Моделирование экономических процессов - Власов М. П
..pdfМоделирование экономических процессов
ресурсные ограничения или предложения партнеров. Индивидуаль ные планы ха - соа предложения (если (ха -(аа)к <0) и спроса (если (ха -сйа)к> 0) имеют конкурентный, конфликтный характер и могут быть одновременно не реализованы. Идея состоит в том, что при подходящей системе цен они будут совместимы.
Конкурентным равновесием называется такой набор ре 91+, ха е Хд, а е А, что
Хха<Х<°а,
аа
где ха — максимальный элемент (в смысле предпочтения Ра) в мно жестве Ва(р). Неравенство в балансовом соотношении означает возможность «свободного расходования» продукта. Это позволяет ограничиться только неотрицательными ценами, т. к. никто не бу дет продавать продукт, если он приносит убыток, и предпочтет его выбросить.
Описанная модель (с учетом производства) была построена в 1870-х годах Л. Вальрасом. Однако вопрос существования конку рентного равновесия оставался открытым до 1950-х годов, когда оно было доказано К. Эрроу и Дж. Дебре в более общей модели, приводимой ниже.
Необходимые условия конкурентного равновесия:
1) наличие максимальных элементов в бюджетных множествах *„(р).ре**\{0};
2) непустозначность и непрерывность бюджетных соответ
ствий Ва :SR* \{0}=* SR+.
Первое условие обеспечивается, если выполняются следующие требования:
•выпуклость и компактность Ха а е А;
• выпуклость и полуоткрытость снизу предпочтений Р^ае А. Второе условие обеспечивается обычно выполнением тех или иных требований к элементам рынка. Простейшее требование: соа
является внутренней точкой Ха.
Теорема о конкурентном равновесии имеет следующий вид: если выполнены рассмотренные условия, то конкурентное равновесие существует.
220
10.Моделирование экономического развития и роста
Вмодели Эрроу-Дебре предполагается, что ни один производи тель или потребитель не влияет по отдельности на установление цен ни для одного продукта. Эта предпосылка, соответствующая схе ме свободного рынка при совершенной конкуренции, дает основа ния называть данную конструкцию моделью конкурентного равно весия. Известны попытки использовать эту модель для описания поведения предприятий и ассоциации потребителей при централи зованно устанавливаемых ценах. Многочисленные исследования по развитию и обобщению модели Эрроу — Дебре посвящены разра ботке следующих направлений:
•«динамизация» модели;
•включение в нее инвестиционного процесса;
•учет не только текущих цен, но и ожидания относительно их возможных изменений;
•описание дискретных факторов развития, в частности, появ ление нововведений.
Развитие теории равновесия при негибких ценах привело к воз никновению схемы рационирования ресурсов. Эта схема определя ет правила установления квот на приобретение дефицитных това ров и на поставку неходовых товаров. В рамках этого понятия ис пользуются два вида схем — жесткие и гибкие. Жесткая схема раци онирования ресурсов позволяет указать квоты для каждого участ ника в зависимости от общей суммы прав на приобретение товара. Так, если q — общий объем прав на приобретение товара, то пропор циональная схема рационирования задается системой функций:
где к — индекс потребителя; т — общее число потребителей; ук —
т
неотрицательные коэффициенты пропорциональности, ^ ук = 1.
*=1
Жесткие схемы рационирования ресурсов моделируют карточ ную систему. В отличие от них гибкие схемы рационирования отра жают организацию системы фондирования в производственной сфе ре, где формируемые квоты зависят от заявок участников и, возмож но, от цен. Гибкую схему обычно подчиняют ряду условий:
•квота на потребление товара не должна превосходить заявки соответствующего участника;
221
Моделирование экономических процессов |
^__ |
•если сумма заявок на продажу товара превосходит сумму заявок на его потребление, то все последние должны быть удовлетворены.
В отличие от теории конкурентного равновесия концепции ра ционируемого равновесия не предполагают возможности быстро го уравнивания спроса и предложения за счет одного только меха низма цен, допуская ограничения на объемы покупок и продаж, осуществляемые экономическими агентами. Рационирование мо жет осуществляться посредством введения карточной системы или в рамках определенных правил фондирования ресурсов. Но впол не возможно стихийное формирование схем рационирования как результат взаимодействия совокупности решений агентов в усло виях неравновесия. С этой точки зрения важное значение имеют ожидания участников, их оценка емкости рынков, на которых они оперируют.
