Соблюдение требований, которым должен удовлетворять ряд остатков.

1. Для проверки свойства случайности ряда остатков можно использовать критерий поворотных точек(пиков).Точка считается поворотной, если выполняются следующие условия:

или .

Критерием случайности с 5%-ным уровнем значимости , т. е. с доверительной вероятностью 95%, является выполнение неравенства:

Квадратные скобки означают, что берется целая часть числа, заключенного в скобки.

Рисунок 4.1. – Предпосылки МНК

Если неравенство выполняется, то модель считается адекватной. Далее подсчитывается число поворотных точек p.

2. Для проверки равенства математического ожидания остаточной последовательности нулю вычисляются среднее значение ряда остатков:

Если то считается, что модель не содержит постоянной систематической ошибки и адекватна по критерию нулевого среднего.

Если , то проверяется нулевая гипотеза о равенстве нулю математического ожидания. Для этого вычисляют t-критерий Стьюдента по формуле:

где - стандартное отклонение остатков модели (стандартная ошибка).

Значение t-критерия сравнивают с табличным . Если выполняется неравенство t> , то модель неадекватна по данному критерию.

3. Дисперсия уровней ряда остатков должна быть одинаковой для всех значений х_i (свойство гомоскедастичности). Если это условие не соблюдается , то имеет место гетероскедастичность.

Для оценки гетероскедастичности при малом объеме выборки можно использовать метод Гольдфельда-Квандта, суть которого заключается в том, что необходимо:

- расположить значения переменной х_i в порядке возрастания;

- разделить совокупность упорядоченных наблюдений на две группы;

- по каждой группе наблюдений построить уравнения регрессии;

- определить остаточные суммы квадратов для первой и второй групп по формулам:

; ;

Где n₁ – число наблюдений в первой группе;

n₂ – число наблюдений во второй группе _.

- рассчитать критерий F_расч=S₁: S₂ или F_расч=S₂: S₁ ( в числителе должна быть большая сумма квадратов).

При выполнении нулевой гипотезы о гомоскедастичности критерий F_расч будет удовлетворять F-критерию со степенями свободы γ₁=n₁-m и γ₂=n-n₁-m для каждой остаточной суммы квадратов (где m – число оцениваемых параметров в уравнении регрессии).

Чем больше величина F_расч не превышает табличное значение F-критерия, тем больше нарушена предпосылка о равенстве дисперсий остаточных величин.

4. Проверку независимости последовательности остатков (отсутствие автокорреляции) осуществляют с помощью d-критерия Дарбина-Уотсона. Он определяется по формуле:

.

Алгоритм выявления автокорреляции остатков на основе критерия Дарбина–Уотсона следующий: выдвигается гипотеза Но об отсутствии автокорреляции остатков; альтернативные гипотезы Н₁ и Н₁^ состоят соответственно в наличии положительной или отрицательной автокорреляции в остатках. Далее по специальным таблицам определяются Критические значения критерия Дарбина-Уотсона d_L и d_u для заданного числа наблюдений n, числа независимых переменных модели k и уровня значимости . По этим значениям числовой промежуток [0;4] разбивают на пять отрезков. Вопрос о принятии или отклонении каждой из гипотез с вероятностью (1-) рассматривается в соответствии с рис. 4.2.

Расчетное значение критерия сравнивается с нижним d_L и верхним d_u критическими значениями статистики Дарбина-Уотсона.

Возможны следующие случаи:

1) если d<d_L, то гипотеза о независимости остатков отвергается и модель признается неадекватной по критерию независимости остатков;

2. если d_L<d<d_u (включая сами эти значения), то считается, что нет достаточных оснований сделать тот или иной вывод и нужно использовать дополнительный критерий, например первый коэффициент автокорреляции:

.

Если расчетное значение коэффициента по модулю меньше табличного значения r_1кр, то гипотеза об отсутствии автокорреляции принимается; в противном случае эта гипотеза отвергается;

Е сть положительная автокорреляция остатков. Но отклоняется. С вероятностью Р=(1-) принимается Н1

Зона неопре деленнос ти

Нет оснований отклонять Но (автокорреляция остатков отсутствует)

Зона неопре деленнос ти

Есть отрицательная автокорреляция остатков. Но отклоняется. С вероятностью Р=(1-) принимается Н1

0 d_L d_u 2 4- d_u 4- d_L 4

Рисунок 4.2.– Механизм проверки гипотезы о наличии автокорреляции остатков

3) если d_u<d<2, то гипотеза о независимости остатков принимается и модель признается адекватной по данному критерию;

4) если d>2, то это свидетельствует об отрицательной автокорреляции остатков.

В этом случае расчетное значение критерия необходимо преобразовать по формуле d'=4-d и сравнить с критическим значением d', а не d.

Если в остатках существует полная положительная автокорреляция и r₁ ^ε = 1, то d = 0. если в остатках полная отрицательная автокорреляция и r₁ ^ε = -1, то d = 4. Таким образом, величина d изменяется в переделах: 0 d  4.

5.Проверку соответствия распределения остаточной последовательности нормальному закону распределения можно осуществить с помощью R/S- критерия, который определяется по формуле:

,

где - стандартное отклонение остатков модели (стандартная ошибка).

Расчетное значение R/S-критерия сравнивают с табличными значениями(нижней и верхней границами данного отношения), и если значение не попадает в интервал между критическими границами, то с заданным уровнем значимости гипотеза о нормальности распределения отвергается; в противном случае гипотеза принимается.