- •Теория вероятностей Введение в теорию вероятностей Предмет теории вероятностей
- •Возникновение и развитие теории вероятностей До появления аксиоматики Колмогорова
- •В наше время
- •Необходимость теории вероятностей как науки
- •Возможность анализа случайных явлений
- •Расчет шансов и прогнозирование последствий
- •Примеры практических задач, при решении которых применяется теория вероятностей
- •Игра по крупному
- •Основные понятия и определения Первичные понятия Опыт (эксперимент)
- •Элементарный исход
- •Пространство элементарных исходов
- •Советы по построению пространства элементарных исходов.
- •Определения Подмножества
- •Операции над подмножествами
- •Случайные события
- •Информационный смысл понятия сигма - алгебра
- •Пересечение сигма-алгебр
- •Вероятностное пространство
- •Парадокс определения вероятностного пространства
- •Независимые события
- •Теорема (о непрерывности вероятностной меры)
- •Дискретная вероятностная модель
- •Конечное пространство элементарных исходов
- •Классическая вероятностная модель
- •Связь классической вероятностной модели с комбинаторикой
- •Основная формула комбинаторики
- •Факториал
- •Урновая схема
- •Общее определение вероятности для экспериментов с конечным или счетным числом исходов
- •Дискретное распределение и вероятность
- •Равномерное распределение - классическая вероятностная модель
- •Биномиальное распределение – схема Бернулли
- •Мультиномиальное распределение – схема бросания частиц по ячейкам
- •Геометрическое распределение – испытания до первого успеха
- •Распределение Паскаля – испытания до m-того успеха
- •Пуассоновское распределение - теорема Пуассона
- •Теорема Пуассона.
- •Сходимость по вариации - приближение одних моделей другими
- •Использование понятия независимости для построения моделей. Произведение вероятностных пространств.
- •Примеры построения моделей.
- •Расчет надежности при параллельном соединении элементов.
- •Расчет надежности при последовательном соединении элементов
- •Расчет надежности сложной системы.
- •Замечания к примерам.
- •Условная вероятность
- •Урновая схема
- •Марковская зависимость
- •Формула полной вероятности и формула Байеса
- •Случайные величины
- •Отображения вероятностных пространств
- •Случайная величина
- •Борелевская сигма-алгебра
- •Свойства случайных величин
- •Случайный вектор
- •Распределения случайных величин и векторов
- •Точки непрерывности и разрыва функции распределения
- •Несобственные функции распределения
- •Геометрическое распределение
- •Мера Лебега на прямой.
- •Плотность распределения
- •Вероятностный смысл плотности распределения
- •Бета-распределение на отрезке [0,1]
- •Смеси распределений.
- •Нормальное (гауссовское) распределение.
- •Экспоненциальное (показательное) распределение.
- •Гамма-распределение.
- •Построение меры в конечномерном пространстве Борелевская сигма-алгебра в конечномерном пространстве
- •Определение случайного вектора
- •Мера Лебега в конечномерном пространстве
- •Мера Лебега на квадрате - Задача о встрече
- •Независимые случайные величины
- •Многомерное нормальное распределение
- •Числовые характеристики случайных величин и векторов
- •Интеграл Лебега – математическое ожидание
- •Свойства интеграла Лебега (математического ожидания)
- •Теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Лебега
- •Теорема Лебега о мажорируемой сходимости
- •Неравенства Неравенство Маркова
- •Неравенство Чебышева. Дисперсия
- •Неравенство Коши-Буняковского-Шварца. Ковариация
- •Неравенство Йенсена.Выпуклые функции
- •Неравенство Ляпунова.Моменты
- •Вычисление математического ожидания.
- •Теорема Лебега о замене переменных
- •Вычисление интеграла Лебега на прямой.
- •Вычисление интеграла Лебега в произведении пространств. Теорема Фубини
- •Теорема Фубини
- •Вычисление маргинальных плотностей
- •Вычисление числовых характеристик важных распределений.
