2. Пуассоновское распределение

Пусть в схеме независимых испытаний Бернулли число испытаний достаточно велико ( , а вероятность появления события очень мала .

Рассмотрим в качестве ДСВ число появлений события в этих испытаниях. Т. е. величина может принимать значения: .

Вероятности этих значений определяются по формуле Пуассона:

, .

О. 3. Закон распределения вероятностей ДСВ называется пуассоновским, если вероятности ее возможных значений определяются по формуле Пуассона.

3. Геометрическое распределение

Пусть выполнены все условия схемы независимых испытаний. Испытания проводятся до 1-го появления события . Т. е. если событие появилось в -м (катом) испытании, то в предыдущих испытаниях оно не появлялось.

Рассмотрим в качестве ДСВ число испытаний, которые необходимо провести до 1-го появления события . Т. о. возможные значения величины : .

Вероятности этих значений определяются по формуле:

, где . (1)

Если в эту формулу подставить последовательно вместо : , то получим геометрическую прогрессию с 1-м членом и знаменателем ( ) : .

O. 4. Закон распределения вероятностей ДСВ называется геометрическим, если вероятности ее возможных значений определяются по формуле (1) и образуют геометрическую прогрессию.

Пример 2. Игральная кость подбрасывается до первого выпадения цифры шесть. Составить закон распределения числа подбрасываний игральной кости до первого выпадения цифры шесть.

Решение: .

.

	1	2	3	.........
				.........

4. Гипергеометрическое распределение

Пусть имеется элементов, среди которых обладают свойством . Случайным образом выбирается элементов (выбор каждого элемента равновозможен), причем выборка осуществляется без возвращения.

Рассмотрим в качестве ДСВ количество элементов , обладающих свойством среди отобранных элементов. Т. е. величина может принимать значения: .

Вероятности этих значений определяются по формуле:

, где . (2)

O. 5. Закон распределения вероятностей ДСВ называется гипергеометрическим, если вероятности ее возможных значений определяются по формуле (2).

Пример 3. Гражданин приобрел случайным образом 5 акций двадцати АО. Через год 6 из 20-ти АО разорились. Составить закон распределения и построить многоугольник распределения возможного числа акций банкротов среди купленных гражданином акций.

Решение:

X	0	1	2	3	4	5
P

Контроль: 1

§ 13. Числовые характеристики дсв

Как уже было сказано, закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако часто закон распределения неизвестен и приходится ограничиваться меньшими сведениями. Иногда даже выгоднее пользоваться числами, которые описывают случайную величину суммарно, так называемыми числовыми характеристиками.

О. 1. Математическим ожиданием ДСВ называется сумма произведений возможных значений величины на соответствующие вероятности, т.е. .

Вероятностный смысл : математическое ожидание приближенно равно (тем точнее, чем больше число испытаний) среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

Свойства :

Математическое ожидание больше наименьшего и меньше наибольшего возможных значений;

Если , то .

Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: ;

Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий: ;

Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

Зная лишь математическое ожидание случайной величины, еще нельзя судить ни о том, какие возможные значения она может принимать, ни о том, как они рассеяны вокруг математического ожидания.

О. 2. Отклонением случайной величины называется величина вида: .

Теорема 1. Математическое ожидание отклонения случайной величины равно нулю, т. е. .

О. 3. Дисперсией ДСВ называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины , т. е.

.

Вероятностный смысл : дисперсия ДСВ характеризует меру рассеяния возможных значений случайной величины относительно ее математического ожидания (в квадратных единицах).

Свойства :

Всегда ;

Если , то ;

,где ;

Дисперсия суммы и разности независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: .

Формула для вычисления дисперсии:

Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом ее математического ожидания:

.

О.4. Средним квадратическим отклонением (сигма) ДСВ называют квадратный корень из дисперсии:

.

Вероятностный смысл : среднее квадратическое отклонение ДСВ имеет тот же вероятностный смысл, что и дисперсия, с той лишь разницей, что измеряется в тех же единицах, что и сама величина .

Частные случаи:

1. Если ДСВ имеет биномиальное распределение, то ее числовые характеристики могут быть найдены по формулам:

.

2. Если ДСВ имеет геометрическое распределение, то ее числовые характеристики могут быть найдены по формулам:

.

3. Если ДСВ имеет гипергеометрическое распределение, то ее числовые характеристики могут быть найдены по формулам:

.

Пример 1. Пусть заданы два ряда распределения ДСВ и :

	2	3	10	5
	0,1	0,4	0,2	0,3

	4	5	7
	0,2	0,6	0,2

Найти среднее квадратическое отклонение случайной величины .

Решение:

;

;

;

;

;

;

;

.