Домашнее задание №1. Растяжение - сжатие бруса. Вариант-16

МГУИЭ

Кафедра сопротивления материалов.

Домашнее задание №1

по сопротивлению материалов.

«Растяжение и сжатие статически определимого и статически неопределимого бруса»

Вариант – 16.

Работу выполнил:

Рузанов Леонид

Группа М-23

Проверил:

Митронов Владимир Ильич

2005 год.

Растяжение и сжатие статически определимого стержня.

Дано:

P1 = 60 кН; P2 = 40кН; l1 = 0,4 м; l2 = 0,3 м; l3 = 0,2 м; l4 = 0,5 м;

k = 0,90; а2 = k · а1; a3 = k2 · а1; [δ] стали = 12 кг/мм2; [δ] меди = 3 кг/мм2;

Задача:

Для бруса, жёстко заделанного одним концом, требуется:

1. Определить из условия прочности размеры поперечного сечения, прияв допустимое напряжение для стали [δ] _стали = 12 кг/мм² и для меди [δ]_меди=3кг/мм², а₂ = k · а₁, a₃=k²·а₁;

2. Построить эпюры;

а) нормальных (продольных) сил N_z;

б) нормальных напряжений σ_z по длине бруса;

в) относительных линейных деформаций ε_z по длине бруса;

г) перемещений поперечных сечений Δ_z.

1. Определение опорных реакций:

Из условия равновесия:

- A_z +2P₁+2 P₂=0

A_z=2P₁+2 P₂=120 кН + 80 кН =200 кН

2. Определение нормальных (продольных) сил N_z (методом сечений):

Возьмём 1 сечение на расстоянии z< l₁ от опоры

Σ P_z = 0;

N_z1 - A_z=0

N_z1= A_z=200 кН

Рассмотрим 2 сечение:

Σ P_z = 0;

N_z2 – A_z+2P₁=0

N_z2= A_z-2P₂=200 кН – 120 кН = 80 кН

Рассмотрим 3 сечение:

Σ P_z = 0;

–N_z3 +2P₂=0

N_z3= 2P₂= 80 кН

Рассмотрим 4 сечение:

Σ P_z = 0;

–N_z4 =0

N_z4= 0 кН

3. Определение нормальных напряжений δ_z по длине бруса

, где N_z – нормальные силы, - площади сечений.

;

1 участок:

2 участок:

3 участок:

4 участок

4. Расчёт сечения:

Из условия прочности следует, что

max δ_z ≤ [δ]_{материала}.

а)

б)

в)

Из полученных значений а₁ выберем наибольшее, т.е а₁=0,082м=8,2·10^-2 м.

5. Определение относительных линейных деформаций :

,где

δ_z –нормальные напряжения,

-Модуль упругости I рода (модуль Юнга) .

6. Определение перемещений поперечных сечений Δz:

Δz_i=ε_zi·z_i;

1 участок: 0≤z₁≤ l₁

z₁=0 => Δz₁=0;

z₁=l₁=0,4 м => Δz_i= 2,97·10 ^-4·0,4м=1,19·10 ^-4 м.

2 участок: 0≤z₂≤ l₂

Δz₂=Δ l₁+ε_z2·z₂;

z₂=0 => Δz₂=Δ l₁=1,19·10 ^-4 м;

z₂=l₂=0,3м => Δz₂=Δ l₁+ε_z2·z₂=1,19·10 ^-4 м+1,19·10 ^-4·0,3м=1,55·10 ^-4м.

3 участок: 0≤ z₃≤ l₃

Δz₃= Δ l₂+ε_z3·z₃;

z₃=0 => Δz₃= Δ l₂=1,55·10 ^-4м;

z₃= l₃=0,5м => Δz₃= Δ l₂+ε_z3·z₃ =1,55·10 ^-4м +1·10 ^-4·0,5м=2,05·10 ^-4м.

4 участок: 0≤z₄≤ l₄

Δz₄= Δ l₃+ε_z4·z₄;

z₄=0 => Δz₄= Δ l₃= 2,05·10 ^-4м;

z₄= l₄=0,2м => Δz₄= Δ l₃+ε_z4·z₄= Δ l₃= 2,05·10 ^-4м.

0, Па

Растяжение и сжатие статически неопределимого стержня.