Рассмотрим две наиболее разработанные концепции рациониру емого равновесия для простейшей ситуации — экономики обмена. Пусть существует т потребителей с целевыми функциями ик{ск, ак), зависящими от п-мерных векторов потребляемых благ ск и объемов сбережений ак. Каждый потребитель к обладает неотрицательным вектором товаров оак и количеством денег $к > 0, может продавать и покупать товары по фиксированным ценам р. Цены не предполага ются равновесными и для обеспечения баланса участникам задают ся ограничения дк - (gki) на объемы приобретаемых на рынке благ, а также ограничения hk = (h^) на объемы поставок другим агентам. Потребитель к осуществляет свой выбор, решая следующую задачу:
ик(ск,ак)-*тах,
рск+ак=рщ+$к, |
ск>0, <х*>0. |
Используя ограничения в качестве инструмента управления, можно (многими способами) добиться сбалансированности в систе ме. Однако особое значение имеют состояния
z ={Ck,ak,gk,hk}k=ll
удовлетворяющие следующим четырем условиям:
222
10.Моделирование экономического развития и роста
тт
а) |
Xе * = X ю * |
(сбалансированность); |
|
б) |
(с*к,а.1) — |
при g^ = gl,hk=hl, kel:m |
(индивидуальность |
|
выбора); |
|
|
в) д'к > 0, hi < О (суверенность выбора);
г) не существует продукта i и агентов к, г таких, что одновре менно выполняются равенства:
ck,i -®k.i ~9k,i> cr,i - Ц у = K.i
(продукты разделены на дефицитные и недефицитные). В силу условия в:
•не допускается принуждения к продаже и закупке ресурсов;
•объемы приобретаемых и поставляемых благ можно ограни чивать сверху, но не снизу.
Принцип, отраженный в условии г, косвенным образом опреде ляет понятие дефицитного и неходового ресурса. Будем называть товар дефицитным в данном состоянии, если для некоторого участ ника достигается верхнее ограничение по этому товару и неходо вым — если нижнее. Согласно условию г товар не может быть и неходовым, и дефицитным одновременно.
Вразных работах состояния, удовлетворяющие условиям а-г, называют «равновесными», «равновесиями при негибких ценах», «ST-равновесиями» (в честь Кейнса), «^-равновесиями» (в честь Дреза), «приемлемыми состояниями». Ниже используется последний тер мин, чтобы зарезервировать понятие равновесия для других целей.
Вприемлемом состоянии ни один экономический агент не стремится потратить деньги на покупку неходового блага и не согласится продать дефицитный товар по действующим ценам, что бы увеличить сбережения. Приемлемое состояние нельзя улуч шить путем парного обмена какого-либо товара на деньги. Вместе
стем, имеются примеры, когда ни одно из возможных в системе приемлемых состояний не является Парето-оптимальным на мно жестве, задаваемом балансовыми условиями и бюджетными огра ничениями.
Рассмотрим модель с двумя товарами (кроме денег) и двумя уча стниками, максимизирующими линейные функции полезности:
223
Моделирование эиономичесних процессов |
|
Щ(Ск>ак) = <*клСкл+ак.2<:к.г + Ъкак' * = 1,2, |
ск=(скл,скг). |
Цены и начальные запасы товаров и денег у каждого агента пола гаем равными единице. Пусть ак1 > акг >Ьк>0,т. е. оба участника предпочитают первый продукт второму, а второй продукт — деньгам. Тогда, как легко проверить, существует единственное приемлемое состояние. В нем каждый агент потребляет свои собственные ресур сы. Вместе с тем, если два вектора (акл -Ък ,акг - fy), к = 1,2 не про порциональны, то это состояние не является Парето-оптимальным в указанном выше смысле.
Другие примеры показывают, что приемлемых состояний может быть бесконечно много. Принципы а-г являются качественными и оставляют слишком много степеней свободы, если не указаны коли чественные правила распределения дефицитных ресурсов (между покупателями) и спроса на неходовые товары (между продавцами). Такие правила (схема рационирования) могут быть заданы двумя
наборами функций fKi и (pfc? i е 1 : п, к е 1 : т. Функция Д,(<^) указывает ограничение сверху на объем закупки товара i участни
ком к, если сумма всех прав на приобретение товара i равна Q. Точно также функция Ф^,(т1,) определяет максимальный объем про даж товара i для агента к, если сумма всех прав на продажу равна г\{. Такие схемы рационирования называются жесткими, в отличие от гибких, учитывающих заявки участников.
Дополним условия а-г следующим требованием: ограничения на любой ресурс i должны быть согласованы со схемой рациониро вания, т. е.
п |
п |
Як.г = fk.i(X Sk.j )' hk.i = Ф/W(Xhlj ) •
Дрез допускает, что цены могут меняться в некотором диапазо не между заданными верхними р = (pt-) и нижними р = (р{) уровня ми. В связи с этим он вводит дополнительный постулат: цена дефи цитного товара находится на максимальном уровне, а неходового — на минимальном, т. е.
