку дискет прибли­ зительно один раз в месяц, и сделаем при этом следующие предпо­ ложения.

1.Если в текущем месяце потребитель пользуется дискетами мар­ ки А, то с вероятностью 0,6 он будет приобретать их и в следую­ щем месяце, а с вероятностью 0,4 в следующем месяце он приоб­ ретет дискеты марки В.

2.Если в текущем месяце потребитель пользуется дискетами мар­ ки В, то с вероятностью 0,7 он будет приобретать их и в следую-

330

13. Имитационное моделирование

щем месяце, а с вероятностью 0,3 в следующем месяце он приоб­ ретет дискеты марки А.

В матричной форме эта информация может быть записана сле­ дующим образом:

0,6 0,4 т, - 0,3 0,7

Матрицу Рг называют при этом одноступенчатой матрицей пе­ реходов.

Целью решения данной задачи является составление прогноза состояния рынка дискет в обозримом будущем.

Формализация модели. Проанализируем динамику переходов системы из одного состояния в другое в процессе времени, т. е. построим марковские цепи, рассчитывая одновременно соответству­ ющие вероятности переходов.

Первая итерация. Построение матрицы двухступенчатых пе­ реходов.

Вероятность того, что потребитель, использующий в данный ме­ сяц дискеты марки А, будет их использовать и через месяц, равна рА_>А = 0,48 : (0,6 • 0,6 + 0,4 • 0,3). Графически данный расчет можно проиллюстрировать следующим образом (рис. 13.1).

Рис. 13.1. Двухступенчатый переход

331

Моделирование экономических процессов

Аналогично рассчитываются вероятности:

P ^ s - 0,52(0,6 -0,4 + 0,4-0,7);

Рв_+В = 0,61(0,3 • 0,4 + 0,7 • 0,7); РВ->А - 0,39(0,3 • 0,6 + 0,7 • 0,3).

В результате получаем матрицу двухступенчатых переходов

0,48 0,52 ш> =0,39 0,61'

которая может быть рассчитана по исходным данным при помощи аппарата матричной алгебры:

Вторая итерация. Построение матрицы трехступенчатых пе­ реходов.

Построение матрицы трехступенчатых переходов проиллюстри­ руем (рис. 13.2) на примере расчета вероятности того, что покупа­ тель, использовав дискеты марки А в первом дискрете времени, ос-

Рис. 13.2. Трехступенчатый переход: Р„_м = (0,48 • 0,6 + 0,52 • 0,3) = 0,444

332

13, Имитационное моделирование

танется их приверженцем и в четвертом дискрете (через три ступе­ ни) времени.

Остальные элементы матрицы трехступенчатых переходов бу­ дут равны:

Естественно, что матрица трехступенчатых переходов (Р3), так же как и матрица Рг, может быть рассчитана с использованием мат­ ричной алгебры:

В общем случае для ступени к перехода соответствующая мат­ рица может быть рассчитана по следующей формуле:

Прогнозирование рынка товара. Предположим, что в начале наших наблюдений за рынком объем продажи дискет марки А со­ ставляет 3Д в с е х объемов продаж дискет, а объем продажи дискет марки В — лишь У4, т. е. в векторном виде:

ха=(0,75; 0,25).

Рассчитаем аналогичный вектор х2, компоненты которого пока­ зывают, какую часть рынка будет контролировать каждая марка дис­ кет через месяц.

Рассмотрим для этого следующую схему (рис. 13.3). Из рис. 13.3. получаем

х2 - (0,525; 0,475).

* Сумма элементов по каждой строке матрицы должна быть равна еди­ нице.

333

Моделирование экономических процессов

^ - 0 , 4 5

А: 0,75

В. 0,25

334

13. Имитационноемоделирование

В общем случае

Xk=*itf_1-

Кстати, для службы маркетинга векторы ха = (0,75; 0,25), х2 = (0,525; 0,475),

х3 = (0,4575; 0,5425) и т. д.

позволяют увидеть, какая тенденция будет проявляться на рынке дискет во временной динамике.

Для более четкого выявления данной тенденции можно вос­ пользоваться выводами из важнейшей теоремы теории массового обслуживания, которая носит название первой эргодической те­ оремы.

Данная теорема доказывает, что если исходная матрица Pj не имеет нулевых элементов, то:

1.Существует единственный вектор х, для которого

хР,= х

(х называется неподвижным вектором для Pj).

2.По мере роста к матрица Ра приближается к матрице Р, в кото­ рой каждая строка совпадает с х .

[0,6а + 0,3b; 0,4а + 0,7Ь] = (а, Ь).

335

Моделирование экономических процессов

С учетом того, что а + Ъ - 1, решим систему

|0,4а-0,ЗЬ = 0,

{а + Ь = 1,

Этот результат показывает, что независимо от нынешнего состо­ яния рынка, если матрица переходов останется равной Pv то будет наблюдаться тенденция к тому, чтобы марка дискет А контролирова-

13.4. Основные принципы построения имитационной модели

Одним из основных параметров при имитационном моделирова­ нии является модельное время, которое отображает реальное время функционирования исследуемой системы. В зависимости от способа продвижения модельного времени методы моделирования подраз­ деляются:

•на методы с приращением временного интервала;

•методы с продвижением времени до особых состояний.

