4.3.1 Пособия для усвоения числа, счета, операций с числами и свойств арифметических действий

В I - IУ классах одним из ведущих является вопрос формирования понятия числа, устной и письменной нумерации, операций над целыми неотрицательными числами. Учащиеся I класса должны усвоить, что всякое натуральное число является результатом счета и есть элемент натурального ряда. До их сознания необходимо довести тот факт, что результат счета не зависит от индивидуальных особенностей и положения в пространстве пересчитываемых предметов. Отсюда вытекает возможность и необходимость использовать на данном этапе разнообразный счетный материал и некоторые другие виды пособий.

Счетный материал - это палочки, предметные картинки, модели геометрических фигур, различные другие предметы.

Счетные палочки (20 штук) для индивидуального пользования изготовлены из пластмассы или древесины. Учитель заготавливает палочки демонстрационные яркой окраски, длиной от 25 до 30 см. Это пособие способствует пониманию состава и процесса образования числа, помогает установить взаимнооднозначное соответствие между элементами данных множеств.

Предметные картинки - это карточки с изображением фруктов, овощей, предметов домашнего обихода, игрушек, животных, видов транспорта. Используются они как демонстрационный материал и еще раз убеждают детей, что число есть особая характеристика множества предметов. Комплект предметных картинок продается в коробке; используется в классе с помощью наборного полотна; широкое применение находит при решении и составлении задач, иллюстрируя данный в задаче сюжет. Так как демонстрируемое число карточек подсказывает результат производимой операции с числами, применять предметные картинки целесообразно только на начальном этапе, пока учащиеся еще не усвоили состава чисел.

Модели геометрических фигур учитель и учащиеся изготовляют на уроках труда; можно также использовать приложение к учебнику математики (вариант демонстрационного характера есть в серии таблиц М.И. Моро «Демонстрационный дидактический материал для I класса»). Это модели квадрата, треугольника, прямоугольника, круга. Различные величина и окраска моделей позволяют их применять на уроках в самых разнообразных вариациях: 3 синих квадрата и 2 желтых, 4 больших треугольника и 2 маленьких, 5 прямоугольников и 6 кружочков и т. д.

Модели монет. Понятие о составе числа учащиеся получают с помощью любого счетного материала. Самыми удобными оказываются модели монет: 1 и 3, 2 и 5, 3 и 2 копейки и т. д. Преимущественное их отличие от палочек, предметных картинок и набора прочих предметов, заключающееся в том, что нельзя найти результат присчитыванием, позволяет использовать их на более позднем этапе обучения. Работа с монетами при решении задачи требует навыка выбора действия. Модели монет для индивидуального пользования имеются в приложении к учебнику математики, а демонстрационный вариант учитель обнаружит в серии разрезных таблиц для I класса. В I и II классах можно использовать модели достоинством в 1, 2, 3, 5, 10, 15 и 20 копеек.

В результате работы со счетным материалом у учащихся происходит формирование понятий «больше», «меньше», «столько же», «увеличить на ...», «уменьшить на ...». Например, «Положите на столе (укрепите в наборном полотне) 5 квадратов и возьмите столько же палочек»; «Возьмите три карточки с изображением автомашин, а карточек с изображением тракторов - на 2 больше» и т. д.

Использование счетного материала позволяет иллюстрировать ситуацию, данную в решаемой задаче: На одной стоянке было 3 автомобиля, на другой 4. Сколько было автомобилей на двух стоянках? В наборном полотне следует установить 3 и рядом 4 карточки с изображением автомобилей. При решении задачи: «На одной стоянке было 3 автомобиля, а на другой на 1 автомобиль больше. Сколько автомобилей было на второй стоянке?», 3 карточки надо поставить в верхнем ряду наборного полотна. Затем 4 карточки постепенно выставить в нижнем ряду: сначала 3 (столько же), потом одну (на 1 больше).

Счеты. Школа приобретает счеты классные и счеты ученические. Первые выполняют в большей мере обучающую функцию, вторые формируют навык работы со счетным прибором и используются при выполнении самостоятельных заданий. Счеты находят самое широкое применение во всех четырех начальных классах и являются одним из основных атрибутов учебного помещения.

При изучении первого десятка косточки играют роль счетного материала, а расположение их параллельными горизонтальными рядами можно использовать при, сравнении двух и более чисел (5 и 2; 10 и 7; 3 и 3; 4 и 8 и т. д.). Десять проволок могут одновременно проиллюстрировать состав числа 10: 1 и 9, 2 и 8, 3 и 7 и т.д. Позже, на основе знания состава числа (10 - это 1 и 9, 10 - это 9 и 1), дети придут к пониманию переместительного свойства сложения.