Р<Р ^р,
224
10, Моделирование экономического развития и роста
p-=Pj, |
если c'u-unj = gkii, |
|
Pi = р,-, если cki |
-(Ojcj =hk,i при каком-либо к. |
|
Если набор переменных Pj,{cktak,gk,hk}f |
удовлетворяет ус |
ловиям а-е, то он называется равновесным с жесткой схемой рацио нирования. Такие равновесия существуют для широкого класса си туаций.
Бенасси предложил иную концепцию рационируемого равнове сия, пригодную, в частности, для описания систем фондирования ре сурсов, где объем выделяемых лимитов зависит от заявок участников. Обозначим через dfcl- величину заявки участника к по товару i. Поло жительное значение dw соответствует заявке на потребление, а от рицательное — заявке на поставку. Пусть Д, - (dxi,..., dm,) — вектор заявок по товару i. Тогда схему рационирования задается набором функций />,,(Д,), удовлетворяющих трем условиям:
т
1) £ h.i (Ai)н 0 (сбалансированность);
2)^(Д,)^, - >0 и Fki =dkj, т. е. поставляемое или приобрета емое количество имеет тот же знак, что и заявка, и не превосходит
еепо абсолютной величине;
3)если OLTi{^jiTii йО, то Fki =dkii, т. е. участник на «короткой стороне» рынка1 реализует свой план.
Например, неравенства dki > 0, ]£dr>1- < 0, означают, что участ-
Т
ник предъявляет спрос на товар, предложение которого избыточно. В этом случае спрос должен быть удовлетворен.
Под воздействием схемы рационирования каждый участник dk формирует ограничения dk и hk своей задачи. Его прогноз задается парой вектор-функций Gk - (Gki), Hk - (Я^,), зависящих от заявок участников. Предполагается, что эти функции удовлетворяют сле дующим требованиям при всех Д,-:
1Короткая сторона рынка (короткая позиция) ситуация, при которой по данному товару участник продает больше, чем покупает, так что ею рабочий запас товара истощается.
225
Моделирование экономических процессов
4)ег,.(Д,.)>0,Яи(Д,)<0;
5)6и(А{)>Рк4(А{)>НК;(А{);
6)если dkJ >Fki{Ai),TO Gk>I(A,) = i>(,(A,); если dkJ <Ри(А,),то
Яи(А,-) = ^(А*).
Таким образом, прогнозы возможных объемов покупок и продаж могут быть больше количеств, предусмотренных схемой рациониро вания F^j. Однако они равны этим количествам, если заявки не удов летворяются. Пара функций Gk, Hk называется гибкой схемой рацио нирования.
Рассмотрим задачу потребителя, отбросив ограничения на то вар i: fy,- < cki < gki. Пусть D^ = (g^ hk) — компонента i решения модифицированной таким образом задачи. Функция Dki называется активным спросом агента к на товар i. Считается, что она определе на однозначно. Предполагается, что заявки участников равны их активному спросу.
Равновесие с гибкой схемой рационирования называется набор
переменных (р,- ,{c'k,ak,gl,f^.}f), |
удовлетворяющий условиям: |
|
9k.i = Gk.i (A*i )> K,i = Hk,i (A;) • |
||
9k = (9k.i)> hk = (hh)< A'i = (du— |
-d'm,ih |
|
4,1=%(ЛЛ,!-)' |
|
|
(c*k,a*k)—решения при gk -g*k, |
hk=lik, kel:m, |
i'el:n. |
В равновесии активный спрос воспроизводится, порождая бла годаря схеме рационирования ограничения, которые поддерживают его на равновесных значениях.
Равновесие с гибкой схемой рационирования существует при весьма общих предположениях о функциях и^ F^ G^ Hk. В силу этих предположений и свойств 1-6 в равновесии выполнены требования а-в, фигурирующие в определении приемлемого состояния. Однако требование г удовлетворяется не всегда.
Концепции рационируемого равновесия находят применение при исследовании безработицы, инфляции, несовершенной конку ренции и многих других экономических проблем.
226
10, Моделирование экономического развития и роста
10.4. Модели расширяющейся экономики
Описания экономической динамики, в которых технологические возможности и целевые установки неизменны во времени, относят ся к моделям расширяющейся экономики. Основным методом их ис следования является изучение стационарных траекторий, или тра екторий сбалансированного роста. Первоначально анализ стацио нарного роста развивался по двум независимым направлениям:
1)в одно- и двухпродуктовых моделях, в которых технологи ческие возможности описывались производственной функ цией;
2)в многопродуктовой линейной модели, построенной и иссле дованной Дж. Фон Нейманом.