Дано:

Брус, жёстко заделанный двумя концами,

P1 = 60 кН; P2 = 40кН; l1 = 0,4 м; l2 = 0,3 м; l3 = 0,2 м; l4 = 0,5 м;

k = 0,90; а1=7,9·10-2 м а2=7,11·10-2 м ; [δ] стали = 12 кг/мм2; [δ] меди = 3 кг/мм2;

Задача:

Построить эпюры;

а) нормальных (продольных) сил N_z;

б) нормальных напряжений σ_z по длине бруса;

в) относительных линейных деформаций ε_z по длине бруса;

г) перемещений поперечных сечений Δ_z.

a3=4,02·10^-2 м

а₁=8,2·10^-2 м

P₂ = 40 кН

P₁ = 60 кН

А

D_z

A_z

Медь

Сталь

P₂ = 40 кН

P₁ = 60 кН

l₁=0,4 м

l₂=0,3 м

l₃=0,5 м

l₄=0,2 м

А

1. Составим уравнение равновесия системы:

Σ P_z = 0;

-A_z+2 P₁+2 P₂+D_z=0;

A_z - D_z= 200 кН

2. Составим уравнение перемещения сечения А – А:

Δ_А-А=0;

Помножим полученное равенство на 10⁵ и на a₁² получим:

Найдём из полученного равенства D_z:

Подставим значения:

A_z - D_z = 200 кН

A_z = D_z + 200 кН = - 107,26 кН + 200 кН = 92,74 кН

3. Определение нормальных (продольных) сил N_z (методом сечений):

Возьмём 1 сечение на расстоянии z< l₁ от опоры

Σ P_z = 0;

N_z1 - A_z=0

N_z1= A_z= 92,74 кН

Рассмотрим 2 сечение:

Σ P_z = 0;

-N_z2 – A_z + 2P₁=0

N_z2= 2P₁ - A_z =120 кН – 92,74 кН = 27,26 кН

Рассмотрим 3 сечение:

Σ P_z = 0;

–N_z3 +2P₂+ D_z =0

N_z3= D_z + 2P₂ = - 107,26 кН + 80 кН = -27,26 кН

Рассмотрим 4 сечение:

Σ P_z = 0;

-N_z4 + D_z =0

N_z4 = D_z = -107,26 кН

4. Определение нормальных напряжений δ_z по длине бруса

1 участок:

2 участок:

3 участок:

4 участок:

5. Определение относительных линейных деформаций :

,где

δ_z –нормальные напряжения,

-Модуль упругости I рода (модуль Юнга) .

5. Определение перемещений поперечных сечений Δz:

Δz_i=ε_zi·z_i;

1 участок: 0≤z₁≤ l₁

z₁=0 => Δz₁=0;

z₁=l₁=0,4 м => Δz_i= 1,38·10^-4·0,4м= 0,552·10 ^-4 м.

2 участок: 0≤z₂≤ l₂

Δz₂=Δ l₁+ε_z2·z₂;

z₂=0 => Δz₂=Δ l₁= 0,552·10 ^-4 м;

z₂=l₂=0,3м => Δz₂=Δ l₁+ε_z2·z₂=0,552·10 ^-4 м-0,41·10^-4·0,3м=0,429·10 ^-4м.

3 участок: 0≤ z₃≤ l₃

Δz₃= Δ l₂+ε_z3·z₃;

z₃=0 => Δz₃= Δ l₂=0,429·10 ^-4м;

z₃=l₃=0,5м =>Δz₃= Δ l₂+ε_z3·z₃ =0,429·10 ^-4м -0,34·10^-4·0,5м=0,259·10 ^-4м.

4 участок: 0≤z₄≤ l₄

Δz₄= Δ l₃+ε_z4·z₄;

z₄=0 => Δz₄= Δ l₃= 0,259·10 ^-4м;

z₄= l₄=0,2м => Δz₄= Δ l₃+ε_z4·z₄= 0,259·10 ^-4м -1,33·10^-4 ·0,2м.=-0,007·10 ^-4м

7. Найдём ошибку расчёта:

+

+

z

y

α = -20˚

δ_α

τ_α

δ_α+90˚

δ_α = δ_z·cos²α = δ_z·cos²(-20˚) = 13,9·0,883 = 12,27 мПа

δ_α+90˚ = δ_z·sin²α = δ_z· sin ²(-20˚) = 13,9·0,117 = 1,63 мПа

τ_α = ½·δ_z·sin2α = ½·13,9· (-0,643) = -4,47 мПа

Определение относительной линейной деформации по направлениям α и (α+90˚):

Определение объёмной деформации:

l = ε_α + ε_α+90˚ + ε_x

l = (1,18-0,21-0,42)·10^-4 = 0,55·10^-4

Определение угла сдвига:

- модуль упругости при сдвиге.

при α = 45˚

τ_{α макс.}= ½·δ_z·sin90=6,95 мПа

15