Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Моделирование экономических и производственных процессов - Баева Н.Б

.pdf
Скачиваний:
91
Добавлен:
24.05.2014
Размер:
389.89 Кб
Скачать

Ф А К У ЛЬТ Е Т П Р И К ЛА Д Н О Й М А Т Е М А Т И К И , И Н Ф О Р М А Т И К И И М Е Х А Н И К И

К а федра М а тема тических методовисследова ния опера ций

М етодические ука за ния для решения за да ч поспецкурсу

« М О ДЕЛ И Р О В А Н И ЕЭ К О Н О М И Ч ЕС К И Х И П РО И З В О ДС ТВ ЕН Н Ы Х П РО Ц ЕС С О В »

для студентов4 курса дневногоивечернегоотделений фа культета П М М

Соста вители:

Б а ева Н .Б .

 

З а мятинИ .В .

 

А за рнова Т .В .

 

А снина А .Я .

Воронеж

2002

С О ДЕР Ж А Н И Е

 

В В ЕДЕН И Е ................................................................................................

3

§ 1. М одели ровани епроцессов форми ровани яопти мального

 

ассорти мента.......................................................................................

4

1.1. М одельформирова ния оптима льногоа ссортимента ........................

4

1.2. З а да чина за крепление приемовмоделирова ния оптима льного

 

а ссортимента .........................................................................................

6

1.3. Д ополнительны е упра ж нения .............................................................

9

§ 2. М одели ровани епроцессов перевозок и назнач ени я....................

12

2.1. П ростейшие модели ............................................................................

12

2.2. З а крепление приемовпостроения моделей ........................................

15

2.3. У пра ж нения для са мостоятельной ра боты .........................................

21

§ 3. Р аспредели тельны емодели ..............................................................

26

3.1. М оделира спределительны х процессов...............................................

26

3.2. З а да чидля за крепления приемовмоделирова ния ра спределитель-

 

ны х процессов......................................................................................

28

3.3. З а да чидля са мостоятельногорешения...............................................

31

§ 4. М одели ровани епроцессов смеш и вани я ........................................

32

4.1. Т иповы е моделипроцессовсмешива ния ...........................................

32

4.2. З а да чипоза креплению приемовмоделирова ния процесса

 

смешива ния ...........................................................................................

34

4.3. З а да чидля са мостоятельногорешения ..............................................

36

§ 5. М одели опти мальногораск рояматери ала....................................

38

5.1. П ростейша я модельоптима льногора скроя ма териа лов...................

38

5.2. З а да чипоза креплению ма териа ла ......................................................

40

5.3. З а да чидля са мостоятельногоизучения ..............................................

40

§ 6. Р азны езадач и ......................................................................................

41

П РИ Л О Ж ЕН И Е.........................................................................................

47

1. П рогра мма курса ......................................................................................

47

2. Списоклитера туры ..................................................................................

49

Введени е

Ва ж нейшим на пра влением совершенствова ния пра ктических полезны х

на вы ков прикла дного ма тема тика является озна комление его с широким спектром упра ж нений и за да ч, предста вляю щ их собой описа ние фра гментов типовы х ситуа ций, возника ю щ их при решении за да ч ма тема тического моделирова ния экономических и производственны х процессов. О сновной за да чей методических ука за ний является созда ние учебной среды , обеспечива ю щ ей вы ра ботку устойчивы х на вы коввла дения ра знообра зны ми

приё ма ми

моделирова ния и созда ю щ ей

основу

умения применять

теоретические основы

моделирова ния к

решению

реа льны х за да ч

экономической пра ктики.

 

 

М етодические ука за ния содерж а тпятьпа ра гра фов, вкоторы х приведё н

спра вочны й

ма териа л,

содерж а щ ий описа ние приё мов моделирова ния и

перечень за да ний, вы полнение которы х вука за нном порядке обеспечива ет устойчивое овла дение им. Т ипы за да ний ох ва ты ва ю т веськругприкла дны х

ма кроэкономических и микроэкономических моделей,

чита емы х в курсе

«М оделирова ние экономических и производственны х

процессов» для

студентов4 курса дневногои5 курса вечернегоотделения фа культета П М М .

П оследний

па ра гра ф (шестой) содерж ит

формулировку

за да ний и

упра ж нений

для са мостоятельной ра боты

студентов и

мож ет

бы ть

использова н

студента ми для са моконтроля

глубины усвоения

основ

прикла дногомоделирова ния экономических ипроизводственны х процессов.

