Решение задач по теоретической механике. Часть 1. Статика. Учебно-методическое пособие

21

Зад ача № 1

С терж ни А С и В С

соединены меж ду собой и с

вертикал ьной стеной

п осредством

шарниров.

Н а

шарнирны й

бол т С

действу ет вертикал ьная

сил а

P =1000H .

О п редел ить реакции этих стерж ней на

шарнирны й

бол т

С ,

есл и

у гл ы ,

составл я емы е

стерж ня мисостеной равны : α = 30o , β = 60o (рис. 7.1.).

Решение:

в точ ке С ,

В озьмем

нач ал о

координат

равновесиекоторой мы

рассматриваем. Н ап равим ось

х горизонтал ьно вп раво,

а осьy – вертикал ьно вверх.

Н а рису нке7.2. у каж ем реакциистерж ней А С иВ С на

шарнир С .

Т ак

как

реакция

шарнирно оп ертого

невесомого стерж ня

нап равл ена вдол ь него,

то сил ы

Т1 и Т2, нап равим

от точ ки С к точ кам

А

и В

соответственно, п редп ол агая ч тостерж нирастя ну ты .

П ол у ч аем

сходя щ у ю ся систему

сил

(система

сил , л инии действия

которы х п ересекаю тся

в одной

точ ке). С у мма п роекций всех сил на ось x дол ж на бы ть равна ну л ю

и су мма

п роекций всехсил на осьy дол ж на бы тьравна ну л ю .

У равнения моментов небу дет,

п отому ч токаж дая изсил п роходитч ерез

1 = × = ×

= ,61к Н 2,.8 0 P a p

В ведем оси координатх, у.

В точ кеА отбрасы ваем свя зь – шарнирно-

X

A

неп одвиж ну ю

оп ору

и заменя ем

ее реакция ми свя зи

Y,

. В

точ ке В

A

находится шарнирно-п одвиж ная оп ора, еезаменя ем реакцией

B . С истема сил ,

R

действу ю щ ая

на бал ку ,

я вл я ется п л оской. Зап иш ем три у равнения равновесия :

два у равнения

п роекций и у равнениемоментов относител ьно точ ки А (6.9) –

(6.11). В ы борточ киА в кач ествецентра обу сл овл ентем, ч точ ерезнееп роходя т

X

A

A m m0 X

две реакции

свя зи

Y,

A

, и

A

(

A

)=

Y

A

(

)=

.

Т аким образом, в

у равнениемоментов бу детвходитьтол ько одна неизвестная реакция

B , ч то

R

су щ ественно у п рощ ает его решение.

Д ействие п ары

сил

характеризу ется

п ол ож ител ьны м моментом,

равны м п о вел ич инеp·a, которы й моментвходит

тол ьков у равнениемоментов.

n

å ix

= 0

A = 0;

XF

,

i =1

n

å iy

0

A

1

B

= 0;- Q+ R- P

YF

,

i =1

A (

i )

ån

B

0

3

P1

a2a= 0;Q +a × R-= Pa×

+, m F

i =1

2

24

ì

ïX A = 0;

ï

= 0;--2 + Y 1R6 ,

ïí A

B

,610,8

ï

B

=0,80; ×

3 2+-

×0,8×

2

× R× × 0,8+ 1

î

2

ìX A = 0;

ï

A Y=15; ,

í

ï

R= 21. ,

î

B

О твет: X A = 0 ; YA = 1,5; RB = 2,1.

Зад ача № 3.

Г оризонтал ьная

бал ка

AC, оп ертая

в точ ках B и C,

несётмеж ду

оп орами В

и С

равномерно

расп редел ённу ю

нагру зку интенсивностью

q

Н /м ;

на

у ч астке

АВ

интенсивность

нагру зки

у меньш ается

п о

л инейному

закону

до ну л я

(рис.

7.5.).

п ренебрегая весом бал ки.

Н айти реакции оп ор В

и С ,

Решение:

Q2

Заменя ем расп редел ённы е нагру зки сосредоточ енны ми сил ами.

