4.3. Основные понятия начального курса математики и последовательность их изучения

Начальный курс математики является органической частью школьного курса математики, т.е. он преемственно связан с курсом математики старших классов и является его исходной базой. Поэтому начальный курс математики включает арифметику целых неотрицательных чисел и основных величин, элементы алгебры и геометрии и др. разделы.

Содержание курса математики для начальной школы отражено в учебниках, которые составляются в строгом соответствии с Программой. Учебники включают теоретический материал (определения некоторых понятий, правила, свойства, математическая терминология), который располагается в определенной системе и является стержнем курса. На основе теоретических знаний раскрываются вопросы практического характера, они включают систему упражнений.

Арифметический материал включает нумерацию целых неотрицательных чисел и арифметические действия над ними, сведения о величинах, их измерении, о дробях, об именованных числах и действиях над ними. Изучение этого материала должно привести учащихся к усвоению системы математических понятий, а также к овладению твердыми и осознанными умениями и навыками.

Одним из центральных понятий начального курса является понятие натурального числа. Оно трактуется как количественная характеристика класса эквивалентных множеств и раскрывается на конкретной основе в результате оперирования множествами и измерения величин (длина отрезка, масса, площадь и др.).

Формирование понятия натурального числа происходит не только в процессе счета предметов, но и в процессе измерения величин, что обогащает содержание этого понятия, позволяет с самого начала связать обучение с практической деятельностью детей, опереться на имеющиеся у них числовые представления. Поэтому, начиная с изучения нумерации чисел первого десятка, происходит знакомство с отрезком, единицами длины и измерением отрезков.

При изучении нумерации натуральное число получает дальнейшее развитие: оно выступает как элемент упорядоченного множества или как член натуральной последовательности. Количественное и порядковое значение натурального числа раскрывается в связи с рассмотрением свойств натуральной последовательности. При изучении арифметических действий натуральное число выступает в новом качестве — в качестве объектов, над которыми выполняются арифметические действия. Таким образом, в курсе математики предусматривается постепенное формирование понятия натурального числа.

Число нуль (или ноль – допускается вариативность) трактуется в начальном курсе как количественная характеристика класса пустых множеств. Включение в начальный курс математики числа и цифры нуль позволяет расширить числовую область и создать надлежащие на ряд равночисленных множеств.

Подобный подход позволяет опереться на опыт детей и создать наглядную основу формируемого знания.

Одновременно с раскрытием конкретного смысла каждого арифметического действия вводится соответствующая символика (знаки действий) и терминология (название действий, название компонентов и результатов действий). Здесь же начинается работа над понятием математического выражения. Сначала рассматриваются условия для овладения учащимися областью целых неотрицательных чисел. Нуль как число и как цифра вводится в 1 классе.

Нуль рассматривается как цифра, обозначающая на линейке начало отмеривания, затем вводится число нуль при вычитании вида: 4-4,2-2, что соответствует адекватному толкованию сущности этого нового числа как количественной характеристики класса пустых множеств.

Далее нуль выступает как компонент действий первой ступени: 5 + 0, 0 + 9, 8 - 0, 0 + 0, 0 - 0, а при изучении действий умножения и деления (во 2 классе ) как компонент этих действий: 0Ч4, 3Ч0, 0Ч0, 0:4, невозможность деления на нуль.

Цифра нуль используется для обозначения отсутствия единиц какого-либо разряда или класса в записи числа (70, 30 000, 204).

Дроби. Сначала вводится понятие доли как одной из равных частей целого (круга, куска шпагата и т. п.), дается запись долей. Поскольку суть понятия доли очень ярко раскрывается при решении задач на нахождение доли от числа и числа по его доле, то эти задачи включены в курс математики начальной школы. Далее вводится дробь как совокупность долей, запись дроби, преобразование и сравнение дробей на наглядной основе

Понятие о системе счисления раскрывается при концентрическом построении курса постепенно в процессе изучения нумерации натуральных чисел и арифметических действий над ними. При этом понятие разряда, класса, разрядной и классной единицы, разрядного числа, находит свое развитие от концентра к концентру, т. е. постепенно вводятся новые разряды и классы, их название и в связи с этим рассматриваются название, запись и чтение чисел, их десятичный состав.