- •Абсолютная непрерывность вероятностных мер
- •Абсолютно непрерывные и сингулярные меры и распределения
- •Теорема Радона-Никодима
- •Суммирование независимых случайных величин
- •Сходимость последовательностей случайных величин и их распределений
- •Сходимость по вероятности
- •Сходимость в среднеквадратическом
- •Слабая сходимость распределений
- •Взаимосвязь различных видов сходимости
- •Закон больших чисел в форме Бернулли
- •Теорема Шеффе
- •Преобразование Лапласа и производящая функция
- •Теорема единственности для характеристических функций и характеристические функции важных распределений
- •Предельные теоремы теории вероятностей
- •Классическая схема
- •Закон больших чисел в форме Чебышева
- •Закон больших чисел для схемы серий
- •Закон больших чисел в форме Хинчина
- •Центральная предельная теорема в форме Леви Теорема Леви
- •Теорема Муавра-Лапласа
- •Центральная предельная теорема в форме Ляпунова
- •Условное математическое ожидание, условная вероятность и условное распределение
- •Определение и основные свойства условного математического ожидания
- •Теорема существования и единственности условного математического ожидания
- •Математическое ожидание одной случайной величины относительно другой
- •Свойства условного математического ожидания
- •Определение условной вероятности, условного распределения и условной плотности Условная вероятность
- •Условное распределение
- •Вычисление условной плотности и условного математического ожидания
Мультиномиальное распределение – схема бросания частиц по ячейкам
Пусть
некоторые параметры (параметры распределения)
Воспользовавшись определением распределения и полиномиальной формулой, нетрудно проверить, что сумма вероятностей всех элементарных событий равна единице
|
Распределение на конечном пространстве, состоящем из целочисленных векторов
называется мультиномиальное (полиномиальное) распределение, если
|
Указанное распределение возникает в следующей вероятностной схеме, называемой мультиномиальная (полиномиальная) схемаилисхема бросания частиц по ячейкам.
Рассмотрим последовательность из n независимых (с точки зрения здравого или физического смысла) опытов (бросание n частиц в N ячеек), в каждом из которых может произойти одно и только одно из событий A1,…,AN (Ai - попадание частицы в ячейку с номером i ). Пусть нам известна вероятность pi, того что событиеАi произойдет в одном опыте (вероятность того, что частица попадет в i-тую ячейку) Поставим задачу найти распределение количества частиц в ячейках после n бросаний -мультиномиальное распределение.
Эта схема обобщает схему выбора с возвращением и схему Бернулли.
Элементарный исход, описывающий эксперимент целиком, естествено определить как n-мерный вектор, каждая координата которого может принимать одно из N значений 1,2,…,N.
Так же как и в схеме Бернулли определим вероятность элементарного исхода так, чтобы исходы отдельных опытов были независимы в совокупности. Дальнейшие рассуждения аналогичны рассуждениям, примененным при выводе формул в примере для схемы выбора с возвращением.
Геометрическое распределение – испытания до первого успеха
Пусть
Используя формулу для суммы членов бесконечной геометрической прогрессии покажите, что таким образом заданная функция является распределением |
Распределение на пространстве натуральных чисел
называется геометрическое распределение, если
|
Указанное распределение возникает в следующей вероятностной схеме, называемой схема испытаний до первого успеха.
Рассмотрим последовательность из независимых (с точки зрения здравого или физического смысла) опытов, в каждом из которых может произойти или не произойти некоторое событие A (“успех”). Пусть нам известна вероятность p , того что событиеА произойдет в одном опыте. Вероятностьтого, что в первый раз событиеA произойдет в k – том опыте дается формулой
Действительно , первые k-1 опытов должны закончиться неудачей (вероятность неудачи 1-p ), а последнее, к-тое, успехом (вероятность p).
Заметим , что в данном случае, мы не строим вероятностное пространство, полностью описывающее схему испытаний до первого успеха. Причиной этого является то, что в качестве пространства элементарных исходов в этом случае естественно, по аналогии со схемой Бернулли, рассмотреть множество бесконечных двоичных последовательностей (ведь неизвестно, когда наступит первый успех). Однако, это множество несчетно и задать на нем вероятность, оставаясь в рамках данной главы, невозможно.
Распределение Паскаля – испытания до m-того успеха
Покажите, что таким образом заданная функция является распределением |
Распределение на пространстве натуральных чисел
называется распределение Паскаля, если
Здесь m – произвольное натуральное число. |
Указанное распределение возникает в следующей вероятностной схеме, называемой схема испытаний до m-того успеха.
Рассмотрим последовательность из независимых (с точки зрения здравого или физического смысла) опытов, в каждом из которых может произойти или не произойти некоторое событие A (“успех”). Пусть нам известна вероятность p , того что событиеА произойдет в одном опыте. Вероятностьтого, что в m – тый раз событиеA произойдет в k – том опыте дается формулой
Действительно , в первых k-1 опытах должен быть ровно m-1 успех и в последнем, к-том, обязательно успех.