4.3. Математические методы

В математике есть специальные математические методы, которые выполняют две следующие функции:

1) они выступают как цель изучения;

2) они же выступают как средство изучения математического материала.

Это метод математического моделирования, который реализуется посредством одного из методов:

- аксиоматического метода доказательств;

- метода уравнений и неравенств;

- координатного метода;

- векторного метода;

- метода геометрических преобразований;

- метода дифференциальных исчислений.

Математическая модель - это описание какого-либо реального процесса на языке математических понятий, формул и отношений.

В начальной школе, например, математической моделью текстовой задачи, является выражение, если задача решается арифметическим методом и уравнение, если задача решается алгебраическим методом. Чтобы облегчить поиск нужной модели, используют вспомогательные модели:

- графические модели (рисунок, условный рисунок, чертеж, схематический чертеж);

- знаковые модели (краткая запись, таблица, формулы и другие), которые еще называют приемами моделирования. В процессе математического моделирования выделяется три этапа:

1 этап - формализация - это перевод предложенной задачи (ситуации) на язык математической теории (построение математической модели задачи);

2 этап - решение задачи в рамках математической теории;

3 этап - перевод результата математического решения на тот язык, на котором была сформулирована исходная задача (интерпретация полученного математического решения).

Одна и та же модель может описывать различные процессы, объекты; поэтому результаты внутримодельного исследования одного явления часто могут быть перенесены на другое явление - это одно из основных достоинств математического моделирования.

Цель математического развития младшего школьника - это стимуляция и развитие его математического мышления (соответствующих возрасту компонентов и качеств этого мышления). Психолого-дидактическим обоснованием является своеобразие возрастного развития познавательных и когнитивных процессов ребенка младшего возраста: в возрасте от трех до пяти лет ведущим типом мышления ребенка является наглядно-действенный тип, а в возрасте от шести до десяти лет - наглядно-образный тип мышления. Возраст от десяти до двенадцати лет является переходным к ведущему словесно-логическому (абстрактному) типу мышления. Опора на ведущий тип мышления ребенка дает основание сделать вывод:

- главным направлением математического развития ребенка дошкольного возраста является целенаправленное развитие конструктивного мышления;

- математическое развитие ребенка младшего школьного возраста ориентировано на развитие пространственного мышления.

Методологическим обоснованием развития является выбор в качестве ведущего метода обучения детей математическому содержанию метода моделирования. Причем, на каждом возрастном этапе используется преимущественно тот вид моделирования, который более всего соответствует возрастным особенностям развития мышления и других познавательных процессов ребенка.

В возрасте от трех до пяти лет - это конструирование (вещественное моделирование).

В возрасте от шести до десяти лет - сочетание конструирования с графическим моделированием (с постоянным перенесением акцента на графическое моделирование).

В возрасте от десяти до двенадцати лет - графическое моделирование с элементами конструирования (там, где необходимо практическое приложение знаний и умений школьника в математике), и с элементами логико-символического моделирования (знакового и символьного). Здесь идет подготовка к переходу ребенка на ведущий словесно-логический (абстрактный) тип мышления в старшем возрасте.

Такой подход к выбору ведущего метода обучения обеспечивает эффективное развитие приемов умственной деятельности ребенка (анализ, синтез, абстрагирование, обобщение и др.), развитие практико-ориентированной интуиции в применении математических знаний, самостоятельности в учебно-познавательной деятельности и таких качеств математического мышления как гибкость, критичность, активность, целенаправленность и др.

Рассмотрим аксиоматический метод доказательства в начальной школе.

В методике преподавания математики выделены умения, на основе которых школьники смогли бы самостоятельно строить модели, а затем делать обоснованный вывод о решении исходной задачи. Это умения:

- выявление и фиксация тех отношений, которые отражают сущность изучаемых объектов, явлений;

- запись выявленных отношений на языке той теории, в рамках которой будет решаться задача;

- перевод полученных в ходе исследования модели результатов на язык, в котором была предложена исходная задача.

Е.И.Лященко отмечает, что умение доказывать состоит:

- из умения искать доказательство (анализировать утверждение), получать продуктивные следствия из условия, выяснять условия, при которых возможно заключение ит.п.;

- из умения проводить доказательство (на основе полученной гипотезы, возникшей как результат поиска доказательства), выполнять последовательность умозаключений и обосновывать правомерность полученных выводов;

- из умения оформлять доказательства.

Подготовка младших школьников к сознательному усвоению и проведению строгих математических доказательств предполагает:

1) воспитание у детей потребности в аргументации высказываемых суждений и осознание ими необходимости доказательств;

2) использование в обучении доступных способов обоснования истинности математических предложений для данного возраста и постепенное овладение учениками наиболее употребительными из них. Воспитание потребности и навыков аргументации суждений начинается с постоянно задаваемого учителем требования: «Докажи», - или: «Объясни».

В основе построения традиционного курса математики лежит аксиоматическая теория натуральных чисел. Эта теория не рассматривается ни в начальной школе, ни в средней школе. Однако те свойства отношения «непосредственно следовать за», которые нашли отражение в аксиомах Пеано, являются предметом изучения в начальном курсе математики. Уже в первом классе, при рассмотрении чисел первого десятка выясняется, как может быть получено каждое число. При этом используются понятия «следует за» и «предшествует». Каждое новое число выступает как продолжение изученного отрезка натурального ряда чисел. Учащиеся убеждаются в том, что за каждым числом идет следующее и при том только одно, что натуральный ряд чисел бесконечен.

Аксиоматический метод доказательства как метод обучения служит для выяснения того, "что из чего следует", для вывода новых знаний и уже имеющихся. При выполнении любого задания дети опираются на какие-то исходные положения (аксиомы), применяя при этом различные типы умозаключений (индуктивное, дедуктивное, аналогию). Поэтому практически все задания учебника математики способствуют овладению основами указанного метода и элементарными приемами ведения доказательства.