В практических целях, а также в целях сравнения позиционного и непозиционного принципа записи чисел в курс введена римская нумерация чисел до 30.

Арифметические действия занимают центральное ме­сто в начальном курсе математики. Изучается раскрытие конкретного смысла арифметических действий, законов и свойств действий, связей и зависимостей между компонентами и результатами действий и между самими действиями. Происходит формирование вычислительных умений и навыков, умений решать арифметические задачи.

Как и другие математические понятия, каждое арифметическое действие раскрывается на конкретной основе в процессе выполнения операций над множествами:

сложение – на основе операции объединения множеств, не имеющих общих элементов;

вычитание – на основе операции удаления части множества (подмножества);

умножение – на основе операции объединения множеств с одинаковой численностью;

деление – на основе операции разбиения множества простейшие выражения вида: 7 + 3, а позднее более сложные вида: а – (5 + 6)

Изучаются основные свойства арифметических действий и следствия, вытекающие из них (переместительное свойство сложения и умножения, распределительное свойство умножения и деления, следствия из основных свойств: прибавление числа к сумме, вычитание числа из суммы, прибавление суммы к числу, вычитание суммы из числа, прибавление суммы к сумме, вычитание суммы из суммы, умножение числа на сумму и суммы на число, деление суммы на число, умножение числа на произведение, деление числа на произведение). Каждое из названных свойств раскрывается на основе практических операций над множествами или над числами, в результате чего учащиеся должны прийти к обобщению.

Главная сфера применения свойств – это раскрытие на их основе вычислительных приемов. Например, уже в I классе после изучения переместительного свойства сложения вводится прием перестановки слагаемых для случаев вида: 3 + 6.

Перед изучением случаев вида случаю 54 – 20 происходит рассмотрение разных способов вычитания числа из суммы, на основе чего раскрывается вычислительный прием:

54 – 20 = (50 + 4) – 20 = (50 – 20) +4 = 34.

Приемы вычислений почти для всех случаев, рассматриваемых в начальном курсе, рассматриваются с опорой на свойства арифметических действий, связь между результатами и компонентами действий и десятичный состав чисел. Это обеспечивает формирование осознанных умений и навыков и лучшее усвоение свойств арифметических действий и других вопросов курса.

Нужно заметить, что в курсе математики достаточное количество тренировочных упражнений различного характера:

- решение отдельных примеров;

- заполнение таблиц;

- подбор числовых значений букв и нахождение значений полученных выражений и т. п.

Навыки сложения и умножения табличных случаев и обратные по отношению к ним случаи вычитания и деления должны быть доведены до полного автоматизма.

Одновременно с изучением свойств арифметических действий и соответствующих приемов вычислений, раскрываются операции над множествами или над числами. Рассматриваются связи между компонентами и результатами арифметических действий (например, если из суммы вычесть одно из слагаемых, то получится другое слагаемое). Выявляется изменение результатов арифметических действий в зависимости от изменения одного из компонентов (например, если одно из слагаемых увеличить на несколько единиц, а другое оставить без изменения, то сумма увеличится на столько же единиц).

Все вопросы, относящиеся к арифметическим действиям, рассматриваются в тесной взаимосвязи друг с другом.

Элементы алгебры вводятся в связи с изучением арифметического материала, на конкретной основе раскрываются понятия равенства, неравенства, уравнения, переменной.

Уже в 1 классе рассматриваются числовые равенства и неравенства (3 = 3, 5 = 1+4, 3 < 4, 7 + 2 > 7, 9 – 3 < 9 – 2 и т. п.), которые от концентра к концентру постепенно усложняются.

Их изучение непосредственно связывается с изучением арифметического материала и помогает более глубоко раскрыть его.