Модель Неймана включает п продуктов и т способов их произ водства. Каждым способом при единичной его интенсивности в те чение единичного интервала времени производится набор про дуктов Ь- = (bj •,..., b •). При этом затрачивается набор продуктов а = (а.у,..., aaJ),J el: т. Все способы могут применяться с любыми неотрицательными интенсивностями. Из п-мерных векторов-столб цов а- и b составляются матрицы затрат А = (a,j) и выпуска В = (by). Модель Неймана позволяет учесть непроизводственное потребление только в неявной форме. Элементы матрицы затрат А могут включать часть, направляемую на потребление, например, А = А' + С, где a'j — собственно технологические затраты, а с- — векторы потребления на единицу интенсивности способаj . Векто ры с составляют матрицу С.
Траекторией (планом), выходящей из точки у0 = В • zv называет ся последовательность m-мерных векторов интенсивности {zt}, t e 1: Т, удовлетворяющих балансовым уравнениям
AzM<Bzt, zt>0, te0:(7-l).
При интенсивностях zt непроизводственное потребление в ин тервале t составляет С • zt.
Стационарной траекторией, или траекторией сбалансированно го роста, называется такая последовательность zv что zt = af • z, где z — m-мерный вектор, а a — положительное число. На стацио нарной траектории неизменны пропорции использования способов
227
Моделирование экономических процессов
затрат и выпуска, экономика растет с постоянным темпом а. Темп а и пропорции z должны удовлетворять условиям
a-Az<Bz, ztO, z*Q.
Особый интерес представляет стационарная траектория, кото рой соответствует наибольший темп — максимальный темп техно логического роста. Его можно найти из решения задачи математи ческого программирования: а -» max. Вектор г", на котором дости гается максимум, называется неймановским.
Системе балансовых соотношений сопоставляется двойственная ей система ценностных соотношений
prAkpt+1-B, pt £0, pt *0,
показывающая, что ценность выпуска не превосходит ценности за трат. Траектория оценок pt такая, что pt - p- t • р, называется стацио нарной. Для нее |3р- А >р- В, р £ 0 , р * 0 .
Оценки р*, удовлетворяющие этим условиям при минимальном р, называются неймановскими ценами. Если модель экономики нераз ложима, т. е. для производства любого продукта прямо или косвен но используются все продукты, то справедлива теорема двойствен ности: тахсс - тиф - ос0. При этом неймановские цены стимулиру ют неймановскую траекторию роста:
ct0p* •Az^.p" Bz
длявсехг^О, причем а 0 р * - A- z -p Bz .
Другим примером расширяющейся экономики являются однопродуктовые модели с линейно однородными производственными функциями. Примером однопродуктовой модели долговременного экономического роста является модель Рамсея. В ней поток нацио нального дохода создается имеющимися в данный момент производ ственными фондами и используемыми трудовыми ресурсами. Этот поток делится на потребляемую и накапливаемую части. Последняя определяет прирост производственных фондов, т. е.
F(K,L) = C + K',
где К' — наличные производственные фонды, С — интенсивность потребления, I — используемые трудовые ресурсы. Все показатели
228
10, Моделирование экономического развития и роста
относятся к моменту времени L Производственная функция F не меняется со временем, т. е. технический прогресс отсутствует.
Английский экономист Ф. П. Рамсей поставил вопрос о том, ка кую часть национального дохода общество должно сберегать в це лях накопления, и тем самым впервые сформулировал задачу пла нирования экономического роста как оптимизационную. Ее целевая функция определялась как интегральная полезность за время суще ствования экономической системы; полезность в каждый момент равнялась разности между уровнем удовлетворения потребностей ЩС) и «бременем труда» V(L)). При этом для упрощения было при нято, что численность населения не меняется, вклад в целевую фун кцию потребления в различные моменты времени рассматривается с одинаковым весом, т. е. дисконт равен 1. Очевидно, что интеграль ная полезность за период (0, °°) окажется бесконечной и выбор ра циональной политики сбережений будет невозможен. Чтобы пре одолеть эту трудность, Рамсей допускал, что функции F, U, V предпо лагают достижение максимального уровня полезности в некоторой момент — уровня «блаженства». Теперь можно было бы перейти от максимизации интегральной полезности к минимизации неудовлет воренной потребности:
до
j(B-U(C) + V(L))dt-*mn.
о
Задача отыскания К, L, С при заданном К0 представляет собой модель Рамсея. Рамсей показал, что произведение сбережений на предельную полезность потребления равно в каждый момент вре мени объему неудовлетворенной потребности (закон Кейнса — Рамсея), т. е.
F(K, L)-C)- U'(C) = В - (U(C) - V(L).
dF
Анализ модели показал, что V'(L) = U'(C)—-, т. е. предельное
аК
«бремя труда» равно произведению его предельной производитель ности и предельной полезности потребления, а также
229