Приведем пример индуктивного умозаключения. Используя различные средства наглядности, учащиеся вместе с учителем устанавливают, что 4 + 1 = 1 + 4, 7 + 5 = 5 + 7, 5 + 2 = 2 + 5. Затем, на основе полученных равенств делают вывод: для всех натуральных чисел а и в верно равенство а + в = в + а. Здесь посылками явились первые три равенства, в которых утверждается, что для конкретных натуральных чисел выполняется такое свойство. Заключением в данном примере является утверждение общего характера - переместительное свойство сложения натуральных чисел.

Приведем пример дедуктивного умозаключения, которое может выполнить младший школьник. Ученику предлагается объяснить, почему число 27 можно представить в виде 20 + 7 Его рассуждения: "Число 27 - двузначное. Любое двузначное число можно представить в виде суммы разрядных слагаемых. Следовательно, 27 = 20 + 7. Первое и второе предложения в этом умозаключении посылки, причем, одна посылка общего характера - это высказывание: "Любое двузначное число можно представить в виде суммы разрядных слагаемых", - а другая - частная, она характеризует только число 27 - оно двузначное. Заключение - это предложение, которое стоит после слова "следовательно", также носит частный характер, так как в нем речь идет о конкретном числе 27.

Метод уравнений и неравенств - это метод математики, в котором наиболее ярко отражаются и находят четкую реализацию этапы процесса моделирования. В начальном курсе математики теоретической основой решения уравнений является взаимосвязь между компонентами и результатами действий. Например, решение уравнения (х × 9) : 24 = 3 обосновывается следующим образом. Так как неизвестное находится в делимом, то чтобы найти делимое, надо делитель умножить на частное х × 9 = 24 × 3 или х × 9 = 72. Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение, разделить на известный множитель х = 72 : 9 или х = 8.

Координатный метод - это способ определения положения точки с помощью чисел (на прямой, на плоскости, в пространстве). Знакомство младших школьников с названным методом начинается в первом классе. Например, каждому отрезку, соизмеримому с отрезком длиной 1 см ставится в соответствие натуральное число, показывающее, сколько раз единичный отрезок укладывается в измеряемом отрезке. В учебниках математики на первых порах можно встретить задания следующего содержания:

- отметьте в тетради точки так, как показано на рисунке;

- начертите в тетради такие же многоугольники и найдите длину сторон каждого из них.

При выполнении подобных заданий приходится характеризовать положение каждой точки относительно другой точки парой чисел.

Векторный метод - одно из фундаментальных понятий современной математики, широко используемое в различных областях. В начальной школе этот метод находит свое применение при решении примеров на сложение и вычитание с использованием натурального ряда чисел. Кроме того, этот метод незаменим при решении задач на движение с использованием чертежа, на котором указывается направление движения объектов.

Метод геометрических преобразований в школе используется как средство обоснования некоторых отношений между элементами Евклидовой геометрии, например, параллельности и др. В программе по математике для начальной школы геометрический материал представлен мелкими крупицами, как незначительное вкрапление в арифметику и не представляет целостного обоснованного курса. В начальной школе происходит лишь определенное накопление фактического материала по геометрии, но соответствующего его обобщения нет. Кроме того, в курсе математики начальной школы в основном рассматриваются плоскостные фигуры, а уже ребенок - дошкольник имеет опыт общения с параллелепипедом, кубом, шаром (кубики, мяч и т.д.). Именно эти пространственные фигуры являются важнейшими объектами геометрии в пространстве, называемой стереометрией. Чтобы облегчит изучение их свойств, пространственные тела изображают на плоскости, используя при этом правила параллельного проектирования, которые являются одним из видов геометрических преобразований.

К основным понятиям теории геометрических преобразований можно отнести понятия отображения, преобразования, перемещения (движения), обратного преобразования, способа задания геометрического преобразования. В начальной школе рассматриваются геометрические преобразования плоскости, сохраняющие расстояния. Но заметим, что ни общего определения геометрического преобразования, ни определений отдельных его видов не дается. Первые представления о геометрических преобразованиях учащиеся получают при вырезании из листа бумаги различных геометрических фигур. Механические перемещения фигур, вырезанных из бумаги для составления из них других фигур - это то, что составляет наглядную основу понятия преобразования.

Выполняя построение двух пар равных треугольников на листе бумаги, учащиеся получают изображения, а это и есть параллельный перенос треугольников.

При составлении из вырезанных фигур четырехугольников, пятиугольников, образуются симметричные и несимметричные фигуры. Учащимся не сообщается, какие из полученных фигур имеют ось симметрии, а какие нет. Однако, как отмечают методисты и учителя, практическая работа по составлению различных фигур помогает учащимся в дальнейшем при знакомстве с различными видами перемещений.

Метод дифференциального исчисления. Его основная идея состоит в том, что, зная функцию и указав точку (или не указывая ее), можно дать локальную характеристику изменения функции при изменении аргумента. Функция - одно из важнейших понятий математики. Важность и сложность понятия функции требует от начального курса математики (как части всей школьной математики) постепенной и систематической подготовки учащихся к усвоению этого понятия. В начальной школе функции и все что с ними связано, в явном виде не изучается, но идея функциональной зависимости буквально пронизывает весь курс, а правильное понимание таких свойств реальных явлений, как взаимозависимость и изменяемость, является основой научного мировоззрения. К заданиям, являющимся пропедевтикой функциональной зависимости, можно отнести те, которые требуют:

- заполнения пропусков в таблицах;

- найти значение выражения с переменной;

- задачи с пропорциональными величинами, связанными отношениями прямой или обратной пропорциональности.