П ри

вы полнении за да ний,

приведё нны х

в да нны х

методических

ука за ниях , следует иметь ввиду, что впервую

очередь следует овла деть

приё ма ми,

используемы ми в §1

и §2. В се

оста льны е

за да ния мож но

вы полнятьвпроизвольном порядке. В нутрипа ра гра фовза да ния приведены в порядке возра ста ния слож ностира зра боткиих ма тема тических моделей.

О сновы ма тема тическогомоделирова ния экономических ипроизводст-

венны х

процессов рекомендуется изуча ть,

используя литера туру,

список

которой

да н в П рилож ении.

Т а м ж е

приведена

програ мма

курса

«М оделирова ние экономических

и производственны х

процессов».

З а да чи,

приведенны е вда нной ра зра ботке, могут бы тьта кж е использова ны

вкурсе

«М а тема тические методы исследова ния опера ций» .

 

 

§1. М одели ровани епроцессовформи ровани я опти мальногоассорти мента

1.1.М одельформи ровани яопти мальногоассорти мента

Ра ссма трива ется некоторы й производственны й объект. Д ля вы пуска продукции объектиспользуетма териа льны е, трудовы е и сы рьевы е ресурсы ,

а та кж е имею щ ееся вего ра споряж ении производственное оборудова ние. П редпола га ется, что упра вляю щ ий орга н экономического объекта вла деет

информа цией о возмож ном объё ме поступа ю щ их со стороны

ресурсов,

о

величине экономических пока за телей, о норма х ра сх ода

ресурсов

и

ож ида емой прибы ли от реа лиза ции ка ж дого вида вы пуска емой продукции.

З а да ча

состоит в ра зра ботке модели

формирова ния

о пт им а ль н о г о

а с с о рт им ен т а

вы пуска для

да нного

экономического

объекта . П од

оптима льны м

а ссортиментом

мож но понима ть либо вы пуск, да ю щ ий

ма ксима льную

прибы ль, либовы пуск, требую щ ий минима льны х за тра т, либо

вы пуск,

ма ксимизирую щ ий объё м прода ж .

 

 

М одельсодерж иттритипа огра ничений:

 

I

на учё тпроизводственны х возмож ностей;

 

II

на учё ттех нико-экономических пока за телей;

III

на спрос.

 

 

 

О гра ничения группы I форма лизова нноза писы ва ю тся ввиде:

n

 

 

å

j £ij i = , .. m1

i b a x

j= 1

Здесьj – номерпродукта , j = 1..n;

n – числовы пуска емы х продуктов; i – номерресурса , i=1..m;

m – числоиспользуемы х ресурсов;

aij – нормы ра сх ода i-горесурса на вы пускединцы j-гопродукта ; bi – общ ее количествоi-горесурса ;

xj – объё м вы пуска j-гопродукта .

О гра ничения II группы форма лизова нноза писы ва ю тся ввиде:

n

 

 

å j lj

l = .. L£1 ³ , l( )D

d x

j= 1

Где l – порядковы й номерэкономическогопока за теля, l = 1..L; L – числоучиты ва емы х экономических пока за телей;

 

 

dlj

– величина l-гопока за теля, оценива ю щ егоj-й продукт;

 

 

Dl

– ра счё тна я

величина

l-го пока за теля,

принима емого

 

 

 

экономическим объектом для оценкиегодеятельности.

О гра ничения III группы форма лизова ноза писы ва ю тся ввиде:

(Aj,

 

j )

 

 

j

j

 

j

= ..n1 ,j A x

продукции j-го

 

 

 

 

 

 

 

 

– интерва л возмож ного изменения вы пуска

A

вида .

В ка честве функции цели ча щ е всего используется ма ксимиза ция прибы ли:

n

å cjxj max

j=1

Где cj – прибы льотреа лиза циипродукцииj-говида .

В ка честве функции цели мож но ра ссма трива ть та кж е минимиза цию

за тра т, ма ксимиза цию

вы пуска

комплектной продукции

(критерии

К а нторовича ).

 

 

 

 

 

Р а ссмотрим модель вы бора

на бора тех нологий, позволяю щ их при

огра ниченны х

ресурса х

получить ма ксима льное

число комплектов.

