Обобщенная теорема Парсеваля

. (1.15)

При и получаем (1.14).

Ортонормированность базиса и его образа

Если функции ортонормированны

, (1.16)

то их фурье-образы также ортонормированны

. (1.17)

В (1.14) полагаем и .

Интегральная теорема

Прямое и обратное преобразования восстанавливают непрерывную функцию

,

. (1.20)

Доказательство: Из

, (1.1)

, (1.2)

с заменой порядка интегрирований

,

где использованы свойства дельта-функции:

,

.

Следовательно, для непрерывной функции получаем операторы тождественного преобразования:

, . (1.20а)

Теорема о парах функций и

Если

,

то

. (1.21)

Доказательство:

Используем (1.1), заменяем аргумент , полученный интеграл сравниваем с (1.2)

.

Преобразование Фурье

, (1.1)

. (1.2)

Свертка функций

, (1.22)

где выполнена замена аргумента

с параметрами

, ; , ; ,

и использовано

.

Физический смысл свертки для линейного и стационарного преобразователя сигналов

f₁(t') – входящий сигнал (например, ЭДС) в момент t',

f₂(t) – выходящий сигнал (например, ток) в момент t.

Выполняются:

1) принцип суперпозиции – входящие сигналы для разных моментов времени преобразуются независимо, не влияя друг на друга, поэтому преобразование линейное;

2) принцип причинности – если входящий сигнал включается в момент t', то выходящий сигнал отсутствует при более ранних временах t < t';

3) принцип однородности – реакция преобразователя в момент t на сигнал, поступивший в момент t', не изменяется при сдвиге начала отсчета времени, поэтому реакция зависит от (t – t'). Однородность по времени выполняется для стационарного преобразователя с постоянными параметрами.

Принципам удовлетворяет свертка

,

где

– функция Грина – реакция преобразователя на импульсный входящий сигнал;

– функция включения;

– аппаратная функция.

Выходящий сигнал линейного стационарного преобразователя является сверткой входящего сигнала и функции Грина преобразователя.

Теорема о свертке

Фурье-образ свертки функций равен произведению их фурье-образов

. (1.24)

Доказательство:

.

Расцепляем интегралы заменой аргумента , и учтитываем

.

Выполняется

. (1.25)

Доказательство:

.

Под интегралом сделана замена .

Теорема о произведении

Фурье-образ произведения функций равен свертке их фурье-образов

,

. (1.26)

Доказательство:

Выполняем фурье-преобразование (1.25)

и используем интегральную теорему (1.20)

.

Теорема о дифференцировании

При дифференцировании функции ее Фурье-образ умножается на

. (1.35)

Доказательство:

Формулу

, (1.2)

дифференцируем n раз

.

Сравниваем результат с (1.2), получили для функции Фурье-образ .

Умножение функции на

Умножение функции на приводит к дифференцированию ее Фурье-образа

,

. (1.37)

Доказательство:

Используем

, (1.1)

получаем

.

Сравнение результата с (1.1) дает (1.37).

Преобразование периодических функций

Для функции с периодом L

спектр является дискретным, и получается разложением функции по базису гармонических функций с периодами , где

Базисы из комплексных периодических функций

,

Периодическими комплексными функциями с периодом являются

.

Доказательство:

,

где учтено

,

Получаем базис

• , – период .

Переход к другому периоду осуществляется заменой аргумента:

• : , – период L.

• : , – период .

Базисы из вещественных периодических функций

,

, ,

Ортонормированность базисов

Для базиса выполняется условие ортонормированности

.

, :

.

, :

, (1.43)

где сделаны замены

, .

Выполняется:

,

,

. (1.45)

,

,

. (1.46)

Преобразование Фурье комплексной функции с периодом L

По ортонормированному базису периодических гармонических функций

разлагаем и получаем ряд Фурье

. (1.48)

Ищем коэффициенты , выполняя

.

Переставляем суммирование и интегрирование, и учитываем

. (1.43)

Все слагаемые суммы дают нули кроме слагаемого . Переобозначая , получаем

. (1.49)