- •Теория вероятностей Введение в теорию вероятностей Предмет теории вероятностей
- •Возникновение и развитие теории вероятностей До появления аксиоматики Колмогорова
- •В наше время
- •Необходимость теории вероятностей как науки
- •Возможность анализа случайных явлений
- •Расчет шансов и прогнозирование последствий
- •Примеры практических задач, при решении которых применяется теория вероятностей
- •Игра по крупному
- •Основные понятия и определения Первичные понятия Опыт (эксперимент)
- •Элементарный исход
- •Пространство элементарных исходов
- •Советы по построению пространства элементарных исходов.
- •Определения Подмножества
- •Операции над подмножествами
- •Случайные события
- •Информационный смысл понятия сигма - алгебра
- •Пересечение сигма-алгебр
- •Вероятностное пространство
- •Парадокс определения вероятностного пространства
- •Независимые события
- •Теорема (о непрерывности вероятностной меры)
- •Дискретная вероятностная модель
- •Конечное пространство элементарных исходов
- •Классическая вероятностная модель
- •Связь классической вероятностной модели с комбинаторикой
- •Основная формула комбинаторики
- •Факториал
- •Урновая схема
- •Общее определение вероятности для экспериментов с конечным или счетным числом исходов
- •Дискретное распределение и вероятность
- •Равномерное распределение - классическая вероятностная модель
- •Биномиальное распределение – схема Бернулли
- •Мультиномиальное распределение – схема бросания частиц по ячейкам
- •Геометрическое распределение – испытания до первого успеха
- •Распределение Паскаля – испытания до m-того успеха
- •Пуассоновское распределение - теорема Пуассона
- •Теорема Пуассона.
- •Сходимость по вариации - приближение одних моделей другими
- •Использование понятия независимости для построения моделей. Произведение вероятностных пространств.
- •Примеры построения моделей.
- •Расчет надежности при параллельном соединении элементов.
- •Расчет надежности при последовательном соединении элементов
- •Расчет надежности сложной системы.
- •Замечания к примерам.
- •Условная вероятность
- •Урновая схема
- •Марковская зависимость
- •Формула полной вероятности и формула Байеса
- •Случайные величины
- •Отображения вероятностных пространств
- •Случайная величина
- •Борелевская сигма-алгебра
- •Свойства случайных величин
- •Случайный вектор
- •Распределения случайных величин и векторов
- •Точки непрерывности и разрыва функции распределения
- •Несобственные функции распределения
- •Геометрическое распределение
- •Мера Лебега на прямой.
- •Плотность распределения
- •Вероятностный смысл плотности распределения
- •Бета-распределение на отрезке [0,1]
- •Смеси распределений.
- •Нормальное (гауссовское) распределение.
- •Экспоненциальное (показательное) распределение.
- •Гамма-распределение.
- •Построение меры в конечномерном пространстве Борелевская сигма-алгебра в конечномерном пространстве
- •Определение случайного вектора
- •Мера Лебега в конечномерном пространстве
- •Мера Лебега на квадрате - Задача о встрече
- •Независимые случайные величины
- •Многомерное нормальное распределение
- •Числовые характеристики случайных величин и векторов
- •Интеграл Лебега – математическое ожидание
- •Свойства интеграла Лебега (математического ожидания)
- •Теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Лебега
- •Теорема Лебега о мажорируемой сходимости
- •Неравенства Неравенство Маркова
- •Неравенство Чебышева. Дисперсия
- •Неравенство Коши-Буняковского-Шварца. Ковариация
- •Неравенство Йенсена.Выпуклые функции
- •Неравенство Ляпунова.Моменты
- •Вычисление математического ожидания.
- •Теорема Лебега о замене переменных
- •Вычисление интеграла Лебега на прямой.
- •Вычисление интеграла Лебега в произведении пространств. Теорема Фубини
- •Теорема Фубини
- •Вычисление маргинальных плотностей
- •Вычисление числовых характеристик важных распределений.