П редпола га ется,

что

мерой

использова ния

тех нологий

принята

интенсивность(вединица х измерения времени). В ремя ра ссма трива ется ка к одинизвидовресурсов.

j – порядковы й номервида тех нологии; n – числовидовтех нологий;

xj – интенсивностьиспользова ния j-й тех нологии;

i – порядковы й номервида (комплектую щ егоизделия); l – числовидоввы пуска емы х изделий;

li – числодета лей i-говида , необх одимы х для комплектова ния единицы вы пуска емой продукции;

s – вид ресурса (сы рья, энергииит.д.); k – числовидоввы деляемы х ресурсов;

bs – объё м вы деляемогоресурса s-говида ;

aij – норма вы пуска дета лей i-говида прииспользова нииj-й тех нологии

с единичной интенсивностью ;

 

bsj - норма использова ния (ра сх ода )

s-го вида ресурсов при

применении

 

j-й тех нологиис единичной интенсивностью ;

 

z - числоединиц вы пуска емой комплектной продукции.

М а тема тическа я модель тех нологий,

ма ксимизирую щ их число

комплектов, имеетвид:

 

z max

 

1

 

n

 

 

 

 

å

j ³ij

= , ..l 1

i z a x

 

li

 

j = 1

 

 

 

 

n

 

 

 

 

å

 

£ s

=,j ..sjk1

s b b x

 

j =1

 

 

 

 

x j

³ 0 , j =

1 .. n

 

1.2. З адач и назак реплени епри емов модели ровани я

опти мальногоассорти мента

 

З а да ча 1. К омпа ния по производству игрушекизгота влива етдве ра зличны е игрушки А и В . П ри изготовлении ка ж да я игрушка долж на обра ба ты ва ться тремя ра зны ми ма шина ми. Э ти ма шины могут обра ба ты ва ть только одну игрушку вка ж ды й моментвремени. И зготовление одной единицы А требует 40 мин. ра боты 1-й ма шины , 20 мин. – 2-й и10 мин. – 3-й. Д ля изготовления одной единицы В необх одимо 20 мин. – 1-й, 30 мин. – 2-й и 30 мин. – 3-й. К а ж да я ма шина мож ет ра бота ть40 ча соввнеделю . И грушка А приносит 4 руб. прибы ли на единицу, а В – 3 руб. П ола га ю т, чтоспрос на этиигрушки превы ша етпредлож ение компа нии.

П остроить ма тема тическую

модель для определения того, сколько

ка ж дого вида игрушек долж на

дела ть компа ния ка ж дую неделю , чтобы

ма ксимизирова тьприбы ль?

 

Реш ен ие. О бозна чим черезxa объем вы пуска игрушки А , а черезxb объем

вы пуска игрушки В . Т огда 40xa мин. – общ ее время ра боты

1-й ма шины

по

обра ботке всех игрушек А , 20xb мин. – общ ее время ра боты

1-й ма шины

по

обра ботке всех игрушек В . А на логично для 2-й ма шины :

20xa мин. – на

игрушки А, 30xb мин. – на игрушки В . И для 3-й ма шины : 10xa мин. – на игрушкиА , 30xb мин. – на игрушкиВ . О тсю да получим огра ничения группы I

– на временны е ресурсы ка ж дой ма шины :

xa +

xb 40

20

40

xa +

xb 40

30

20

(1)

 

 

 

xa +

xb 40

30

10

О гра ничения II иIII группдля да нной за да чине определены .

П остроим целевую функцию . З а да ча состоитвма ксимиза цииприбы ли

компа нии, поэтому в ка честве целевой функции

возьмем вы ра ж ение,

описы ва ю щ ее прибы ль:

 

xa + xb max 4

3

(2)

З десь4xa – общ а я прибы ль, получа ема я отреа лиза цииигрушкивида A в количестве xa, соответственно 3xb – общ а я прибы ль, получа ема я от реа лиза цииигрушкивида B вколичестве xb.

Т а ким обра зом, целева я функция (2) и огра ничения (1) предста вляю т собой искомую ма тема тическую модель.

З а да ча 2. М ех а нический цех мож етизготовитьза смену 600 дета лей № 1 или 1200 дета лей № 2. П роизводственна я мощ ностьтермическогоцех а , куда эти дета липоступа ю тна обра ботку втотж е день, позволяетобра бота тьза смену

1200 дета лей № 1

или

800

дета лей № 2.

Ц ены на дета ли

одина ковы .

О пределить еж едневную

производственную

програ мму вы пуска дета лей,

ма ксимизирую -щ ую

това рную

продукцию

предприятия, для

ка ж дого из

следую щ их дополнительны х условий:

 

 

a)оба цех а ра бота ю тодну смену;

b)мех а нический цех ра бота еттрисмены , а термический – две смены ;

c)предприятие ра бота ет вдве смены , при этом дета лей № 1 долж но бы тьизготовлено не более 800 шт., а дета лей № 2 – не более 1000 шт.

