Теорема умножения вероятностей

С помощью этой теоремы находится вероятность совмещения событий. При этом используется понятие условной вероятности, под которой понимается вероятность события В, вычисленная в предположении, что событие А уже произошло. Обозначается или .

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, то есть

или (11)

Если события А и В независимы, то есть вероятность одного из них не изменяется, когда другое уже произошло, то условная вероятность равна безусловной, .

Тогда теорема умножения имеет вид:

(12)

Пример 13. В партии из 25 ламп 4 неисправны. Наугад вынули две лампы. Найти вероятность того, что обе окажутся неисправны.

Решение. Обозначим события:

А – первая взятая лампа неисправна,

В – вторая взятая лампа неисправна.

Тогда событие, состоящее в том, что обе взятые лампы неисправны запишется как произведение .

Так как события А и В зависимы, то

.

Вероятность события А найдем по формуле (3)

.

Так как после того, как событие А произошло, общее число ламп и число неисправных ламп уменьшится на 1, то

.

Итак, имеем .

При решении задач часто используются совместно обе теоремы. Одну и ту же задачу можно решить и с помощью формул комбинаторики, и по теоремам, раскладывая искомое сложное событие на более простые.

Пример 14. Фирма приобрела две партии товара. В первой партии 20 цветных и 5 белых изделий; во второй партии 12 цветных и 3 белых изделия. Наугад выбирают по 1 изделию из каждой партии. Какова вероятность, что а) только одно из взятых изделий цветное, в) оба взятых изделия цветные.

Решение. Обозначим события:

– взятое изделие из первой партии цветное,

– взятое изделие из второй партии цветное.

Тогда событие В, состоящее в том, что только одно из взятых изделий цветное, запишется формулой:

,

то есть окажется, что изделие из первой партии цветное, а из второй – белое, или наоборот.

Так как события и , и независимы, то по формулам (9) и (12) получим

.

Теперь найдем вероятности событий по формуле (3):

, .

Тогда вероятность противоположного события равна

,

.

Итак, имеем

.

Обозначим через С событие, состоящее в том, что оба взятых изделия будут цветные. Тогда ,

а .

Вероятность появления хотя бы одного события

При решении задач иногда требуется найти вероятность того, что произойдет хотя бы одно событие из нескольких. В этом случае метод решения зависит от того, какие эти события.

Если события независимые, то используется формула

(13)

Если события несовместимые, то применяется формула

(14)

Если два события совместимые, то используется формула

. (15)

Пример 15. Прибор содержит два независимо работающих элемента. Вероятность отказа первого элемента равна 0,05, второго-0,08. Найти вероятность отказа прибора, если для этого достаточно, чтобы отказал хотя бы один элемент.

Решение. Обозначим события:

А – отказал хотя бы один элемент, то есть либо один, либо оба элемента,

А₁ – отказал первый элемент,

А₂ – отказал второй элемент.

События А₁ и А₂ независимы. В этом случае проще сначала найти вероятность противоположного события , которое состоит в том, что ни одного из событий А₁, и А₂ не произошло:

Тогда или

здесь

.

Окончательно получим

.