15. Разложение тензора напряжений на шаровой тензор напряжений и тензор-девиатор напряжений.

16. Вывод формулы удельной потенциальной энергии упругой деформации.

ОТВЕТ: Потенциальная энергия, накопленная в элементарном объёме, определяется суммой работ сил, распределённых по поверхности этого объёма. Нормальная сила σ_xdydz совершает работу на перемещении ε_xdx. Эта работа имеет величину: , где- относительное удлинение вдоль оси х, вызванное всеми действующими силами. Остальные нормальные составляющие дают аналогичные выражения работ. Касательная сила τ_yzdydx на перемещении γ_yzdz совершает работу . Выражения остальных слагаемых внутренней энергии получаются простой перестановкой индексов. В итоге имеем:. Если отнести энергию к единице объёма, то получим:или в главных напряжениях:

17. Представление удельной потенциальной энергии упругой деформации через удельную потенциальную энергию изменения формы и удельную потенциальную энергию изменения объема.

ОТВЕТ: Каждое из главных напряжений представим в виде суммы двух величин ,,(1), в результате чего напряжение разбивается на два. Первое представляет собой всестороннее напряжение, а второе является дополнительным к нему до заданного напряжённого состояния. Величинар подбирается таким образом, чтобы изменение объёма в дополнительном напряжённом состоянии отсутствовало, т.е . Складывая выражения (1), получим:. При указанном условии система сил первого напряжённого состояния (р) не производит работы на перемещениях, вызванных силами второго состояния. Точно также силы второго напряжённого состояния не производят работы на перемещениях первого. Взаимные работы отсутствуют, и внутренняя энергия разбивается на две части, соответствующие двум напряжённым состояниям: , где- энергия изменения объёма, а- энергия изменения форма (или энергия формоизменения). Подставляя в выражениевместо всех главных напряжений величинур, получим для первого состояния: . Энергию формоизменения найдём, вычитаяиз. В итоге получим:, или. Если это выражение написать для осей общего положения, то получим:.

18. Определение главных напряжений в частном случае трехмерного напряженного состояния при одном заданном по величине и направлению главном напряжении и остальных известных компонентах тензора напряжений.

ОТВЕТ: Главные напряжения легко находятся из круговой диаграммы: ,, гдеR – радиус круга. . Таким образом,

. После того как напряжения σ’ и σ‘’ найдены, они сопоставляются с величиной σ_y и переименовываются на σ₁,σ₂ и σ₃ в порядке убывания.

19. Особенности оценки прочности для трехмерного напряженного состояния. Эквивалентное напряжение. Критерий прочности.

ОТВЕТ: Эквивалентное напряжение – это такое напряжение, которое следует создать в растянутом образце, чтобы его состояние было равноопасно с заданным напряжённым состоянием.

Критерий прочности – мера напряжённого состояния, по достижения которой происходит переход от упругого состояния к пластическому, и условий, при которых начинается разрушение.

20. Гипотезы прочности. Вывод формул эквивалентных напряжений по I, II, III и IV (энергетической) гипотезам прочности. Сравнительная характеристика гипотез прочности (их недостатки и преимущества друг перед другом).

ОТВЕТ: Максимальное касательное напряжение возникает на площадках, равнонаклонных площадкам наибольшего и наименьшего главных напряжений, и равно полуразности этих напряжений: . Если величина достигла некоторого предельного значения, свойственного данному материалу, то независимо от вида напряжённого состояния происходит переход к пластическому состоянию материала. Наложение всестороннего давления влияет не на условия пластичности, а на условия разрушения. Два напряжённых состояния равноопасны в том случае, если имеет место равенство наибольших касательных напряжений, т.е.: , откуда.