В начальном курсе рассматриваются уравнения сначала простейшего вида: х + 7 = 9, 10 – х = 8, которые постепенно усложняются. Решение уравнений выполняется сначала методом подбора, а затем на основе связи между компонентами и результатами арифметических действий. Наряду с решением уравнений ведется обучение решению задач с помощью составления уравнений.

Вводится буква как символ для обозначения переменной. В связи с этим рассматриваются выражения с переменной, а+в, 14 – с и др.) и неравенства с переменной (4 = с < 5), которые решаются способом подбора.

Практическое ознакомление с переменной является пропедевтикой к изучению функциональных зависимостей.

Геометрический материал способствует развитию пространственных представлений школьников и ознакомлению с простейшими геометрическими фигурами. Поэтому в начальный курс математики, начиная с I класса, включены геометрические фигуры:

- прямые, кривые и ломаные линии;

- точка, отрезок прямой;

- многоугольники (треугольник, четырехугольник и др.) и их элементы (вершины, стороны, углы);

- прямой угол, прямоугольник (квадрат);

- окружность, круг, центр и радиус круга.

Учащиеся должны научиться различать эти фигуры, называть их и выполнять простейшие построения на клетчатой бумаге и на нелинованной с помощью линейки, угольника и циркуля. Они должны овладеть умением находить длину отрезка, а также ломаной, периметр многоугольника, площадь прямоугольника (квадрата), читать и строить простейшие диаграммы. Курс математики предусматривает разнообразные задачи геометрического характера, направленные на формирование пространственных представлений учащихся. Все вопросы геометрии раскрываются на наглядной основе.

В тесной связи с изучением арифметического и алгебраического и геометрического материала раскрывается понятие величины и идея измерения величин.

Происходит ознакомление с такими величинами, как длина, масса, время, емкость, площадь, с единицами их измерения и с измерением величин выполняется практически и тесно связывается с формированием понятия числа, десятичной системы счисления и арифметических действий, а также с формированием понятия геометрической фигуры. Поэтому возможно вести обучение, опираясь на наглядные образы, связывая обучение с практической деятельностью детей.

С помощью текстовых задач раскрываются многие вопросы начального курса математики:

- конкретный смысл арифметических действий;

- свойства действий;

- связи между компонентами и результатами арифметических действий и др.

Задачи являются средством связи обучения математике с жизнью, сферой приложения математических знаний, позволяющей обеспечить достаточно разнообразные жизненные ситуации для раскрытия разных сторон понятий. Кроме того, в процессе решения задач учащиеся овладевают практическими умениями и навыками, необходимыми им в жизни, знакомятся с полезными фактами, учатся устанавливать связи и зависимости между величинами, часто встре­чающимися в жизни.

Сопоставительный анализ различных программ показывает, что объем изучения нумерации и арифметических действий в них единый. Разница только в распределении тем по годам обучения.

Программы Л. В. Занкова и «Гармония» не рассматривают задачу в 1 классе, но итоговый уровень сложности рассматриваемых в них задач (в 4 классе) одинаков.

Все альтернативные программы содержат значительно больший объем геометрического материала, работа с объемными телами и инструментами для построения фигур на плоскости (циркуль, угольник, транспортир).

Программы Л. Г. Петерсон («Школа 2100») и В.Н. Рудницкой («Школа ХХI века») отличаются наибольшим уровнем насыщения курса математики начальной школы алгебраическим материалом и дробями (в том числе и процентами). Программа Л.Г. Петерсон также знакомит учеников начальных классов с элементами теории множеств, а программа В.Н. Рудницкой – с элементами формальной логики.

Программа и учебные пособия Н.Б. Истоминой («Гармония») являются наименее загруженными материалом, дополнительным к традиционному объему.

Заметим, что содержательный объем начального математического образования учащегося определяется не столько количеством (перечнем) понятий и способов действий с ними, определенным программой обучения, сколько той ролью, которую должно сыграть это содержание в развитии личности ребенка в этот период.