11. Трехмерное напряженное состояние в точке. Определение напряжений в произвольно заданной площадке.

ОТВЕТ: Напряжённым состоянием в точке называется совокупность напряжений, возникающих во множестве площадок, проходящих через рассматриваемую точку. Полное напряжение может быть разложено на три составляющие: одну по нормали к площадке и две в плоскости сечения. Нормальное напряжение обозначается символом σ с индексом, соответствующим осям x, y, z. Касательное напряжение обозначается буквой τ с двумя индексами: первый соответствует оси, перпендикулярной к площадке, а второй – оси, вдоль которой направлен вектор τ. Ориентация самих осей является произвольной. Иными словами, напряжённое состояние в точке определяется шестью компонентами.

Выделим в окрестности точки элементарный объём в виде параллелепипеда в виде четырёхгранника. Три грани совпадают с координатными плоскостями симметрии x, y, z. Четвёртая грань образована секущей плоскостью общего положения. Её ориентацию в пространстве будем определять направляющими косинусами нормали υ, т.е. величинами l, m, n. Вектор полного напряжения на площадке общего положения спроектируем на оси x, y, z. Обозначим эти проекции через X, Y, Z соответственно. Отсюда получим, что ,. Отсюда видно, что напряжённое состояние в точке определяется шестью компонентами.

12. Главные напряжения и главные площадки трехмерного напряженного состояния в точке. Инварианты тензора напряжений.

ОТВЕТ: Главные оси – такая система осей x, y, z, в которых в исследуемой точке касательные напряжения τ_zy, τ_zx, τ_xy равны нулю.

Главные площадки – площадки, перпендикулярные соответствующим главным осям.

Главные напряжения – нормальные напряжения, возникающие в главных площадках.

- инварианты тензора напряжений.

13. Определение напряжений в площадках, наклоненных к главным. Максимальное касательное напряжение. Понятие о трех кругах Мора. Эллипсоид напряжений.

ОТВЕТ: Предположим, что наклонная площадка является главной. Тогда полное напряжение на этой площадке (оно же главное) будет направлено по нормали υ. Обозначим его через S: ,,, тогда:

или ,,- корни этого уравнения и будут являться главными напряжениями σ₁, σ₂, σ₃.

При условии, что m²=0, а l²=n²=1/2, касательное напряжение принимает максимальное напряжение . Т.е. максимальное касательно напряжение возникает в площадках, равнонаклонных к площадкам максимального и минимального напряжений.

Для площадок, параллельных векторам σ₁ и σ₃ можно построить три круга Мора. Они строятся на отрезках (σ₂-σ₃) и (σ₁-σ₂), Максимальное напряжение будет равно радиусу максимального круга, т.е. .

Эллипсоид напряжений – эллипсоид, образованный геометрическим местом концов вектора полного напряжения, полуосями которого являются главные напряжения σ₁, σ₂, σ₃.

14. Трехмерное напряженное состояние. Вывод формул напряжений, возникающих в октаэдрических площадках.

Трёхосные растяжения – такие напряжённые состояния, в которых ни одно из главных напряжений не является сжимающим. Круговые диаграммы для этого класса напряженных состояний располагаются в правой части плоскости σ.

Чистое трёхосное растяжение – такое напряженное состояние, при котором все три главных растягивающих напряжения равны между собой.

В октаэдрических площадках: . Тогда:,.