Действия сложение и вычитание в пределах десятка и сотни, прибавление числа к сумме и суммы к числу, вычитание числа из суммы и суммы из числа учитель и дети производят сначала на демонстрационных счетах. Потом эти действия учащиеся выполняют самостоятельно на ученических счетах. Счеты помогают сравнивать различные выражения: 5+2 и 5+3; 7 - 4 и 7 - 1; 5+4 и 2+4; 10 - 2 и 8 - 2 и др. При изучении нумерации в пределах сотни каждая проволока - десяток (всего 10 десятков), каждая косточка - единица.

В начальных классах счеты используют при изучении нумерации чисел в пределах 1000, а также при изучении десятичного состава этих чисел (1000 - это 10 сот., 300 - 3 сот., 800 - 8 сот., 351 - это 3 сот. 5 дес. 1 ед.; 926 - 9 сот. 2 дес. 6 ед.), при образовании новых чисел путем добавления одной единицы к предыдущему числу (без перехода через разряд: 482+1=483, и с переходом через разряд: 489+1=490, 399+1=400, 999 + 1 = 1000), при сложении и вычитании чисел различного разрядного состава, при умножении и делении круглых сотен.

В основе изучения многозначных чисел лежит навык записи и чтения числа. Поэтому во II - IУ классах счеты используются как многоразрядный абак: три проволоки класс единиц, три другие (расположенные выше) - класс тысяч, затем класс миллионов и десятая проволока (самая верхняя) - первый разряд класса миллиардов. Каждые десять косточек на предыдущей проволоке, можно заменить одной косточкой на последующей проволоке. Отсутствие косточек свидетельствует о том, что число единиц данного разряда равно нулю. (В таблице разрядов и классов на этом месте ставится карточка с цифрой нуль.) Уже на первых уроках учитель учит технике работы со счетами: все косточки находятся в правой стороне, рабочая сторона - левая. Справа налево учащиеся откладывают то число, которое называет учитель. Например, 3208. На второй проволоке косточки не откладываются, так как в числе отсутствует разряд десятков. На счетах производится сложение многозначных чисел, и их вычитание с учетом соответствия каждой проволоки одному из разрядов. В примере 638+5124 на второй проволоке надо добавить косточку вместо десятка, который входит в состав числа 12 (12 получили в результате сложения единиц: 8 и 4). На первой проволоке останется 2 косточки.

Сложение и вычитание на счетах предполагает прочное знание состава чисел в пределах 20, особенно при выполнении операций с переходом через десяток (12 - это 8 и 4, 12 - это 10 и 2).

Полезны упражнения такого вида: учитель откладывает по 6 косточек на проволоках: 1-й, 4-й, 7-й, 10-й, дети читают: 6 006 006006. Хотя на каждой из проволок отложено равное по числу количество косточек, они обозначают разные единицы: 6 миллиардов, 6 миллионов, 6 тысяч, 6 единиц. Параллельно производится запись этого числа в тетради и фиксация его в таблице разрядов и классов. Такая работа помогает в усвоении поместного значения цифр

Названные выше упражнения учащиеся производят на индивидуальных счетах. Только здесь возможности несколько шире: ученические счеты имеют не 10, а 12 проволок. Кроме того, в отличие от классных счет, где деление на классы достигается большим интервалом между 3-й и 4-й, 6-й и 7-й, 9-й и 10-й проволоками, на ученических имеются слева три штриха против промежутков между теми же проволоками. Такое четкое деление на классы помогает ориентации на приборе.

Масштабную ученическую линейку полезно применять при изучении натуральных чисел, устной и письменной нумерации. В этом случае линейка выступает в роли модели числового луча. С помощью линейки легко сравнить числа, найти место числа на числовом луче, определить местоположение числа относительно чисел больших и меньших. Например, число 17 находится между числами 16 и 18, оно больше числа 16 и меньше числа 18.

Уже в первом классе линейка используется как счетный прибор для получения суммы и разности.

Абаки двухрядные и трехрядные используются при изучении нумерации, сложения чисел с переходом через десяток и состава числа 10. Конструкции абаков различны. Наиболее распространены приспособления в виде двух или трех вертикальных рядов кармашков (по 10 в каждом), расположенных на одной плоскости. Рабочим счетным материалом являются плоские кружочки, квадратики и другие фигуры. Для двухрядного абака изготавливают двухцветный счетный материал (одна плоскость, например, синего цвета, противоположная - красного).

При объяснении сложения и вычитания в пределах 20 с переходом через десяток каждое слагаемое представлено фигурками двух цветов (1-е слагаемое - несколько синих квадратов, 2-е слагаемое — несколько красных квадратов), уменьшаемое и вычитаемое даны одной краской. Сложение и вычитание в пределах 20 производятся при условии хорошего знания состава чисел в пределах 10. Выполняя упражнения, дети одновременно усваивают состав числа.

