Матричные игры. Основные понятия

Теория игр – это математическая теория конфликтных ситуаций.

Математическая модель конфликтной ситуации называется игрой, стороны конфликта – игроками, исход конфликта – выигрышем.

Стратегией игрока называется совокупность правил, определяющих выбор его действия при каждом личном ходе в зависимости от сложившейся ситуации.

Чтобы найти решение игры, каждый игрок должен выбрать стратегию, удовлетворяющую условию оптимальности. Стратегии считаются оптимальными, если один из игроков получает максимальный выигрыш, а другой минимальный проигрыш.

Игра называется игрой с нулевой суммой, если выигрыш одного игрока равен проигрышу другого.

Целью теории игр является определение оптимальной стратегии для каждого игрока.

В ходе игры каждый игрок выбирает ту или иную стратегию.

Каждая фиксированная стратегия, которую может выбрать игрок, называется его чистой стратегией.

Простейший вид стратегической игры есть игра двух лиц А и В (парная игра) с нулевой суммой.

Игра состоит из двух ходов: игрок А выбирает одну из своих возможных стратегий ; игрок В выбирает одну из своих возможных стратегий . При этом игрок А получает выигрыш, который обозначим через , а игрок В получает выигрыш, который обозначим через .

Так как сумма выигрышей должна быть равна 0, то .

Тогда, если обозначить , то .

Парная игра с нулевой суммой формально задается платежной матрицей

,

элементы a_ij которой определяют выигрыш первого игрока (лица А) и соответственно проигрыш второго (лица В), если первый игрок выбирает i – ю строку (А_i стратегию), а второй игрок выбирает j – й столбец (В_j стратегию).

В каждой i – й строке игроку А гарантирован минимальный выигрыш, то есть . Игрок А стремится максимизировать свой минимальный выигрыш, то есть получить

(2)

Величина - гарантированный выигрыш игрока А называется нижней ценой игры или максимином, а соответствующая стратегия , обеспечивающая получение , называется максиминной.

Игроку В в каждом j – м столбце гарантирован максимальный проигрыш, то есть . Он стремится минимизировать свой проигрыш, то есть получить

(3)

Величина гарантированный проигрыш игрока В называется верхней ценой игры или минимаксом, а соответствующая выигрышу стратегия - минимаксной.

Отметим что всегда .

Если , то имеем в матрице М элемент который является максимальным в j – м столбце и минимальным в i – й строке. Этот элемент называется седловой точкой.

Его индексы: - указывает оптимальную стратегию игрока А, - указывает оптимальную стратегию игрока В.

Значит, в этом случае матричная игра решается в чистых стратегиях: игрок А получает оптимальную стратегию , игрок В получает оптимальную стратегию , цена игры .

Если , то матричная игра решается в смешанных стратегиях. Это значит, что игрок А выбирает стратегию с вероятностью . Смешанные стратегии игрока А записываются в виде вектора , причем , сумма вероятностей появления стратегий равна 1, или в виде матрицы

.

Игрок В выбирает стратегию с вероятностью . Аналогично смешанные стратегии игрока В записываются в виде вектора , причем , или в виде матрицы

.