Повторение независимых опытов. Формула Бернулли

Если производится n независимых опытов, причем в каждом событие А появляется с одной и той же вероятностью р, то вероятность того, что событие А появится ровно m раз в этих n опытах, находится по формуле Бернулли:

, (16)

здесь , .

Пример 16. Партия товара содержит 20 изделий первого сорта и 10 изделий второго сорта. Вынимают подряд 4 изделия, возвращая каждое назад. Найти вероятность того, что из 4-х вынутых изделий:

а) два окажутся первого сорта;

в) не менее двух окажутся первого сорта.

Решение. Обозначим события:

А – два из четырех вынутых изделий первого сорта,

В – не менее двух изделий из четырех вынутых первого сорта.

Так как взятое изделие каждый раз возвращается назад, то вероятность вынуть изделие первого сорта постоянна и равна

.

Тогда вероятность противоположного события

.

Теперь по формуле Бернулли найдем

.

Событие В означает, что из 4-х взятых изделий либо 2, либо 3, либо 4 изделия первого сорта. Тогда найдем как сумму

Здесь

Окончательно получим .

Локальная теорема Лапласа

В том случае, когда число повторений опытов слишком велико, применение формулы Бернулли неудобно. В этом случае для приближенного нахождения вероятности появления события А равно к раз в n опытах используется формула Лапласа

, где (17)

при .

Здесь функция находится по специальным таблицам при разных значениях . При функция . Следует иметь ввиду, что .

Пример 17. Партия товара состоит из 200 изделий двух сортов. Вероятность вынуть изделие первого сорта равна 0,48. Найти вероятность того, что во всей партии товара окажется 95 изделий первого сорта (событие А).

Решение. Так как число велико и вероятность события постоянна , то используется формула Лапласа

.

Найдем значение параметра t: .

Теперь по таблице найдем : .

Окончательно получим .

Интегральная теорема Лапласа

В том случае, когда требуется найти вероятность того, что событие А появится не менее к₁ и не более к₂ раз в n опытах, используются интегральные формулы Лапласа:

(18)

или

, где

, , .

Здесь функция –функция Лапласа находится по специальным таблицам при . При следует иметь ввиду, что . При полагают .

Пример 18. При выпуске продукции 20% изделий не подвергаются контролю на качество. Какова вероятность того, что среди 400 изделий, выбранных случайно, окажется от 70 до 100 непроверенных изделий.

Решение. Из условия задачи вероятность того, что изделие не пройдет контроль равна . Тогда . Найдем искомую вероятность по формуле .

Найдем

, .

Теперь по таблице находим

; .

Окончательно получим .

Формула полной вероятности

Если событие В происходит вместе с одним из событий А₁, А₂,…, А_n, образующих полную группу несовместимых событий, то имеет место формула

.

Тогда вероятность события В находится по формуле полной вероятности

(19).

Пример 19. В магазин поступили замки, изготовленные на трех заводах. Установлено, что продукция первого завода содержит 20% бракованных изделий, второго – 10%, третьего – 5%. Среди замков, взятых на реализацию, 30% изготовлено на первом заводе, 20% - на втором, 50% - на третьем. Какова вероятность купить исправный замок.

Решение. Обозначим события:

В – куплен исправный замок,

А₁ – куплен замок, изготовленный на первом заводе,

А₂ – куплен замок, изготовленный на втором заводе,

А₃ – куплен замок, изготовленный на третьем заводе.

Тогда, так как события А₁, А₂, А₃ несовместимые и образуют полную группу, и событие В происходит вместе с одним из этих событий, искомую вероятность найдем по формуле полной вероятности.

Представим событие В как

Эта формула означает, что куплен исправный замок с первого завода или со второго, или с третьего завода.

.

Найдем все вероятности, входящие в эту формулу. Из условия задачи имеем

, , .

Условные вероятности равны

.

Итак, получим