- •Абсолютная непрерывность вероятностных мер
- •Абсолютно непрерывные и сингулярные меры и распределения
- •Теорема Радона-Никодима
- •Суммирование независимых случайных величин
- •Сходимость последовательностей случайных величин и их распределений
- •Сходимость по вероятности
- •Сходимость в среднеквадратическом
- •Слабая сходимость распределений
- •Взаимосвязь различных видов сходимости
- •Закон больших чисел в форме Бернулли
- •Теорема Шеффе
- •Преобразование Лапласа и производящая функция
- •Теорема единственности для характеристических функций и характеристические функции важных распределений
- •Предельные теоремы теории вероятностей
- •Классическая схема
- •Закон больших чисел в форме Чебышева
- •Закон больших чисел для схемы серий
- •Закон больших чисел в форме Хинчина
- •Центральная предельная теорема в форме Леви Теорема Леви
- •Теорема Муавра-Лапласа
- •Центральная предельная теорема в форме Ляпунова
- •Условное математическое ожидание, условная вероятность и условное распределение
- •Определение и основные свойства условного математического ожидания
- •Теорема существования и единственности условного математического ожидания
- •Математическое ожидание одной случайной величины относительно другой
- •Свойства условного математического ожидания
- •Определение условной вероятности, условного распределения и условной плотности Условная вероятность
- •Условное распределение
- •Вычисление условной плотности и условного математического ожидания
Теорема существования и единственности условного математического ожидания
Теорема.
Пусть - случайная величина с конечным математическим ожиданием, заданная на
и - некоторая сигма-алгебра.
Тогда условное математическое ожидание существует и единственно с точностью до значений на множествах нулевой меры P.
Доказательство.
Рассмотрим вначале неотрицательную случайную величину . Определим функциюQна сигма-алгебреследующим образом:
Используя свойства интеграла Лебега получаем, что функция Q неотрицательна, счетно-аддитивна поA и. Следовательно это мера. Более того, эта мера абсолютно непрерывна (интеграл по множеству нулевой меры от любой случайной величины равен нулю) относительно сужения мерына сигма-алгебруи следовательно по теореме Радона-Никодима существует и единственна- измеримая производная Радона-Никодима, удовлетворяющая условию:
для любого события
Ясно, что эта производная подходит под определение условного математического ожидания.
Для произвольных случайных величин поступим также, как при определении интеграла Лебега.
Доказательство завершено.
Математическое ожидание одной случайной величины относительно другой
Если сигма-алгебра порождена некоторой случайной величиной, то в этом случае для условного математического ожидания используют обозначение
Заметим, что из определения случайной величины следует, что
Свойства условного математического ожидания
Многие свойства условного математического ожидания аналогичны и, в основном, доказываются аналогично соответствующим свойствам математического ожидания. В дальнейшем в этом пункте равенства и неравенства понимаются в смысле почти наверное и, при необходимости, предполагается существование у случайных величин математических ожиданий и вторых моментов.
=с
Если , то
Если , то
Пусть -G – измерима, тогда
Пусть не зависит от сигма-алгебрыG, (т.е. любые событиянезависимы) , тогда
-неравенство Коши -Буняковского
Если функция выпукла как, то-неравенство Йенсена
Для условных математических ожиданий верны теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Лебега, в частности теорема о монотонной сходимости.
Попробуйте доказать эти свойства. Самостоятельное доказательство поможет лучше понять определение условного математического ожидания |
|
Определение условной вероятности, условного распределения и условной плотности Условная вероятность
Условной вероятностью события A относительно сигма-алгебрыG называется случайная величина
Аналогично определяется условная вероятность относительно случайной величины
Заметим, что условная вероятность это функция двух переменных: (как случайная величина) иA. Нетрудно видеть, что условная вероятность для каждогоявляется почти наверное неотрицательной конечно-аддитивной поAфункцией такой , что
В силу неоднозначности определения условного математического ожидания (с точностью до значений на множествах нулевой вероятности) нельзя утверждать, что условная вероятность для любого фиксированного ( и даже для почти всех) является вероятностью. Однако если, например, ограничиться только распределениями на борелевских сигма-алгебрах, то доказать существование счетно-аддитивного варианта условной вероятности оказывается возможным.