Случайные величины

В данной главе рассматриваются отображения одного вероятностного пространства в другое. Важнейшим случаем такого отображения является отображение основного пространства в пространство действительных чисел или векторов. Возникающие при этом случайные величины, случайные вектораи ихраспределенияявляются одними из основных понятий теории вероятностей.

Отображения вероятностных пространств

Дадим формальное определение отображения вероятностного пространства в измеримое пространство

Пусть

основное вероятностное пространство

измеримое пространство

поточечное отображение (функция), ставящее в соответствие каждому элементарному исходу основного пространства точку x пространства X.

Отображение

называется измеримое отображение, если

множество (прообразB)

Покажите, что так определенная функция будет вероятностью

Измеримость отображения гарантирует, что функция

определенная на сигма-алгебре

по формуле

будет вероятностью.

Эта функция называется распределение, индуцированное отображением

или просто распределение

Таким образом с каждым отображением

связано новое вероятностное пространство

.

Докажите это!

Заметим также, что совокупность прообразов всех множеств из B образует сигма-алгебру, которая обозначается и называется сигма-алгебра, порожденная отображением

Мы часто будем пользоваться отображениями пространств, так как каждое такое отображение указывает связь между различными математическими моделями.

Случайная величина

Случайной величиной называется измеримое отображение основного вероятностного пространства в множество действительных чисел. С практической точки зрения случайная величина это числовая характеристика эксперимента. Чтобы дать корректное определение случайной величины, необходимо указать подходящую сигма-алгебру на пространстве действительных чисел. В дальнейшем пространство действительных чисел будем обозначать

а пространство векторов с n действительными координатами

Борелевская сигма-алгебра

Так как сигма-алгебра на пространстве действительных чисел нужна нам для того, чтобы определить на ней вероятность, то естественно включить в эту сигма-алгебру побольше практически важных множеств. Обозначим

минимальную сигма-алгебру, содержащую всевозможные интервалы вида

Эта сигма-алгебра называется борелевская сигма-алгебра (Error: Reference source not found). Она содержит все практически важные множества действительной прямой. Множество, принадлежащее борелевской сигма-алгебре называетсяборелевское множество.

Точка

Очевидно, что любая точка это замкнутый интервал с одинаковыми концами

Открытый интервал

Покажем, что любой открытый интервал содержится в борелевской сигма- алгебре. Действительно, из определения сигма-алгебры следует, что вместе с каждой парой множеств A, B сигма-алгебра содержит пересечение, объединение и, следовательно, разность этих множеств.

Осталось заметить,что

Полуось

Множество рациональных чисел

Множество рациональных чисел – Q принадлежит борелевской сигма-алгебре как объединение счетного числа одноточечных множеств.

Множество иррациональных чисел

Принадлежит борелевской сигма-алгебре как дополнение множества рациональных чисел.

Множество положительности непрерывной функции

Пусть

непрерывная функция. Тогда множество

является борелевским.

Действительно, для любой точки x, в которой непрерывная функция положительна, найдется интервал, окружающий точку x, в котором эта функция также положительна. Для доказательства достаточно представить множество

в виде объединения всех таких интервалов с рациональными центрами.

Другие множества

Пусть

непрерывная функция.

Тогда множества

,,,….

являются борелевскими.

Неборелевские множества

Таким образом, можно привести массу примеров практически важных борелевских множеств. Возникает вопрос: может быть все множества на прямой борелевские?

Обозначим

наибольшую сигма-алгебру, т.е. сигма-алгебру, включающую в себя все подмножества действительных чисел

Тогда, очевидно, что

Но, оказывается, что

Доказательство этого утверждения (пример неборелевского множества на действительной прямой) содержится в курсе функционального анализа.

Варианты определения борелевской сигма-алгебры

Борелевская сигма-алгебра определена как минимальная сигма-алгебра, содержащая все интервалы вида

т.е.

Ясно, теперь, что

и т.д.

Определение случайной величины

Пусть

основное вероятностное пространство

действительная прямая с борелевской сигма-алгеброй

поточечное измеримое отображение, ставящее в соответствие каждому элементарному исходу основного пространства действительное число. Это отображение называется случайная величина.

Вероятностная мера, определенная на борелевской сигма-алгебре по формуле

называется распределением случайной величины.

Необходимые и достаточные условия измеримости

Пусть D – некоторый набор подмножеств действительной прямой, такой что

Для того, чтобы отображение

было случайной величиной, необходимо и достаточно, чтобы для любого множества

Доказательство.

Необходимость очевидна.

Множества E такие, что

образуют сигма-алгебру, которая содержит в себе D. Следовательно, она совпадает с борелевской.

Доказательство закончено.

Борелевская функция

Заметим, что в определении случайной величины не участвует вероятность. Поэтому в этом определении не требуется указывать, какая вероятность действует на основном пространстве.

Случайная величина, заданная на основном пространстве, которое является действительной прямой с борелевской сигма-алгеброй, называется борелевская функция.

Примеры борелевских функций

Любая непрерывная функция является борелевской, т.к. любое множество вида

является борелевским

и

Функции

поэтому тоже являются борелевскими.

Если f и g – две борелевские функции, то

тоже борелевские, т.к.

Аналогично, если

- последовательность борелевских функций, то

и

-борелевские функции (может быть принимающие значения

)

Заметим, что множество значений x, для которых существует предел последовательности также явялется борелевским.

Примеры случайных величин

Индикатор события

Пусть A –случайное событие. Тогда функция

является случайной величиной и называется индикатор событияA

Верно и обратное – любая случайная величина принимающая значения 0 или 1 является индикатором некоторого события A.

Часто, для краткости, будем пользоваться обозначением

Простая случайная величина

Пусть

полная группа событий.

Случайная величина

называется простая случайная величина.

Верно и обратное – любая случайная величина принимающая конечное число значений

является простой .

Дискретная случайная величина

Пусть

полная группа событий.

Случайная величина

называется дискретная случайная величина.

Докажите!

Верно и обратное – любая случайная величина принимающая конечное или счетное число значений является дискретной.

Приближение измеримых функций простыми

1.Любую неотрицательную случайную величину

Проверьте сходимость!

можно представить в виде предела последовательности простых случайных величин следующего вида

которая сходится к исходной случайной величине в каждой точке монотонно снизу

Так как любую случайную величину можно представить в виде разности ее положительной и отрицательной части

где

Докажите!

которые также являются случайными величинами,

и

то сказанное выше относится (за исключением монотонности сходимости) к любой случайной величине, т.е.

2.Более того, пусть

- сходящаяся к некоторой функции последовательность случайных величин

тогда

-тоже случайная величина. Действительно,