Логарифмический тренд
Уравнение логарифмического тренда применяют в том случае, когда изучаемый процесс приводит к замедлению роста показателя , но при этом рост не прекращается, а стремится к какому-нибудь ограниченному пределу. В этом случае ни гиперболическая форма тренда, ни парабола с отрицательным ускорением не подходят. Логарифмы возрастают значительно медленнее, чем сами числа (номер периодов t), но рост логарифмов не ограничен. Подбирая начало отсчета периодов (моментов) времени, можно найти такую скорость снижения абсолютных изменений, которая наилучшим образом отвечает фактическому временному ряду.
Логарифмический тренд выражается следующей формулой:
Логарифмический тренд обладает следующими свойствами:
Если > 0,тоуровни возрастают, но с замедлением, а если < 0, то уровни тренда уменьшаются, тоже с замедлением;
Абсолютные изменения уровней по модулю всегда уменьшаются со временем;
Величины ускорения абсолютных изменений имеют знак, противоположный знаку самих абсолютных изменений ,а по модулю постепенно уменьшаются;
Темпы изменения (цепные) постепенно приближаются к 100% при t .
Логарифмический тренд, как и гиперболический, отражает постепенно затухающий процесс изменений. Однако эти тренды имеют существенное различие.
ВАЖНО! Затухание по гиперболе происходит быстро при приближении к конечному пределу, а при логарифмическом тренде затухающий процесс продолжается без ограничений гораздо медленнее.
3. Методы распознавания типа тренда и оценки его параметров
Для правильного выбора типа тренда, который наилучшим образом отражает тенденцию фактического ряда уровней, используют несколько методов распознания типов тренда. Приведем основные, наиболее распространенные методы.
Графический метод.
Графическое изображение во многих случаях позволяет приблизительно выявить тип тенденции временного ряда, но для этого следует соблюдать правила построения графика:
точное соблюдение масштаба, как по величине уровней ряда, так и по времени.
временные интервалы откладывают на оси абсцисс, величины уровней – по оси ординат.
по каждой оси нужно установить такой масштаб, чтобы ширина графика была примерно в 1,5 раза больше его высоты.
если уровни ряда на всем протяжении периода много больше нуля и между собой различаются не более чем на 20 - 30 %, то следует обозначить перерыв на оси ординат, увеличить масштаб так, чтобы меньший из уровней ненамного превышал разрыв оси.
если уровни ряда различаются в десятки, сотни и тысячи раз, ось ординат следует разметить в логарифмическом масштабе, чтобы равные отрезки означали различие уровней в одинаковое число раз.
Графическое изображение не позволяет точно интерпретировать тип тренда, поэтому наиболее часто применяется экспериментальное оценивания (аналитическое).
Проверка статистических гипотез о типе тренда.
Методика проверки статистических гипотез о типе тренда
Предположим, что предварительная гипотеза выбрана на основе теоретических соображений об изучении процесса и на основе графических изображений.
Для проверки данной гипотезы необходимо сформулировать ее математически.
Методику статистической проверки гипотез (для линейного тренда, экспонеты и параболы) разработали Каяйкина М.С., Манелля А.И.
чтобы снизить искажающее тренд влияние колебаний, производится сглаживание ряда уровней
по ряду сглаженных уровней вычисляются цепные абсолютные изменения( для параболы – ускорение, для экспоненты – темпы).
ряд разбивается на несколько равных подпериодов и по каждому вычисляется средняя величина того параметра, постоянство которых подтверждает выдвинутую гипотезу о типе тренда (средний абсолютный прирост для прямой) и среднее ускорение для параболы, средний темп – для экспоненты.
4. методом дисперсионного анализа при многих средних значениях проверяемого параметра или по t –критерию при двух значениях проверяют существенность различия средних значений параметра в разных подпериодах исходного ряда. Если нельзя отклонить гипотезу о несущественности различий средних величин параметра в разных подпериодах, то принимают гипотезу соответствующем типе тренда. Если различия средних признают существенными, гипотеза о данном типе тренда отвергается и выдвигается следующая гипотеза в порядке усложнения: после отклонения прямой линии – об экспоненте; после отклонения экспоненты – о параболе; при отклонении параболы – о других типах линии.