При изучении чисел в пределах 100 можно использовать трехрядный абак: три ряда кармашков соответствуют разрядам единиц, десятков, сотен. Таким образом, абак имитирует 3 проволоки счетов: один кружок в правом ряду - одна единица, один кружок в среднем ряду - один десяток, один кружок в левом ряду - одна сотня. Заполнив весь правый ряд, 10 кружков из него убирают и заменяют одним в среднем ряду я т. д.

Большое место абаки должны занять при индивидуальной работе с учащимися, которым с трудом дается нумерация.

Набор карточек с цифрами от 0 до 9 и знаками математической символики издается в демонстрационном варианте и для индивидуального пользования. Приспособлением для работы с карточками является наборное полотно. Хранятся они в цифровой кассе. Получая понятие о числах, учащиеся знакомятся со способом их записи. На первых этапах этой цели служит набор карточек с цифрами и знаками математической символики. Их в комплекте 150, размер 10 X 6 см. Каждая цифра или знак повторяются от 4 до 12 раз. Это дает возможность детям, еще не овладевшим навыком быстрого письма, «записывать» математические выражения, уравнения, равенства, неравенства, фиксировать зависимость между результатами действий и их компонентами. Карточки помогают также знакомить детей с позиционностью десятичной системы счисления: карточка с цифрой 4 на первом месте справа - 4 единицы, та же карточка на втором месте справа (первое место справа занимает другая карточка) - 4 десятка и т. д.

Если к набору добавить карты с названиями компонентов действия (12 карт размером 10 X 40 см), то с помощью наборного полотна, в котором укрепляются карты и карточки с цифрами, дается первое представление о функциональной зависимости. Заменив один из компонентов или результат карточкой с х., учитель помогает учащимся сформировать навык отыскания неизвестного. Учащиеся знакомятся с правилами отыскания слагаемого, уменьшаемого и вычитаемого, множителей, делимого и делителя, суммы, разности, произведения и частного, обнаруживают, что с изменением одного из компонентов меняется результат действия. Кроме того, набор карточек с цифрами поможет в формировании представления о переместительном свойстве умножения и покажет связь между действиями умножения и деления: 6:3 = 2, потому что 3*2 = 6, или 2*3 = 6. Достаточно поменять местами карточки с цифрами 2 и 3, 3 и 6, карточки со знаком деления и знаком умножения. Такая работа снимает необходимость записей, отнимающих много времени.

Не менее эффективно применение комплекта карточек с цифрами и знаками математической символики при знакомстве и решении уравнений вида: 2 + х. = 8; 9 – х. = 6; х. - 4 = 6 и т. п. Решаются они на основе знания зависимости между компонентами и результатами действий. Карточка с х. заменяется карточкой с соответствующей цифрой.

Демонстрационный дидактический материал для I класса состоит из 10 разрезных таблиц. На них изображены цифры, знаки математической символики, предметы счета, модели геометрических фигур, модели монет и наиболее часто употребляемые в I классе наименования (л, м, кг и др.). Таблицы наклеиваются на картон и разрезаются. В таком виде они полностью заменяют некоторые из названных выше пособий («подвижные» карточки с цифрами, предметные картинки) и избавляют учителя от необходимости изготовлять демонстрационный вариант геометрических фигур. Использование карточек с записью наименований помогает детям быстро фиксировать на наборном полотне решение задач.

Приспособления для использования плоскостного «подвижного» материала. Карточки со знаками математической символики и плоскостной счетный материал нельзя использовать без наборного полотна.

Наборное полотно из картона представляет собой 4 плоскости размером 45 X 40 см с тремя планками. За планки вставляется карточка с изображением яблока, моркови, цифры и пр.

Наборное полотно из дерева. На Всесоюзном конкурсе учебно-наглядных пособий оно получило вторую премию и рекомендовано к промышленному производству. Предложен такой вид наборного полотна учителем эстонской школы В. Пугал. Оно представляет собой брусок с рядом параллельных пазов. Брусок можно изготовить в школьной мастерской из дерева (ширина паза не должна превышать толщину картона, из которого изготавливаются карточки и счетный материал).

Магнитная доска представляет собой лист жести (100 Х 100 см или 80 X 120 см) в деревянной раме. На нем при помощи магнитиков можно располагать материал на любом уровне и в разной последовательности. Изготовить такое приспособление можно в школьной мастерской. Достаточно к классной доске прикрепить лист жести в левой ее части (на ¼ часть доски) и окрасить его в тот же цвет, что и доску. На жести допустимо работать и мелом.