Реш ен ие. О бозна чим черезx1 объем вы пуска дета лей № 1, x2 – дета лей № 2. Д ля всех трех модифика ций за да чи целева я функция оста ется неизменной – ма ксимум вы пуска продукции, тоесть:

x1 + x2 → max

(1)

П ри одина ковой целевой функции модифика ции за да чи будут иметь ра зны е огра ничения.

a) П римем всю продолж ительность одной смены за 1. Т огда

1

x

- доля

600

 

1

 

смены , втечение которой вмех а ническом цех е будут производиться x1

дета лей № 1, а 12001 x2 - доля смены , втечение которой втом ж е цех е будут производиться x2 дета лей № 2. Т огда огра ничение на общ ий объем ра бочего времени мех а нического цех а будет вы глядеть следую щ им обра зом:

6001 x1 + 12001 x2 ≤ 1

(а2)

А на логичное огра ничение построим идля термическогоцех а :

12001 x1 + 8001 x2 ≤ 1

(а3)

О гра ничения (а 2-а 3) и целева я функция (1) соста вляю т искомую ма тема тическую модельдля ва риа нта за да чи(а ).

b) К а ки для ва риа нта (а ) примем всю продолж ительностьодной смены за 1. Т огда получим следую щ ие огра ничения на ра бочее время обоих цех ов:

 

мех а нический –

 

1

x +

 

 

1

 

x

 

≤ 3

 

600

1200

 

 

(b2)

 

1

 

 

2

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

термический –

 

x +

 

x

 

≤ 2

 

1200

800

 

 

(b3)

 

 

1

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

О гра ничения

(b2-b3) и целева я

функция

(1)

 

 

соста вляю т искомую

ма тема тическую

модельдля ва риа нта за да чи(b).

 

 

 

c) К а кидля ва риа нтов(а ) и(b) примем всю продолж ительностьодной смены

за 1. Т огда получим следую щ ие огра ничения на

ра бочее время обоих

цех ов:

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

мех а нический –

x +

 

 

 

x

≤ 2

600

1200

(с2)

 

1

 

 

2

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

термический –

 

x +

 

x

 

≤ 1

1200

800

 

 

 

 

1

 

 

 

 

2

 

(с3)

К роме того, вда нном ва риа нте вза да че присутствую т огра ничения III вида на спрос, которы е вы ра ж а ю тся следую щ им обра зом:

x1 ≤ 800, x2 ≤ 1000

 

(c4)

 

О гра ничения (с2-с4) и

целева я функция (1) соста вляю т

искомую

ма тема тическую модельдля ва риа нта за да чи(с).

 

З а да ча 3. М ех а нический

за вод при изготовлении трё х ра зличны х типов

дета лей использует тока рны е, фрезерны е и строга льны е ста нки.

П ри этом

обра ботку ка ж дой дета лимож новеститремя ра зличны митех нологическими способа ми.

В та блице ука за ны ресурсы (вста нко-ча са х ) ка ж дой группы ста нков, нормы ра сх ода времениприобра ботке дета лина соответствую щ ем ста нкепо

да нному тех нологическому способу, а

та кж е прибы ль от вы пуска единицы

дета лика ж договида :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Д ета ли

 

I

 

 

 

II

 

 

III

 

Р есурсы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т ех нологические

1

2

3

1

 

2

3

1

2

3

времени

 

способы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

нки

Т ока рны й

0,4

0,9

0,5

0,4

 

0,3

-

0,7

-

0,9

250

 

 

Ста

Ф резерны й

0,5

-

0,6

1,0

 

0,2

0,5

0,3

1,4

-

450

Строга льны й

1,3

0,5

0,4

-

 

1,5

0,3

-

1,0

0,5

600

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П рибы ль

 

12

 

 

18

 

 

30

 

 

Соста вить оптима льны й пла н за грузки производственны х мощ ностей,

 

 

обеспечива ю щ ий ма ксима льную

прибы ль.

 

 

 

 

 

 

 

Счита я,

что меж ду

количеством

вы пуска емы х дета лей

долж но

 

 

вы полняться соотношение 1:2:4, определить производственную програ мму,

 

 

обеспечива ю щ ую изготовление ма ксима льногочисла комплектов.

 

 

 

 

Реш ен ие.