В первом случае модельное время продвигается на некоторую величину At. Далее определяются изменения состояния элементов системы, которые произошли за это время. После этого модельное время снова продвигается на величину At и т. д. до конца периода моделирования Тм. Шаг приращения выбирается, как правило, по­ стоянным, но в общем случае он может быть и переменным. Этот метод носит название «принцип Д£».

Во втором случае в текущий момент модельного времени t сна­ чала анализируются будущие особые состояния системы (иногда их называют события), которые изменяют динамику функционирова-

336

13. Имитационное моделирование

ния исследуемой системы. В общем случае в качестве особых состо­ яний можно выделить:

•поступление заявок на обслуживание;

•начало обслуживания заявки;

•освобождение канала после обслуживания заявки;

•завершение моделирования.

Всамом общем случае в системе могут быть выделены события

идругих типов, например, возникновение отказа (поломки) канала обслуживания в процессе обслуживания заявки, а также заверше­ ние восстановления устройства после отказа.

После анализа событий выбирается наиболее раннее и модель­ ное время продвигается до момента наступления этого события. При этом считается, что состояние системы не изменяется между двумя соседними событиями. Затем определяется реакция системы на выбранное событие, в частности определяется характер и мо­ мент наступления нового особого состояния (события), и т. д. Про­ цедура повторяется до завершения периода моделирования Гм. Данный принцип называют «принципом особых состояний». Мо­ дель в этом случае работает, «перепрыгивая» от одного события к другому, значительно экономя машинное время моделирования. Очевидно, что между реальным временем и временем работы мо­ дели в процессе имитации функционирования исследуемой систе­ мы нет ничего общего. Поскольку имитационный эксперимент вы­ полняется на ЭВМ, как правило, с очень высоким быстродействием, время работы модели весьма незначительно (минуты). Такое отра­ жение в ЭВМ реального процесса называют «сжатием времени», преимущества которого становятся очевидными, если попытаться получить эту же информацию, используя реальную моделируемую систему.

Время окончания работы моделируемого алгоритма либо зада­ ется, как правило, с помощью ограничения, накладываемого непо­ средственно на продолжительность имитируемого периода, на так называемую глубину моделирования, либо выход из алгоритма осу­ ществляется по достижении требуемой точности статистических оценок рассчитываемых характеристик моделируемой системы.

Степень детализации элементов моделируемой системы в ус­ ловиях многократной реализации модели требует своего опти-

337

Моделирование экономических процессов

мального решения: с одной стороны, желательно до минимума сократить объем вычислений, с другой — не потерять при этом требуемой точности расчетов. Например, в имитационной моде­ ли вычислительной системы, где установлена группа однотип­ ных вычислительных машин, данную группу вычислительных ма­ шин желательно рассматривать как отдельный объект. Но при этом мы должны сделать допущение, что данная группа вычисли­ тельных машин загружается из одной очереди заявок на обслу­ живание (обработку данных), что может не соответствовать ре­ альной системе. Насколько допустимы последствия подобных «огрублений» имитационной модели (конечно, с учетом соответ­ ствующих упрощений), должны решать вместе исследователь и пользователь модели.

С учетом вышесказанного обобщенный (укрупненный) алго­ ритм имитационного моделирования системы массового обслужи­ вания будет следующим:

1.Определяется событие с минимальным текущим временем — наиболее раннее событие.

2.Модельному времени присваивается значение времени наступ­ ления наиболее раннего события.

3.Определяется тип события.

4.В зависимости от типа события предпринимаются действия, на­ правленные на загрузку устройств и продвижение заявок в со­ ответствии с технологией их обработки, вычисляются моменты наступления будущих событий. Все эти действия называют ре­ акцией имитационной модели на событие.

5.Перечисленные действия повторяются до истечения периода

моделирования Гм (до достижения заданной глубины моде­ лирования).

6.По результатам работы имитационной модели рассчитываются необходимые характеристики исследуемой системы массового обслуживания.

Рассмотрев основные принципы построения имитационной мо­ дели абстрактной системы массового обслуживания, приведем не­ сколько примеров, иллюстрирующих возможность представления реальных систем информационно-вычислительного обслуживания в виде СМО.

338

13, Имитационное моделирование

Пример 1

Если в вычислительном центре имеется несколько вычислитель­ ных систем, каждая из которых может обслуживать любые заявки, например, несколько печатающих устройств при безразличном от­ ношении пользователя к тому, какое из них используется для выво­ да результатов по его заданию, или многопультовое средство подго­ товки данных, то каждая из этих систем может быть представлена в виде многоканальной однофазной СМО с общим потоком заявок (рис. 13.5).

X

Рис. 13.5. Однофазная многоканальная СМО

Пример 2

Рассмотрим пример несколько более сложной СМО. Предполо­ жим, что анализируется часть вычислительной системы, состоящая из устройств, изображенных на рис. 13.6.

Здесь к процессору с оперативной памятью подсоединены через селекторный канал (СК) и устройства управления (УУ) два накопи­ теля на магнитных лентах и три накопителя на магнитных дисках. На устройствах внешней памяти располагаются наборы данных — файлы.

Поток запросов от пользователей на решение задач представля­ ется неограниченным источником заявок.

Процесс решения одной задачи заключается в выполнении слу­ чайной последовательности этапов счета (обработки данных в про-

339