Таблица разрядов и классов (демонстрационный вариант) вертикальными графами разделена на классы и разряды (4 класса, 12 разрядов), внизу нее помещена горизонтальная планка для крепления карточек с цифрами от 0 до 9, которые комплектуются вместе с таблицей. Наиболее эффективно применение пособия при изучении нумерации чисел в пределах 1000 и многозначных чисел.

Таблица умножения. После формирования представления об умножении как действии, которое позволяет найти сумму нескольких равных слагаемых, вводится понятие о переместительном свойстве умножения. И только затем можно познакомить детей с таблицей умножения. Таблица включает все случаи умножения однозначного числа на однозначное число. Она используется при изучении табличного и внетабличного умножения. Таблица носит справочный характер и поэтому должна быть перед глазами учащихся (крепится на передней стене класса) при прохождении многих тем программы, например при изучении единиц длины, массы, времени, когда учащиеся преобразовывают именованные числа, производят с ними арифметические действия. Иными словами, таблица умножения находится в классе до тех пор, пока у всех учащихся не сформируется прочный навык в отыскании результатов умножения.

В настоящее время выпущена таблица, в которой указаны только 36 случаев умножения однозначного числа на однозначное, так как все другие результаты можно найти, воспользовавшись знанием переместительного свойства умножения. Результат умножения на единицу всегда равен множимому (тема «Особые случаи умножения»), с правилом же умножения чисел на 10 учащихся также знакомят.

Необходимость пользоваться переместительным свойством умножения, находить результаты деления по результатам умножения представляет бесспорную ценность при формировании понятий, развитии абстрактного мышления.

Таблица Пифагора также включает все случаи перемножения однозначных чисел. Заметим, что она отличается от предыдущих таблиц построением и способом отыскания результата. Например, произведение надо находить самостоятельно в точке пересечения строки и столбца. В начальных классах демонстрационный вариант таблицы применяется только для формирования навыка нахождения результата, а дети работают с таблицей, изготовленной в малом масштабе для индивидуального пользования.

Диафильмы. Диафильм «Таблица умножения к урокам математики во II классе» используется в комплекте со счетным материалом, таблицей умножения, счетами. Построение диафильма фрагментарное, что позволяет применять его на разных уроках.

1-й фрагмент «Общий смысл умножения» (7 кадров). На каждом кадре дано изображение предметов группами (три десятка яиц; 4 купы деревьев, по 5 деревьев в каждой; три четверки уток в пруду и т. д.). Первые три кадра показывают умножение как действие, с помощью которого можно найти сумму равных слагаемых: 10+10+10; 5+5+5+5. Четыре следующих кадpa снабжены заданием для учащихся, но без требования записать его. Операция умножения выполняется устно.

2-й фрагмент «Умножение. Знак умножения» (7 кадров). Содержание фрагмента знакомит со способом записи действия умножения (знак умножения — точка) и также включает задания для учащихся (найти число флажков, звездочек посредством действия умножения).

3-й фрагмент «Произведение. Множители. Переместительный закон умножения» (11 кадров). Рисунки и объяснительный текст знакомят с компонентами действия умножения, а выполнение заданий и ответы на вопросы, помещенные в первых четырех кадрах, помогают усвоить названия компонентов. Например: нарисованы три стопы книг, по 7 книг в каждой. Под рисунком запись: 7*3 =? Выше три задания: Назовите множитель. Найдите число книг. Назовите произведение. Кадры 23—29 с помощью изобразительного материала дают представление о переместительном свойстве умножения. 30-й кадр обращен к учителю.

4-й фрагмент «Таблица умножения» (5 кадров). Здесь фактически дается таблица умножения чисел 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9, но записана она так, что для отыскания результата необходимо применить знание переместительного закона умножения. Использовать этот фрагмент лучше на этапе проверки знаний.

Диафильм «Доли величины. Дроби» целесообразно показать при объяснении образования дробей, их чтении и записи и при сравнении дробей. Во втором классе используются первые два фрагмента, 3-й, 4-й, 5-й предназначены для третьего класса.

1-й фрагмент «Сравнение частей величины» (6 кадров) показывает разрезанные на части арбуз, батон (неравные части), листок бумаги, доску (3 части), круг (2 и 4 части). Части листа бумаги, доски и круга сравниваются путем наложения, т. е. кадры 5—7 учат сравнению частей величины способом наложения.

2-й фрагмент «Одна доля величины» (7 кадров) показывает деление целого (яблока, дециметра, отрезков, геометрических фигур) на 3, 10, 6, 7, 4, 5, 8 частей, производится сравнение полученных частей.

3-й фрагмент «Дробь величины» (7 кадров) демонстрирует фигуры, разделенные на части, какая-то их доля (несколько долей) закрашена. Спрашивается, какая часть фигуры закрашена. Дан пример записи дроби.

4-й фрагмент в начальной школе не используют.