 

О бозна чим

через

xij

объем

вы пуска

i-той дета ли

j-ты м

 

 

тех нологическим способом, а черезz – количествовы пуска емы х комплектов.

 

 

Т огда огра ничения на количество комплектовбудут вы глядетьследую щ им

 

 

обра зом:

 

 

 

 

+

+ 13 ³ z 12 x

11x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1)

 

+

+

23 ³ 2z 22

x21

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

+

33 ³ 4z 32

x31

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Б лок

огра ничений

на

ресурсы

предста влен

огра ничениями на

 

 

количествора бочеговременика ж догоста нка :

 

 

 

 

 

 

тока рны й:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

 

+

+

)+ (

 

+

 

)+ (

+

x33 )£ 250x

31

x9, 0 22

x7, 0

 

фрезерны й:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

 

+

)+ (

 

+

 

+

 

)+ (

+

x32 )£ 450xx31

x4, 123

3, 0

2

(2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

строга льны й:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

 

+

+

)+ (

 

+

 

)+ (

+

x33 )£ 600x 32

x5, 0 23

x0, 1

22

П остроим целевую функцию . З а да ча состоитвма ксимиза цииприбы ли компа нии. П оэтому в ка честве целевой функции получим следую щ ее вы ра ж ение:

( + + )+ ( + +

)+

( + + x

33

)®x max

31

x x

 

 

 

32

23

(3)

Т а ким обра зом, целева я функция (3) иогра ничения (1-2) предста вляю тсобой искомую ма тема тическую модель.

1.3. Дополни тельны е у праж нени я

1. Н а звероферме могут вы ра щ ива ться песцы , чё рно-буры е лисы , нутрии и норки. Д ля их пита ния использую тся три вида кормов. В та блице

приведены нормы

ра сх ода кормов, их

ресурс вра счё те на день, а та кж е

прибы льотреа лиза цииодной шкуркика ж догозверя.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В ид корма

 

Н ормы ра сх ода кормов(кг/день)

Р есурс кормов(кг)

 

П есец

Лиса

Н утрия

Н орка

 

 

 

 

 

 

1.3.

 

1

 

2

1

2

300

 

II

 

2

 

4

2

0

400

 

III

 

1

 

1

3

2

600

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П рибы льруб./шкурка

 

6

 

12

8

10

 

 

П остроить ма тема тическую

модель для определения того, сколько и

ка ких зверьковследуетвы ра щ ива тьна ферме,

чтобы прибы льотреа лиза ции

шкурокбы ла ма ксима льной.

 

 

 

 

 

 

 

2.

А втомобильны й за вод вы пуска ет

ма шины

ма рок А и

В .

П роизводственны е мощ ности отдельны х цех овили отделовприведены

в

следую щ ей та блице:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Н а именова ние цех овилиуча стков

К оли ч ествомаш и нзагод

 

 

 

 

Т ипа А

 

Т ипа В

 

 

 

1

П одготовительное производство

125

 

 

110

 

 

 

2

К узовной цех

80

 

 

320

 

 

 

Н а именова ние цех овилиуча стков

К оли ч ествомаш и нзагод

 

 

 

 

 

Т ипа А

 

Т ипа В

 

 

 

3

П роизводствоша сси

110

 

 

110

 

 

 

4

П роизводстводвига телей

240

 

 

120

 

 

 

5

Сборочны й цех

160

 

 

80

 

 

 

6

У ча стокиспы та ний

280

 

 

70

 

 

О пределитьна иболее рента бельную производственную програ мму при следую щ их дополнительны х условиях :

а) прибы лиотвы пуска одной ма шины типа А иВ соответственнора вны 2000

и2400 рублей;

б) производственна я мощ ность1-гои5-гоцех овувеличена в1,5 ра за за счё т использова ния сверх урочны х ра бот, чтоприводиткуменьшению прибы ли

от вы пуска одной ма шины

типа А до 1500 рублей и типа В

– до 2100

рублей (для «сверх пла новы х » а втомобилей).

 

3. М ех а нический за вод

при изготовлении двух типов дета лей

использует тока рное, фрезерное и сва рочное оборудова ние.

П ри этом

обра ботку ка ж дой дета лимож новестидвумя ра зличны митех нологическими способа ми. П олезны й фонд временира боты ка ж дой группы оборудова ния (в ста нко-ча са х ), нормы ра сх ода времени при обра ботке дета ли на соответствую щ ем оборудова нии по да нному тех нологическому способу и прибы льотвы пуска единицы дета лей ка ж договида да ны вта блице:

Соседние файлы в предмете Экономика