действу етп осерединеВ С ,

так как нагру зка п остоя нная . Q1 дел итотрезок А В

в

ì

ïXc = 0;

2

æ

2

ö

ï

q

q

a

Q

= 0; -+

-

RQR

Y

3

3b (

aa

Y );

ç

3b -

÷

= = 0.

+; X+Û

í

b

c

2

1

ç

÷

C

C

6

b

6 è

b

B

ï

a

b

ø

ï

b

b(

Q ) QbR

= 0.

+

+-

+

î

1

3

2

2

q

a2

q

æ

a2 ö

О твет:

R

B

3

=3b +(

a +) Н ; Y

=

ç

3b

-

÷

Н ;

X

c

= 0 Н .

6

b

c

6

ç

÷

è

b ø

и находя щ ейся п од

действием равномерно расп редел енной нагру зки,

сосредоточ енной сил ы

ип ары сил .

О тбрасы вая задел ку

A

Y, A

и

в точ кеА , заменя ем еереакция ми свя зи X

моментом mA. С оставл я ем

два у равнения п роекций и у равнениемоментов,

которы еберем относител ьноточ киС .

27

гру за Р равен 80 Н ип рил ож ен кточ ке п ересеч ения

диагонал ей

п ря моу гол ьника ABCD.

АВ =150см , AD=60с м ,

А К=В Н =25с м .

Д аны

размеры :

Д л ина стерж ня

ED=75см .

О п редел ить у сил ие S в

стерж не ED, п ренебрегая его весом,

и

реакциип етел ьК иН (рис.7.9.).

Решение:

Н

К цил индрич еские ш арниры , то

Т ак

как

и

они

заменя ю тся

реакция ми

K

.

СZ,ил а SZ,действуX X,

етвдол ьстерж ня ED (рис. 7.9.).

HH

K

sinα =

9

,

cosα

AD

60==

12

,=

15

DE

15

75

HA = AB-BH =150-25 =125;

α =

144

.

-

1

sin

225

С оставл я ем у равнения дл я п ространственной системы сил :

n

К = 0;

å ix

0

α

Н

=

+

X +

X(1)

cos

S F

;

i =1

n

åFiy

=

;

0

= 0 ;

0

(2)

i =1

n

å iz

0

α

Н

К

= = 0;−

P+

Z(3)+

Z

sin

S F

;

i =1

n

1

(

i )

0

ZК АКAB

Н P

;= 0m; =FZ −HA (4)

−

å x

2

i =1

n

1

(

i )

å y

0

α

== 0;

AD−

sin(5)

S

AD

P

; m F

2

i =1

z (

i )

ån

0

К

Н =

= 0;.

+ HA

X (6) KA

X ;

m

F

i =1

И зу равнения (5) находим

S

P AD

15

120080

= 66=

2

Н=.

=

(7)

2sinα AD

18

18

3

И зу равнения (6) имеетсвя зьреакций

X

X,

Н

К

X К = −125 X Н ;

X К =25−5 X Н

(8)

П одставл я я (7) и(8) в (1), п ол у ч аем

координат; (6.6) – (6.8) –

п роекции моментов сил относител ьнокоординатны х

осей:

n

å ix

5

o

2

o

= 0;

450× =

+cos

×S45

cos

FS

;

i=1

n

å iy

04

o = 0=;

45×

+cos

S

FP

;

i=1

n

å iz

o

o

6 = 0;

+o

S

545×

+sin

i=1

(

i )

n

x

0

o

3

= 0×;

+a

S

45× ×

sin +

×a S+=× a

å

1

2

i=1

n

å y (

i ) 0

1

6

= 0×;

-a =× S -a S ; m F

i=1

z (

i )

ån

02

o = 0.

45× ×= cos-

× a

S

a P

;

m

F

i=1

30

С истема статич ескиоп редел има:

ч исл о

у равнений равно

ч исл у

неизвестны х.

Н айдем

у сил ия Si

в

стерж ня х. Е сл и

знач ение Si

бу дет

отрицател ьны м,

то это бу детобознач ать, ч то данны й i-й стерж ень несж ат,

а

растя ну т.

P

S2

=

× P; =

2

cos 45o

5

2

2

× ; P- = S= - S

P

S4