Предельный режим

Когда процесс, протекающий в системе, длится достаточно долго, возникает вопрос о значениях вероятностей при . Если существуют предельные вероятности состояний , то это означает, что с течением времени в системе устанавливается предельный стационарный режим, в ходе которого она переходит из одного состояния в другое, но вероятности состояний уже не меняются. В этом предельном режиме каждая предельная вероятность может быть истолкована как среднее относительное время пребывания системы в данном состоянии. Пусть число состояний конечно и равно n.

Чтобы найти предельные вероятности состояний, надо составить систему линейных алгебраических уравнений, которая получается из уравнений Колмогорова (2), если положить в них левые части (производные) равными нулю. Предельные вероятности можно найти по размеченному графу состояний, пользуясь правилом: слева в уравнениях стоит произведение предельной вероятности данного состояния на сумму интенсивностей выходящих потоков, а справа сумма произведений интенсивности входящих потоков на вероятности состояний из которых эти потоки выходят. Для решения системы к ней добавляют уравнение .

Если система имеет единственное решение, то предельные вероятности состояний существуют и равны соответствующим решениям системы.

Пример 25. Найти предельные вероятности состояний системы, описываемой графом, приведенным на рис.1.

Решение.

Для этой системы по графу состояний были составлены уравнения Колмогорова (4). Положим в левых частях уравнений

Тогда получим

Решая эту систему совместно с уравнением , найдем единственное решение, которое дает предельные вероятности состояний:

; ; .

Пример 26. В мастерской два мастера и одно место ожидания. Клиенты приходят через 10 минут и обслуживаются мастером 15 минут в среднем. Если место ожидания занято, клиент покидает мастерскую не обслуженным. Какую часть времени оба мастера заняты и какую свободны (потоки прихода и обслуживания клиентов считать пуассоновскими).

Решение.

Перечислим состояния системы: S₀-оба мастера свободны; S₁-один мастер занят, один свободен; S₂-оба мастера заняты, а место ожидания свободно; S₃-оба мастера и место ожидания заняты. Переход из состояния S_iв состояние S_i₊₁, i = 0, 1, 2 ..., происходит под действием потока прихода клиентов. Найдем его интенсивность . Так как по условию среднее время между приходами двух последовательных клиентов равно 10 минут = ч., то получим: ; то есть . Переход из состояния S₁ в состояние S₀ происходит под действием потока выполнения заявок одним мастером. Его интенсивность  находится аналогично. Так как 15 минут = ч., то . Переходы из состояния S₂ в состояние S₁ и из S₃ в S₂ происходят под действием потока, полученного объединением двух потоков выполнения заявок каждым из двух мастеров. Поэтому интенсивность его будет равна . Интенсивности переходов из состояния S_i в состояние S_i_-_k, S_i₊_k при , равны нулю, так как потоки ординарны, то есть события в потоках наступают «поодиночке». С учетом сказанного граф состояний будет иметь вид как на рисунке.