Формула Бейеса

Эта формула применяется для нахождения условной вероятности события А_i в предположении, что событие В уже произошло. При этом известно, что событие В может произойти вместе с одним из несовместимых событий А₁, А₂, … А_n, образующих полную группу.

Формула Бейеса имеет вид:

(20).

Пример 20. Товар находится в трех одинаковых упаковках. В первой упаковке 20 изделий первого сорта. Во второй – 10 изделий первого сорта и 10 изделий второго сорта. В третьей – 20 изделий второго сорта. Из взятой наугад упаковки вынули изделие первого сорта. Найти вероятность того, что это изделие взято из первой упаковки.

Решение. Обозначим события:

В – взято изделие первого сорта,

А₁ - взято изделие из первой упаковки,

А₂ - взято изделие из второй упаковки,

А₃ - взято изделие из третьей упаковки.

События А₁, А₂, А₃ образуют полную группу. Нужно найти условную вероятность

Теперь найдем вероятности всех этих событий. Так как события А₁, А₂, А₃ равновероятны, то

.

Вероятность взять изделие первого сорта из первой упаковки равна

.

Вероятность взять изделие первого сорта из второй упаковки равна

.

Вероятность взять изделие первого сорта из третьей упаковки равна

.

Тогда, окончательно, получим

.

Основные понятия теории массового обслуживания

Системой массового обслуживания (СМО) называется любая система, предназначенная для обслуживания каких-либо заявок (требований), поступающих в случайные моменты времени.

Примеры СМО – ремонтные фирмы, магазины, билетные кассы и т.п. Каждая СМО имеет определенное число обслуживающих единиц, которые называются каналами обслуживания. Соответственно СМО бывают одноканальные (билетная касса с одним кассиром) и многоканальные (касса с несколькими кассирами);

Кроме того СМО бывают с отказами (если все каналы заняты, заявка получает отказ и покидает СМО) и с очередью (если все каналы заняты, заявка становится в очередь и ждет, пока не освободится какой-нибудь канал).

Число мест в очереди m может быть ограниченным или неограниченным. При m = 0 СМО с очередью превращается в СМО с отказом. СМО с очередью различаются по дисциплине обслуживания: обслуживаются ли заявки в порядке поступления, в случайном порядке или некоторые заявки обслуживаются вне очереди.

СМО переходят из состояния в состояние под действием потока заявок и потока обслуживания. Заявки поступают в СМО случайно, обслуживание заявок так же продолжается случайное время. Поэтому процесс работы СМО представляет собой случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем.

Наиболее простым является Марковский процесс.

Случайный процесс называется Марковским, если для любого момента времени вероятностные характеристики процесса в будущем зависят только от его состояния в данный момент и не зависят от того, когда и как система пришла в это состояние.

При анализе случайных процессов с дискретными состояниями пользуются геометрической схемой, которая называется графом состояний. Состояния системой изображают кружками, а переходы из состояния из состояния стрелками, соединяющими состояния.

Для математического описания Марковского процесса используется понятие потока событий.

Под потоком событий понимается последовательность однородных событий, следующих одно за другим в случайный момент времени.

Характеристикой потока служит интенсивность - частота появления событий или среднее число заявок, поступающих в СМО в единицу времени.

Поток событий может быть регулярным, стационарным, потоком без последействия, ординарным.

Наиболее простыми являются простейшие потоки.

Поток событий называется простейшим, если он одновременно стационарен, ординарен и не имеет последействия.

Для них вероятность попадания на элементарный участок времени хотя бы одного события из потока приближенно находится по формуле .

О работе СМО судят по характеристикам эффективности. В качестве показателей эффективности используются:

А - абсолютная пропускная способность СМО, то есть среднее число заявок, обслуживаемое СМО в единицу времени.

Q - относительная пропускная способность, то есть вероятность обслуживания поступившей заявки.

Р_отк - вероятность отказа, то есть вероятность того, что поступившая заявка не будет обслужена.

- среднее число заявок, находящихся в СМО (обслуживаемых или ожидающих в очереди).

- средняя длина очереди (то есть среднее число заявок в очереди).

- среднее время пребывания заявки в СМО (в очереди или под обслуживанием).

- среднее время пребывания заявки в очереди.

- среднее число занятых каналов.

В общем случае все эти характеристики зависят от времени. Если же СМО работают в неизменных условиях достаточно долгое время, то в них устанавливается режим, близкий к стационарному. Далее не оговаривая специально, будем приводить вероятности состояний и характеристики эффективности СМО, относящиеся к предельному стационарному режиму ее работы.

СМО называется разомкнутой, если интенсивность поступающего на нее потока заявок не зависит от состояния системы. В этом случае источник заявок находится вне СМО и генерирует неограниченный поток заявок.

Для любой разомкнутой СМО справедливы формулы, связывающие ее различные характеристики эффективности:

; ; ; (26)

; .

Эти формулы позволяют искать не все характеристики отдельно, а лишь их часть.

Обозначим - вероятность того, что система в момент времени t находится в состоянии S_i . Эти вероятности применяются для описания случайного процесса с дискретными состояниями и находятся из системы дифференциальных уравнений.

(27)

Эти уравнения называются уравнениями Колмогорова. Чтобы система имела единственное решение, надо задать начальное состояние

.

Пример 24. Рассмотрим граф, приведенный на рисунке 1. У системы, описываемой этим марковским процессом, три состояния , причем ; ; ; и не указываются на графе).

0,8 0,2

0,4

0,3

Рис. 1

Потоком вероятности перехода из состояния S_i в состояние S_j называется величина . Уравнения Колмогорова удобно составлять по графу состояний, пользуясь правилом: производная вероятности каждого состояния равна сумме всех потоков вероятностей, идущих из других состояний в данное, минус сумма всех потоков вероятностей, идущих из данного состояния в другие. Например, для графа состояний на рис.1 получили систему уравнений